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    2024届山东省新高考联合质量测评高三上学期12月联考数学试题含答案

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    这是一份2024届山东省新高考联合质量测评高三上学期12月联考数学试题含答案,共19页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    一、单选题
    1.已知集合,,则( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】C
    【分析】先求得集合,结合集合交集的概念与运算,即可求解.
    【详解】由集合,
    又因为,可得.
    故选:C.
    2.若为虚数单位,复数,则等于( )
    A.B.C.D.
    【答案】A
    【分析】根据复数的运算法则,求得,再结合共轭复数的概念,即可求解.
    【详解】由复数,所以.
    故选:A.
    3.已知,,,则与的夹角为( )
    A.B.C.D.
    【答案】C
    【分析】将平方求出,利用夹角公式即可求出与的夹角.
    【详解】∵,
    ∴,即,
    ,故,
    ∴,
    又∵,
    ∴.
    故选:C
    4.将半径为3,圆心角为的扇形卷成一个圆锥的侧面,则圆锥的体积为( )
    A.B.C.D.
    【答案】B
    【分析】求得圆锥的底面半径和高,从而求得圆锥的体积.
    【详解】设圆锥的底面半径为,母线长为,高为,
    扇形的弧长为,则,母线,
    所以圆锥的高,
    所以圆锥的体积.
    故选:B
    5.设函数(且)在区间单调递减,则a的取值范围是( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】B
    【分析】令,则(且),然后分和两种情况结合复合函数的单调性求解即可.
    【详解】令,则(且),
    当时,在定义域内递增,因为区间单调递减,
    所以在区间单调递减,所以,解得.
    当时,在定义域内递减,因为区间单调递减,
    所以需要在区间单调递增,则,显然不满足要求,
    综上,
    故选:B.
    6.设函数()的导函数的最大值为2,则在上的最小值为( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】D
    【分析】求出函数的导数,依题意可得,利用余弦函数性质可求出的最小值.
    【详解】∵的最大值为2,∴.
    ∴,,∴,
    ∴,即,的最小值为.
    故选:D.
    7.记非常数数列的前n项和为,设甲:是等比数列;乙:(,1,且),则( )
    A.甲是乙的充要条件B.甲是乙的充分不必要条件
    C.甲是乙的必要不充分条件D.甲是乙的既不充分也不必要条件
    【答案】A
    【分析】当甲成立时利用等比数列求和公式可得乙成立,当乙成立时利用数列前n项和与通项之间关系可知甲成立,从而可得结果.
    【详解】若,则(),
    ∴,,.
    ∵,1,
    ∴,∴数列是以为公比的等比数列.
    若数列为等比数列,且,则.
    又,∴,∴,
    此时,1,,所以甲是乙的充要条件.
    故选:A.
    8.已知,,,且,则的值为( )
    A. B. C. D.
    【答案】C
    【分析】先对已知等式化简结合可求出,则可求出,然后对变形化简可得,从而可求出的值.
    【详解】因为,
    所以,所以.
    因为,所以,
    因为,所以,,所以.
    由,得,
    即,
    所以,
    所以.
    又,所以.
    故选:C
    二、多选题
    9.已知一组数据,,…,是公差不为0的等差数列,若去掉数据,则所剩下的数据的( )
    A.平均数不变B.中位数不变C.标准差不变D.极差不变
    【答案】ABD
    【分析】根据平均数的概念结合等差数列的性质可判断A,由中位数的概念可判断B,由标准差计算公式可判断C,根据极差定义可判断D.
    【详解】设,,…,的平均数为,
    可知,故A正确.
    新数据的中位数为,故B正确.
    原数据的标准差为

    且新数据的标准差为,故C错误.
    因为最大值和最小值不变,故极差不变,故D正确.
    故答案为:ABD.
    10.根据《中华人民共和国噪声污染防治法》,城市噪音分为工业生产噪音,建筑施工噪音、交通运输噪音和生活环境噪音等四大类.根据不同类型的噪音,又进一步细化了限制标准.通常我们以分贝(dB)为单位来表示声音大小的等级,30~40分贝为安静环境,超过50分贝将对人体有影响,90分贝以上的环境会严重影响听力且会引起神经衰弱等疾病.如果强度为v的声音对应的分贝数为(dB),那么满足:.对几项生活环境的分贝数要求如下,城市道路交通主干道:60~70dB,商业、工业混合区:50~60dB,安静住宅区、疗养院:30~40dB.已知在某城市道路交通主干道、工商业混合区、安静住宅区测得声音的实际强度分别为,,,则( )
    A.
    B.
    C.若声音强度由降到,需降为原来的
    D.若要使分贝数由40提高到60,则声音强度需变为原来的100倍
    【答案】AD
    【分析】根据题目分贝数函数求出,,,即可判断ABC,再分别求出40分贝数和60分贝数对应的声音强度即可判断D.
    【详解】由题意可知,,即,得,
    ,即,得,
    ,即,得,
    则,所以,与大小关系不确定,由此可知A正确,B错误;
    因为,,所以,C错误;
    当声音强度的等级为60dB时,有,即,得,
    此时对应的强度.
    当声音强度的等级为40dB时,有,
    即,得,此时对应的强度,
    所以60dB的声音与40dB的声音强度之比,D正确.
    故选:AD
    11.已知是定义在 上的不恒为零的函数,对于任意都满足,且为偶函数,则下列说法正确的是( )
    A.B.为奇函数
    C.关于点对称D.
    【答案】ACD
    【分析】令,可判定A正确;令,得到,可判定C正确,B错误;根据题意,推得,得到的周期为,令,求得,结合函数的周期性,求得,可判定D正确.
    【详解】由对于任意都满足,
    令,则,所以A正确;
    令,可得,即,
    所以函数关于点对称,所以C正确,B错误;
    又由为偶函数知关于直线对称,即,
    可得,则,所以,
    所以函数的周期为,令,则,
    可得,

    所以,所以D正确.
    故选:ACD.
    12.已知正四棱锥的侧棱长是x,正四棱锥的各个顶点均在同一球面上,若该球的体积为,当时,正四棱锥的体积可以是( )
    A.B.C.D.
    【答案】BD
    【分析】设正四棱锥的底面边长为2a,高为h,根据正四棱锥的结构特征以及外接球的性质分析可得,结合体积公式可得,利用导数求其单调性和最值,即可得结果.
    【详解】因为球的体积为,所以球的半径为.
    设正四棱锥的底面边长为2a,高为h,
    则,即,
    又因为,即,整理得,
    可得,
    令,则,
    因为,,
    令,解得;令,解得;
    可知在内单调递增,在内单调递减,
    当时,取到最大值;
    当时,;当时,;
    所以正四棱锥体积.
    因为,,
    所以正四棱锥的体积可以是,.
    故选:BD.
    【点睛】关键点睛:涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时,一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面,把空间问题转化为平面问题求解,利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系,或只画内切、外接的几何体的直观图,确定球心的位置,弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系,列方程(组)求解.
    三、填空题
    13.2024年第6届U23亚洲杯将在卡塔尔举行.现将甲、乙,丙、丁四名志愿者分配到6个项目中参加志愿活动,且每名志愿者只能参加1个项目的志愿活动,则有且只有3人分到同一项目中的情况有 种.(用数字作答)
    【答案】120
    【分析】分三步完成,第一步从四名志愿者中选取三名志愿者,第二步从6个项目中选取2个项目,第三步把志愿者分配到两个项目中,再利用分步乘法计数原理可得答案..
    【详解】可分三步完成,
    第一步,从四名志愿者中选取三名志愿者,有种选法;
    第二步,从6个项目中选取2个项目有种不同的选法;
    第三步,把志愿者分配到两个项目中有种分配方法;
    故共有(种)不同的分配方法.
    故答案为:120.
    14.若将上底面半径为2,下底面半径为4的圆台型木块,削成体积最大的球,则该球的表面积为 .
    【答案】
    【分析】球的体积最大,当且仅当该球为圆台的内切球,利用圆台轴截面与球的截面大圆关系求出球半径即可.
    【详解】依题意,削成的球体积最大,当且仅当该球为圆台的内切球,设球半径为,
    过圆台轴的截面截球所得大圆是圆台轴截面等腰梯形的内切圆,则梯形的高为,
    由圆的外切四边形性质可知,等腰梯形的腰长为,
    因此,解得,
    所以球的表面积.
    故答案为:
    15.设函数()在区间内恰有两个零点,则的取值范围是 .
    【答案】
    【分析】根据题意,结合函数与方程之间的关系,以及正弦函数的性质即可求解.
    【详解】由题知,又因为,所以.
    因为,所以,
    当或,或时,,
    要满足函数在区间内恰两个零点,则,解得.
    故答案为:.
    16.函数的所有零点之和为 .
    【答案】15
    【分析】在同一坐标系内作出函数与的图象,根据与的图象都关于直线对称求解.
    【详解】解:令,.
    显然与的图象都关于直线对称.
    在同一坐标系内作出函数与的图象,如图所示:
    由图象知:它们的图象有6个公共点,其横坐标依次为,,,,,,
    这6个点两两关于直线对称,
    ∴,则.
    ∴函数所有零点之和为15.
    故答案为:15
    四、解答题
    17.在中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知.
    (1)求内角B的大小;
    (2)若的面积为,,,求线段BM的长.
    【答案】(1)
    (2)
    【分析】(1)结合正弦定理边角互化,正弦的和角公式即可求出,进而得答案;
    (2)结合(1),根据面积公式得,进而得,进而由余弦定理得,为直角三角形,再结合题意,借助勾股定理求解即可.
    【详解】(1)因为,
    所以由正弦定理边化角得,
    所以
    因为
    所以,
    因为,所以,
    因为,所以.
    (2)
    因为的面积为,,
    所以,所以.
    因为,所以,,
    所以,
    所以,即为直角三角形,
    因为,所以,
    所以.
    18.某班级为了提高学习数学、物理的兴趣,组织了一次答题比赛活动,规定每位学生共需回答3道题目.现有两种方案供学生任意选择,甲方案:只选数学问题;乙方案:第一次选数学问题,以后按如下规则选题,若本次回答正确,则下一次选数学问题,若回答错误,则下一次选物理问题.数学问题中的每个问题回答正确得50分,否则得0分;物理问题中的每个问题回答正确得30分,否则得0分.已知A同学能正确回答数学问题的概率为,能正确回答物理问题的概率为,且能正确回答问题的概率与回答顺序无关.
    (1)求A同学采用甲方案答题,得分不低于100分的概率;
    (2)A同学选择哪种方案参加比赛更加合理,并说明理由.
    【答案】(1)
    (2)选择乙方案参加比赛更加合理,理由见解析
    【分析】(1)根据题意,利用独立重复试验的概率计算公式,即可求解;
    (2)若采用甲方案,则其得分X的可能取值为0,50,100,150,求得相应的概率,列出分布列,求得;若采用乙方案,则其得分Y的可能取值为0,30,50,80,100,150,求得相应的概率,列出分布列,求得,结合,即可求解.
    【详解】(1)解:张同学采用甲方案答题,得分不低于100分的情况为至少答对两道试题,
    所以其概率为.
    (2)解:张同学选择乙方案参加比赛更加合理.理由如下:
    若采用甲方案,则其得分X的可能取值为0,50,100,150,
    ,,,.
    所以的概率分布列为
    所以X的数学期望为.
    若采用乙方案,则其得分Y的可能取值为0,30,50,80,100,150,
    所以,,,,,.
    所以Y的概率分布列为
    所以的数学期望为.
    因为,所以张同学选择乙方案参加比赛更加合理.
    19.已知直三棱柱中,侧面为正方形,,E,F分别为AC和的中点,D为棱上的点,设,.
    (1)证明:;
    (2)当为何值时,平面与平面的夹角的余弦值最大.
    【答案】(1)证明见解析
    (2)
    【分析】(1)根据题意,证得平面,以为原点,建立空间直角坐标系,设,求得,即可证得;
    (2)由平面,得到平面的法向量为,再求得的法向量,利用向量的夹角公式,求得,结合二次函数的性质,即可求解.
    【详解】(1)证明:因为直三棱柱,底面,
    又因为底面,所以,
    因为,且,所以AB⊥BF,
    又因为,且平面,所以平面,
    所以,,两两垂直,
    以为原点,以分别为轴,建立空间直角坐标系,如图所示,
    则,,,,,,,,
    又由,则,所以,,
    因为,所以,即.
    (2)解:因为平面,可得平面的一个法向量为,
    由,,
    设平面的法向量,则,
    取,可得,,所以,
    设平面与平面DEF所成二面角的平面角为,
    则,
    当时,取最小值为,此时取最大值为,此时.
    20.已知正项数列的前n项和为,;数列是递增的等比数列,公比为q,且,的等差中项为10,,的等比中项为8.
    (1)求,的通项公式;
    (2)设,为的前n项和,若能成立,求实数的最大值.
    【答案】(1),
    (2)
    【分析】(1)利用的关系式即可求得是等差数列,可得;再利用等比数列定义即可求得,可得;
    (2)采用分组求和并利用等差、等比数列前项和公式即可求得,不等式能成立等价于,利用单调性可求得.
    【详解】(1)由可得,
    当时,,两式相减得,
    ∴,
    即.∵,
    ∴(),
    即可得是等差数列.
    由,得,∴,
    即.
    由题意得,即,解得或.
    ∵是递增的等比数列,
    ∴,所以,得,
    ∴.
    所以和的通项公式为,.
    (2)由(1)得:

    能成立,等价于能成立,
    化简得能成立,即.
    设,则

    ∴是递减数列,故的最大值为.
    ∴,
    因此的最大值为.
    21.某学校新校区在校园里边种植了一种漂亮的植物,会开出粉红色或黄色的花.这种植物第1代开粉红色花和黄色花的概率都是,从第2代开始,若上一代开粉红色的花,则这一代开粉红色的花的概率是,开黄色花的概率是;若上一代开黄色的花,则这一代开粉红色的花的概率为,开黄色花的概率为.设第n代开粉红色花的概率为.
    (1)求第2代开黄色花的概率;
    (2)证明:.
    【答案】(1)
    (2)证明见解析
    【分析】(1)由条件概率公式以及概率的加法公式计算可得第2代开黄色花的概率为;
    (2)由题意可求得是以为首项,为公比的等比数列,即;
    裂项可得,求和即可得.
    【详解】(1)设事件表示第i代开粉红色花,事件表示第i代开黄色花,
    由题意可得,
    所以第2代开黄色花的概率为.
    (2)由题可知,,即.
    设(),
    则,,解得,
    即,
    所以是以为首项,为公比的等比数列;
    可得,即;
    因此,
    由累加法可得:

    所以可得.
    22.设(其中).
    (1)讨论的单调性;
    (2)设,若关于x的不等式恒成立,求实数a的取值范围.
    【答案】(1)答案见解析
    (2)
    【分析】(1)先求定义域,再求导,对导函数因式分解,分,,三种情况,求出单调性;
    (2)不等式转化为,构造,求导得到其单调性,得到当且仅当时等号成立,并且存在,满足,故当时,满足要求,当时,不合要求,得到答案.
    【详解】(1)函数的定义域为,
    求导得,
    令得,,
    当时,,当或时,;当时,,
    则在,单调递增,在单调递减;
    当时,恒成立,故在单调递增;
    当时,,当或时,,当时,,
    则在,单调递增,在单调递减.
    综上,当时,在,单调递增,在单调递减;
    当时,在单调递增;
    当时,在,单调递增,在单调递减;
    (2)将代入中,

    化简得,不等式两边同减去得,

    可化为,
    令,则,
    易知当时,,单调递减,
    当时,,单调递增,
    所以,从而当且仅当时等号成立,
    则当且仅当时等号成立,
    令,,
    故当或时,,单调递增,
    当时,,单调递减,
    ,,,
    故存在,满足,
    当时,,,可得原不等式成立;
    当时,由于存在,满足,
    从而使得,
    而,于是不恒成立.
    综上,实数a的取值范围是.
    【点睛】导函数求解参数取值范围,当函数中同时出现与,通常使用同构来进行求解,本题难点是两边同减去得,,从而构造进行求解.
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