2024届云南省部分学校高三上学期12月联考数学试题含答案

这是一份2024届云南省部分学校高三上学期12月联考数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知，则（ ）
A．2B．4C．D．8
【答案】C
【分析】根据复数的模长计算公式，可得答案.
【详解】因为，所以.
故选：C.
2．曲线 在点处的切线的斜率为（ ）
A．2B．3C．6D．7
【答案】D
【分析】对曲线求导，然后求出曲线在处的切线的斜率即可.
【详解】因为, 所以当时,.
故选:D.
3．从2023年12月14日13∶00到当天13∶25，某时钟的分针转动的弧度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据弧度的概念求解.
【详解】因为分针是按照顺时针方向旋转，所以转动的角为负角，
所以分针转动的弧度为.
故选：C.
4．已知是圆上一点，是圆上一点，则的最小值为（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】B
【分析】利用两圆的圆心距及圆的性质计算即可.
【详解】因为，，所以，且两圆的半径分别为，即两圆外离，
所以的最小值为.
故选：B
5．若某圆锥的母线与底面所成的角为，且其母线长为 4 ，则该圆锥的体积为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由题意可知圆锥的高与底面半径相等，再由母线长可求出高和底面半径，从而可求出圆锥的体积.
【详解】因为该圆锥的母线与底面所成的角为, 且其母线长为 4，
所以该圆锥的高与底面半径相等, 且都等于,
所以该圆锥的体积,
故选：A
6．在等比数列中，已知，，则（ ）
A．B．42C．D．
【答案】C
【分析】由等比数列的通项公式求解即可.
【详解】设的公比为，则，解得，
所以，解得，所以.
故选：C.
7．设，向量在向量上的投影向量为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用投影向量的概念求得的表达式，再利用二次函数的性质求解最小值.
【详解】向量在向量上的投影向量为，
则，当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：A.
8．曲线具有如下3个性质：（1）曲线上没有一个点位于第一､三象限；（2）曲线上位于第二象限的任意一点到点距离等于到直线的距离；（3）曲线上位于第四象限的任意一点到点的距离等于到直线的距离.那么.曲线的方程可以为（ ）
A．B．
C． D．
【答案】B
【分析】借助抛物线的定义判断即可.
【详解】根据抛物线的定义，到点的距离等于到直线的距离的点的轨迹是以为焦点，
直线为准线的抛物线，其方程为.
同理可得到点的距离等于到直线的距离的点的轨迹方程为.
存在点位于第一､三象限，根据性质（1）可得错误.
根据性质（2）与（3），曲线的方程可以为,
故选：B.
二、多选题
9．已知表示集合A中整数元素的个数，若集合，集合，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】根据不等式求解，明确集合的元素，由题意以及集合的交并补运算，可得答案.
【详解】由不等式，解得；由不等式，解得，
因为，，所以，，，.
故选：ABD.
10．在正四棱柱 中，， 则（ ）
A．该正四棱柱外接球的表面积为
B．异面直线 与所成的角为
C．该正四棱柱外接球的表面积为
D．异面直线 与所成的角大于
【答案】BC
【分析】对A，C，正四棱柱的对角线为球的直径，代入球的表面积公式即可；对于B，D，根据异面直线所成角定义，平移相交可得解.
【详解】对于A，由题，正四棱柱的对角线为球的直径，则正四棱柱外接球的半径为,
则该正四棱柱外接球的表面积为，故A错误，C正确；
如图,
易证 , 则异面直线与所成的角为与所成的角,
设 , 则,
所以 为正三角形, 所以异面直线与所成的角为，故B正确，D错误；
故选：BC.
11．若函数在上恰有10个零点，则的值可能为（ ）
A．50B．54C．51D．58
【答案】BD
【分析】根据题意，将问题转化为函数图象与直线的交点个数，进而结合三角函数的图象和性质求得答案.
【详解】当时，，
令，得，要使在上恰有10个零点，
则需满足，解得.
故选：BD.
12．已知函数的值域为，，，，则下列函数的最大值为的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】此题考查复合函数性质，只需化简选项中的函数，写成复合函数形式，判断复合函数的内函数值域与函数定义域是否相同即可。
【详解】因为，所以，
当的取值范围为时，的取值范围为，
所以的最大值与的最大值相等，均为，A正确.
因为，所以的最大值为，B错误.
因为，所以，
当的取值范围为时，的取值范围为，
所以的最大值与的最大值相等，均为，所以的最大值为，C正确.
，因为，，，
所以，所以的最大值一定不是，D错误.
故选：AC.
三、填空题
13．的展开式中，的系数为
【答案】
【分析】根据二项式定理求解.
【详解】∵展开式的通项，
∴的系数为.
故答案为：.
14． （填入“偶”“奇”“非奇非偶”中的一个）函数，y的最小值是 .
【答案】 偶 6
【分析】根据函数的奇偶性的定义判断函数奇偶性，利用基本不等式分析求解.
【详解】因为，，所以是偶函数；
令，则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以y的最小值为6.
故答案为：偶；6.
15．已知椭圆的右顶点、上顶点分别为A，B，直线与直线相交于点D，且点D到x轴的距离为a，则C的离心率为 .
【答案】/
【分析】根据椭圆顶点的坐标，结合直线交点，利用椭圆离心率公式，可得答案.
【详解】设直线与x轴的交点为E，如下图所示：
则，，，即,，
易知，则，所以，
即，所以.
故答案为：.
16．某企业招聘新员工，先由人力资源部两位工作人员对求职者的简历进行初审，若能通过两位工作人员的初审，则通知求职者参加面试；若两位工作人员对简历的初审均未予通过，则不通知求职者来面试.若恰能通过一位工作人员的初审，则再由人力资源部领导对简历进行复审，若能通过复审，则通知求职者参加面试，否则不通知求职者来面试，设每一位求职者的简历能通过两位工作人员中的任意一位初审的概率为，复审的简历能通过人力资源部领导复审的概率为，简历评审是否通过相互独立.记X表示10位求职者中能被通知参加面试的人数，则的最大值为 .
【答案】
【分析】根据相互独立事件的概率求解每位能参加面试的概率，有点二项分布的数学期望可得表达式，利用导数求解函数最值即可.
【详解】1位求职者能被通知参加面试的概率为，
则，所以.
令函数，其中，
则，可得为增函数，
则.故的最大值为.
故答案为：
四、解答题
17．在中，，，为锐角且的面积小于3.
(1)求的取值范围；
(2)求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）运用面积公式表示出面积，结合面积小于3即可得；
（2）借助（1）问中的的范围，结合余弦定理即可得.
【详解】（1）的面积，
则，
因为为锐角，所以A的取值范围是；
（2）由（1）知的取值范围是，
则的取值范围是，
由余弦定理得，
所以的取值范围是.
18．为了了解云南省大学生关注记者节大会是否与性别有关，某大学学生会随机抽取1000名云南省大学生进行统计，得到如下列联表：
(1)从关注记者节大会的550名大学生中任选1人，求这人是女大学生的概率.
(2)试根据小概率值的独立性检验，能否认为关注记者节大会与性别有关联？说明你的理由.
附：，其中.
【答案】(1)
(2)能认为关注记者节大会与性别有关联，理由见解析
【分析】（1）根据古典概型概率计算公式求得所求概率.
（2）计算的值，进而作出判断.
【详解】（1）从关注记者节大会的550名大学生中任选1人，
这人是女大学生的概率为.
（2）零假设为：关注记者节大会与性别无关联.
根据列表中的数据，经计算得到
，
当时，，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即能认为关注记者节大会与性别有关联.
19．已知数列满足，.
(1)证明：为等差数列.
(2)求的前n项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据等差数列的定义，结合题目中给的等式，可得答案；
（2）利用错位相减法，可得答案.
【详解】（1）证明：因为，
所以
，
又，所以为等差数列，且首项为1，公差为1.
（2）由（1）知，所以.
，
，
则
，
所以.
20．已知函数.
(1)证明：在上存在极值.
(2)证明：当时，.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用导数证得在上存在极值.
（2）利用导数，通过证明来证得不等式成立.
【详解】（1）.
令，因为，所以在上单调递减.
又因为，，
所以在上存在唯一零点m.
当时，，；当时，，.
所以在处取得极大值，即在上存在极值.
（2）因为，所以.
令，由（1）可知在上单调递减.又，
所以在上单调递增，在上单调递减，则，即.
令，，则，则在上单调递减，
在上单调递增，所以，即.
综上，当时，.
【点睛】求解函数极值的步骤：（1）确定的定义域；（2）计算导数；（3）求出的根；（4）用的根将的定义域分成若干个区间，考查这若干个区间内的符号，进而确定的单调区间；（5）根据单调区间求得函数的极值.
21．如图，在四棱锥中，，，与均为正三角形.
(1)证明：平面.
(2)证明：平面.
(3)设平面平面，平面平面，若直线与确定的平面为平面，线段的中点为，求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）由已知得出，即可根据线面平行的判定证明；
（2）取的中点，连接，过作平面，垂足为，连接，，，，通过已知得，通过线面垂直的判定与性质得出，通过中位线得出，即可得出，再通过勾股定理得出，即可证明；
（3）以为坐标原点，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，得出各点坐标，通过点到平面距离的向量求法即可求出.
【详解】（1）因为，
所以，，
所以，
因为平面，平面，
所以平面.
（2）取的中点，连接，则四边形为正方形.
过作平面，垂足为.
连接，，，.
由和均为正三角形，得，
所以，即点为正方形对角线的交点，
则.
因为平面，且平面，
所以，
又，且平面,平面,
所以平面，
因为平面，
所以.
因为是的中点，是的中点，
所以，
因此.
因为，
所以，
又，平面，平面，
所以平面.
（3）设，连接，则直线为直线，
因为，平面，平面，
所以平面，
因为平面，且平面平面，
所以.
由（1）知，，，两两垂直，以为坐标原点，的方向为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
，，
设平面的法向量为，则，
所以，
取，得.
又，
所以点到平面的距离.
22．已知过点的双曲线的渐近线方程为.
(1)求C的方程；
(2)已知A，B是C的实轴端点，过点的直线l与C交于M，N（异于A，B）两点，直线与交于点P，证明：点P在一条定直线上.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据渐近线以及经过的点，代入联立方程即可求解，
（2）联立直线与双曲线方程得韦达定理，根据点斜式求解直线方程，即可得两直线的交点坐标，代入化简即可求解.
【详解】（1）因为C的渐近线方程为，所以，
又点在C上，所以，
解得，，故C的方程为.
（2）由题意可得直线l的斜率不为0，设l的方程为，（），
设，，
联立得，
则，，，
根据双曲线的对称性，不妨设A是左顶点，,
则直线，
同理得，
联立与，得
，
即，故，得
解得，故点P在定直线上.
男大学生
女大学生
合计
关注记者节大会
300
250
550
不关注记者节大会
200
250
450
合计
500
500
1000
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828