2024届山西省忻州市三重教育高三上学期12月联考数学试题含答案

这是一份2024届山西省忻州市三重教育高三上学期12月联考数学试题含答案，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据集合的交运算即可求解.
【详解】由得，又，
所以，
故选：B
2．若复数为纯虚数，，则z的虚部为（ ）
A．B．C．10D．
【答案】A
【分析】根据复数的乘法运算化简复数，即可根据纯虚数定义求解，根据虚部定义即可求.
【详解】，
由于为纯虚数，所以且，故，
所以虚部为，
故选：A
3．若为奇函数，则（ ）
A．B．3C．0D．1
【答案】B
【分析】根据函数为奇函数，可得，化简求值，即可求得答案.
【详解】由题意知的定义域为，关于与原点对称，
则，
即，则，
故，
故选：B
4．2023年杭州亚运会已圆满落幕，志愿者“小青荷”们让世界看到了新时代中国青年的风采.早在2021年5月，杭州A公司便响应号召，在全公司范围内组织亚运会志愿者的报名与培训，经过选拔，最终有3名党员和3名团员共6人脱颖而出.在彩排环节，需从这6人中选派2人去游泳馆，2人去篮球馆，且要求每个场馆均至少有一位党员，则不同的选派结果有（ ）
A．54种B．45种C．36种D．18种
【答案】A
【分析】根据全部情况中去掉不符合条件的情况即可结合排列组合求解.
【详解】从这6人中选派2人去游泳馆，2人去篮球馆一共有种选派方法，
若游泳馆没有党员，篮球馆有党员，则有种，
同理游泳馆有党员，篮球馆没有党员，则有种，
故从这6人中选派2人去游泳馆，2人去篮球馆，且要求每个场馆均至少有一位党员，则不同的选派结果有，
故选：A
5．已知双曲线C：（，）的右焦点为F，过F的直线l与x轴垂直，且与C交于A，B两点，若与的夹角为（O为原点），则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【分析】将题意中的角和点的坐标移入直角三角形中，利用三角函数的定义列出的齐次方程，解之即得.
【详解】依题意，在直角三角形中，,，把代入中，
利用，解得：，故，由，整理得：，
两边同除以，即得：，解得：，因，故.
故选：D.
6．已知函数在上不单调，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】首先利用导数求函数在区间上单调时的的取值范围，再根据补集思想求不单调时的的取值范围.
【详解】由题意可知，，
若函数在上单调，则或，
当时，恒成立，
当，转化为，或，
设，则或恒成立，
即或，
，
所以，
所以函数在上不单调，则.
故选：B
7．某建材市场螺丝销售中心的供货商为A公司与B公司，已知两公司在该中心的供货占比为2：3，A公司所供螺丝的优品率为0.7，B公司所供螺丝的优品率为0.8，张明在该中心购得一枚螺丝，且为优品，那么该螺丝为A公司所供的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用全概率公式和条件概率的公式求解即可.
【详解】设购得一枚螺丝为A公司所供为事件,螺丝为B公司所供为事件
螺丝为优品为事件
则
,
故在购得一枚螺丝，且为优品的情况下，该螺丝为A公司所供的概率为.
故选：C
8．已知函数（，）的部分图象如图所示，图象与y轴的交点为，若（），且在上有两个极值点，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据函数图象求得参数的值，可求出的表达式，即得的表达式，结合在上有两个极值点，列出不等式，即可求得a的范围.
【详解】对于函数，由图象知，
，故，
设函数的最小正周期为T，
由图象可知，即，
由，得，
则，则，
故当时，，即，
则，当时，，
由于且在上有两个极值点，故，
解得，即a的范围为，
故选：C
二、多选题
9．已知函数，则（ ）
A．的值域为RB．有两个极值点
C．有两个零点D．方程有三个根
【答案】BCD
【分析】求出函数导数，判断函数单调性，求得函数极值，即可判断B；判断出函数值的正负情况，作出函数图象，可得函数值域，即可判断A，C；数形结合，利用图象的交点个数可判断方程的根的个数，判断D.
【详解】由题意知， ，则，
由，得或，
当或时，，在上均单调递增，
当时，，在上单调递减，
故和分别为函数的极大值点和极小值点，
即有两个极值点，B正确；
又为函数的极大值，为函数的极小值，
令，即，即或，
令，即，即，
由此可作出的图象：
结合图象可知函数的值域为，A错误；
由以上分析可知，只有当或时，，
即有两个零点，C正确；
作出直线，由于，结合图象可知与的图象有3个交点，
故方程有三个根，D正确，
故选：BCD
【点睛】方法点睛：本题涉及到函数的值域以及函数单调性和零点、方程的根等问题，综合性强，解答时利用导数判断函数的单调性，确定极值，从而作出图象，数形结合，解决函数的零点以及方程的根的问题.
10．已知直线l：过抛物线C：的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，则（ ）
A．
B．
C．
D．抛物线C上的动点到直线距离的最小值为
【答案】BD
【分析】求得抛物线的焦点代入直线的方程，求得，可判定A错误；联立方程组，根据韦达定理和抛物线的焦点弦的性质，求得，可判定B正确；结合抛物线的定义，求得的值，可判定C错误；设设是抛物线上的任意一点，利用点到直线的距离公式，结合二次函数的性质，可判定D正确.
【详解】由抛物线，可得焦点为，
因为过抛物线的焦点，可得，解得，所以A错误；
联立方程组，整理得，
设，则，，
由抛物线的焦点弦的性质，可得，所以B正确；
又由，解得，
根据抛物线的定义，可得，
所以，所以C错误；
设是抛物线上的任意一点，可得，
则点到直线的距离为，
当时，，所以D正确.
故选：BD.
11．已知数列的前n项积为，，则（ ）
A．B．为递增数列
C．D．的前n项和为
【答案】AD
【分析】根据等比数列的定义可判断为等比数列，进而可求解A，根据即可判断C，根据指数式的单调性即可判断B，根据分组求和结合等比求和公式即可求解D.
【详解】由可得，故为等比数列，且公比为3，首项为，故，进而,A正确，
当时，，所以，
当时，不符合上述表达，
因此，故C错误，
当时， ，由于为单调递增数列，故为单调递减，故B错误，
的前n项和为，故D正确，
故选：AD
12．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，为直角三角形，，点C在底面圆周上（不与A，B重合），则（ ）
A．三棱锥体积的最大值为
B．当三棱锥的体积最大时，平面PBC与底面ABC夹角的正弦值为
C．存在点C，使得平面PBC与底面ABC夹角的正弦值为
D．平面PBC与平面PAC夹角的余弦值的取值范围为
【答案】ABD
【分析】根据线面垂直即可求解圆锥的母线长以及高，即可结合锥体体积公式以及基本不等式求解最值判断A，根据平面夹角的定义利用几何法找到夹角，即可根据三角形边的关系求解BC，利用法向量的夹角即可求D.
【详解】因为平面，平面，
所以，又因为所以，
于是，
由于点C在底面圆周上，所以,故
圆锥体积为，当且仅当时取等号，因此选项A正确；
过作，连接,
由于平面，平面，所以,又，平面，所以平面，平面，
所以,则为平面PBC与底面ABC的夹角，
由A知：体积最大时，，此时为等腰直角三角形，故此时为的中点，所以,故,
所以,B正确，
由B可知：为平面PBC与底面ABC的夹角，,
而，故不存在点C，使得平面PBC与底面ABC夹角的正弦值为，C错误，
建立如图所示的空间直角坐标系，设,
,
设平面的法向量为
则，取，则
设平面的法向量为
则，取，则
所以
由于，所以，故D正确，
故选：ABD．

三、填空题
13．已知向量满足，则 .
【答案】
【分析】由向量的数量积的运算公式，运算求得，结合，即可求解.
【详解】由向量满足，
可得，解得，
又由，所以.
故答案为：.
14．已知，则 .
【答案】
【分析】根据二倍角公式以及同角关系即可求解.
【详解】由可得，
所以，
由于，所以，结合，所以，
因此，故，所以，
所以，
故答案为：
15．直线被圆所截得的弦长的最小值为 .
【答案】2
【分析】求出直线所过定点，说明该点在圆内，确定当圆心和的连线与直线垂直时，直线被截得的弦长最短，根据弦长的几何求法，即可求得答案.
【详解】直线，即，
则，即直线过定点，
由于，故点在圆，
当圆心和的连线与直线垂直时，
直线被圆所截得的弦长最短，
圆心为，和的距离为，
故弦长的最小值为，
故答案为：2
16．已知函数的四个零点是以0为首项的等差数列，则 .
【答案】或
【分析】根据函数的对称性及零点是以0为首项的等差数列，得方程和的根，分类求解即可.
【详解】因为，
所以，所以关于直线对称，
令得或，
由题意这两个方程各有两个根，且四个根是以0为首项的等差数列，
①若0为的根，则另一个根为6，则，
又关于直线对称，且四个根是以0为首项的等差数列，所以等差数列的公差为，
所以的两根为，所以，所以，
所以；
②若0为的根，则另一个根为6，则即，
又关于直线对称，且四个根是以0为首项的等差数列，所以等差数列的公差为，
所以的两根为，所以，所以.
综上，或.
故答案为：或
四、解答题
17．已知数列的前n项和为，，（）.
(1)求的通项公式；
(2)设数列，满足，，求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据数列递推式求出，判断是以为首项，为公比的等比数列，即可求得答案；
（2）求出的表达式，可得的表达式，利用分组求和法，结合等差等比数列的前n项和公式，即可得答案.
【详解】（1）由题意可得（），两式作差，得（），
则（），
当时，，即，将代入，
解得，则，适合（），
所以，，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以.
（2）由（1得），.
故
.
18．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为，为的角平分线，且交于点D，.
(1)若，求的周长；
(2)若，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角形面积公式及余弦定理即得；
（2）设，根据三角形面积公式结合条件可得，然后利用由正弦定理即得解.
【详解】（1）设，.则，
即.
因为.得.所以，所以，
则，所以，
在中，由余弦定理，得，
得，所以的周长为.
（2）设，，由，易得，
又，
所以，
解得，所以，所以.解得，
在中，由正弦定理，得，
即，解得.
19．某连锁餐饮公司为了解顾客的用餐体验，要求各分公司对本地顾客进行了大量的电话访谈，并邀请顾客对用餐体验评分，分值设定范围为0~100分.其中北京、太原分公司针对本地顾客的访谈结果及评分进行了统计分析，得到如下评分的频率分布表：
请根据上述信息，回答下列问题：
(1)若两个分公司分别访谈了500位顾客，设评分为70分以上的为评价满意，否则记作评价不满意，请填写下面的列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析评价满意与否和分公司所在地是否有关联；
(2)现太原分公司邀请了2位评价满意和2位评价不满意的本地顾客，北京分公司从大量的本地受访顾客中随机邀请了3位，这7位顾客受邀参加总公司的试餐活动.活动后，总公司又从这两个分公司邀请的顾客中各随机邀请了2位顾客作为顾问.设这4位顾问中原评价为满意的人数为，求的分布列.
附：，其中.
【答案】(1)列联表见解析，认为评价满意与否和分公司所在地有关联
(2)分布列见解析
【分析】（1）根据表格填写列联表，即可得出评价满意与否和分公司所在地是否有关联；
（2）根据已知条件即可计算出分布列.
【详解】（1）由题意及表格得，北京分公司顾客用餐体验评价满意的有人，
则不满足的有人，
太原分公司顾客用餐体验评价满意的有人，
则不满足的有人，
填写列联表如下：
零假设为：评价满意与否和分公司所在地相互独立，即两个分公司的评价满意没有差异.
根据列联表中的数据，经计算得到：
，
根据小概率值的独立性检验，有充分证据推断不成立，
所以认为评价满意与否和分公司所在地有关联.
（2）由题意及（1）得，
所有可能的取值为0，1，2，3，4.
；；
；
；
所以的分布列如下：
20．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，点O为的中点.

(1)若点E为的中点，求证：；
(2)设四棱锥的体积为，点M为底面四边形内一点（包括四边形边上的点），且直线与底面所成的角为，求直线与平面所成角的正弦值的最小值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先证明平面，进而得到；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解.
【详解】（1）证明：如图，连接，，，，，
因为，O为的中点，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，所以.
因为E，O分别为，的中点，所以，
易证四边形为正方形，所以，则，
又，，平面，所以平面，
又平面，所以.

（2）解：由（1）知平面，四边形为正方形，则，，
以O为原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系.
设，则.解得，
因为平面，所以直线与底面所成的角为，则，
所以，则.
所以点M的轨迹是以O为圆心，1为半径，在底面内的半圆弧，
则可设，.
由，，，得，，，
设平面PAC的法向量为，
则即，令，则，，
所以平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，
则，
显然地，当时，为所求最小值.
21．已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，过的直线l与椭圆C交于P，Q两点，与y轴交于点G.
(1)已知过原点且与l平行的直线与椭圆C交于点A，B，求证：；
(2)若椭圆C的离心率为，且，，问是否为定值？若是，求的值；若不是，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)为定值，
【分析】（1）联立直线与椭圆方程，得韦达定理，即可根据弦长公式求解，
（2）根据向量的坐标运算即可表达出，化简即可求解.
【详解】（1）证明：设直线l的方程为（c是椭圆的半焦距），
联立得，则，
设，，则，，
由题意知，直线的方程为，
联立得，则，
所以，，
所以.

（2）当直线l的斜率为0时，P，Q分别为椭圆的右端点与左端点，则，，.
当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为，则
设，，由（1）知，
由，得，
则，同理.
所以.
因为椭圆C的离心率为，即，则，所以，故为定值.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的定值或最值问题，可根据题意构造关于参数的目标函数，然后根据题目中给出的范围或由判别式得到的范围求解，解题中注意函数单调性和基本不等式的作用．另外在解析几何中还要注意向量的应用，如本题中根据向量的共线得到点的坐标之间的关系，进而为消去变量起到了重要的作用
22．已知，且有两个极值点，（）.
(1)求a的取值范围；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出函数导数，结合极值点含义可得有两个不等的正根，然后结合导数的几何意义，数形结合，求得答案；
（2）判断的范围，由，结合设，推出，构造函数，判断其单调性，结合函数的值域，即可求得答案.
【详解】（1）函数的定义域为，.
因为有两个极值点，（），所以有两个不等的正根，
即有两个不等的正根，设直线与的图象相切，
设切点为，则由，得，
即切点为，得，
要使得有两个不等的正根，需满足，
解得，所以a的取值范围为；
（2）由（1）知，，
则，即，
设，则，所以，，则，
得，，所以；
令，则，
令，则，
所以在上单调递增，又，所以，
则，所以在上单调递增.
又，，因为，
即.
所以，即的取值范围是.
【点睛】关键点睛：第二问求解的取值范围时，要结合极值点的含义推出，然后利用导数解决问题，关键就在于构造函数后，判断其单调性，结合函数的值域，利用单调性，求得的取值范围.
北京分公司顾客用餐体验评分统计
分值区间
频率
0.01
0.04
0.05
0.2
0.1
0.15
0.25
0.1
0.05
0.05
太原分公司顾客用餐体验评分统计
分值区间
频率
0.01
0.01
0.02
0.06
0.1
0.2
0.2
0.25
0.1
0.05
评价满意
评价不满意
合计
北京
太原
合计
0.1
0.05
0.01
0.005
2.706
3.841
6.635
7.879
评价满意
评价不满意
合计
北京
100
400
500
太原
200
300
500
合计
300
700
1000
0
1
2
3
4
P