2024届云南省昆明市云南师大附中高三上学期“333”高考备考诊断性联考（一）数学试题含答案

这是一份2024届云南省昆明市云南师大附中高三上学期“333”高考备考诊断性联考（一）数学试题含答案，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．或
C．D．或
【答案】D
【分析】根据题意，将结合化简，再由补集的运算可得，再由交集的运算，即可得到结果.
【详解】因为，，则，
所以.
故选：D.
2．设复数的共轭复数为，且，则（ ）
A．iB．C．2D．
【答案】A
【分析】设，根据求出，再计算即可.
【详解】设()，则，
由，可得，
所以，所以，
故选:A.
3．已知函数，设甲：函数是偶函数，乙：，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】由三角函数的奇偶性求得，又当时为偶函数，结合充分、必要条件的定义即可求解.
【详解】为偶函数，则，解得，
当时，；又当时，为偶函数，
所以甲是乙的必要不充分条件.
故选：B.
4．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，书中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，若直角圆锥底面圆的半径为1，则其内接正方体的棱长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】沿正方体上底面的对角线作圆锥的轴截面，根据相似三角形即可求解.
【详解】
沿正方体上底面的对角线作圆锥的轴截面，如图所示，
由题知为等腰直角三角形，，，
设正方体的棱长，
则，，
则由与相似可得，即，
，所以正方体棱长为.
故选：C.
5．若，则（ ）
A．3B．2C．D．
【答案】B
【分析】由二倍角的正弦公式和余弦公式化简可求得，再利用同角三角函数之间的基本关系计算可得结果.
【详解】利用二倍角公式化简，代入可得：
，
故选：B.
6．袋子中装有大小、形状完全相同的3个白球和2个红球，现从中不放回地摸取两个球，已知第二次摸到的是红球，则第一次摸到红球的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据条件概率公式分别求出第二次摸到的是红球的概率，再求得第一次、第二次都摸到红球的概率即可得出结果.
【详解】记为第次摸到的是红球，
则，
又，
，
所以，
故选：A.
7．已知曲线的方程为：，点，的坐标分别为，，过点的直线交曲线于，两点，且，，三点不共线，则的周长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设曲线上任意一点为，由题知关于的方程满足椭圆的定义，得到曲线的轨迹是椭圆，再根据椭圆的定义得到，两点到焦点的距离之和为，进而求出三角形的周长.
【详解】，
，
设曲线上任意一点为，
，，则，
则，
曲线的轨迹是以，为焦点且长轴长为的椭圆，
，在椭圆上，
，，
所以的周长为.
故选：D.
8．若过点可以作三条直线与曲线：相切，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用导数的几何意义求得切点处的切线方程，根据经过，得到关于的函数关系，然后利用导数研究单调性，结合最值和极限，可以得到的取值范围.
【详解】设一个切点为，
则由，可得该点处的切线方程，
当经过点时，有，即，
则过点切线的条数即为方程的解的个数.
设，则，
当或时，当时，，
所以在，上单调递减，在上单调递增.
当时，，当时，，
又由，，可得时，有三个解，
故选：D.
二、多选题
9．对于下列概率统计相关知识，说法正确的是（ ）
A．数据1，2，3，4，5，6，8，9，11的第75百分位数是7
B．若事件M，N的概率满足，且M，N相互独立，则
C．由两个分类变量，的成对样本数据计算得到，依据的独立性检验，可判断，独立
D．若一组样本数据的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为
【答案】BCD
【分析】根据百分位数的定义求出第75百分位数，从而判定A；由独立性得到，进而利用对立事件的概率关系判定B；根据，可判定C；根据直线方程斜率为负值，可知相关系数为负值，根据所有点都在直线上，可知相关系数绝对值为1，进而可知相关系数，从而判定D.
【详解】对于选项A，9个数据从小到大排列，由于，所以第75百分位数应该是第7个数8，故A错误；
对于选项B，由M，N相互独立得：，所以，，故B正确：
对于选项C，由，可以认为和独立，故C正确：
对于选项D，样本点都在直线，说明是负相关且为线性函数关系，所以相关系数为，故D正确，
故选：BCD.
10．已知平面向量，满足，，，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．，恒成立
【答案】ACD
【分析】根据向量数量积的性质以及模长与数量积的关系逐一判断即可.
【详解】对于A，因为，所以，故A正确；
对于B，因为，
所以B错误；
对于C，因为，都是单位向量，由平行四边形法则和菱形性质知对应有向线段平分，的夹角，由题设知，，所以C正确；
对于D， 恒成立，则，
即，整理得，此式恒成立，
所以，恒成立，所以D正确，
故选ACD.
11．已知圆：，过直线：上一点作圆的两条切线，切点分别为A，B，则（ ）
A．若点的坐标为，则
B．面积的最小值为
C．直线过定点
D．
【答案】ACD
【分析】A选项，利用圆的切线长公式求解判断；B选项，利用时，取最小值求解判断；C选项，设，求得以为直径的圆，与联立，求得直线AB的方程判断；D选项，利用圆的弦长公式求解判断.
【详解】A选项，如图，

由圆的切线性质及勾股定理可得：，所以A选项正确：
B选项，到直线的距离为，
而，所以的最小值为，
所以三角形面积的最小值为，所以B选项错误：
C选项，设，，
线段的中点坐标为，
所以以为直径的圆的方程为，
即，由，
两式相减得直线的方程为：，即，
由解得，所以直线过定点，C选项正确；
D选项，由C选项知，圆心到直线的距离，
所以，D选项正确，
故选：ACD.
12．如图，在菱形中，，，将沿折起，使到，点不在底面内，若为线段的中点，则在翻折过程中，以下说法正确的是（ ）

A．
B．四面体的表面积的最大值为
C．不存在点，使得
D．当二面角的余弦值为时，四面体的内切球的半径为
【答案】AB
【分析】利用菱形性质和线面垂直判定定理可证明平面，即可得A正确；易知当取最大值时满足题意，利用基本不等式可得当且仅当时，四面体的表面积的最大值为，即B正确；取的中点为，连接，，利用线面垂直性质定理可得当时，使得，可知C错误；易知为二面角的平面角，利用余弦定理可得，即四面体为正四面体，将其补成棱长为的正方体，利用等体积法即可求得四面体的内切球的半径为.
【详解】对于A，连接交于点，连接，如下图所示：

则由题设知，，，平面，
所以平面，平面，故，即A正确；
对于B，由题意可知，
因为，故，
当且仅当时取得等号，故，的最大值为2，
而，
则四面体的表面积的最大值为，B正确：
对于C，不妨假设存在点，使得，
取的中点为，连接，，如上图，M为线段的中点，故；
由于在菱形中，，
可得，而为线段的中点，故.
由于，平面，故平面，
又平面，故，
而，故，即为正三角形，则，故.
又，且，故.
由于，故.
因为，满足，即当时，使得，C错误：
对于D，因为，，故为二面角的平面角，即，
由余弦定理可得，即，
而，则四面体为正四面体，故将其补成正方体，且正方体棱长为，如下图所示：

则四面体的体积，
则四面体的内切球半径，D错误，
故选：AB.
【点睛】方法点睛：在求解正四面体内切球问题时，可利用等体积法由（其中是正四面体体积，是其表面积，为内切球半径），求得内切球半径，也可以直接根据结论外接球半径为，内切球半径（其中是正四面体棱长）.
三、填空题
13．的展开式中第五项为 .（系数用数字作答）
【答案】135
【分析】根据二项展开式的通项公式分析求解.
【详解】设展开式的第项是，
令，可得，
所以第五项为135.
故答案为：135.
14．过定点且与直线相切的动圆圆心的轨迹方程为 .
【答案】
【分析】根据点到点的距离等于它到直线的距离，依据抛物线的定义可知点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线.进而可求出其轨迹方程.
【详解】由题知，点到点的距离等于它到直线的距离，
点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，
所求轨迹方程为.
故答案为：.
【点睛】本题考查了求曲线的轨迹方程，抛物线的定义，属于基础题.
15．已知函数的定义域为，且为偶函数，其图象关于点对称.当时，，则 .
【答案】8
【分析】根据对称性得到，接和偶函数的定义进行联合分析，得到函数的周期性，进而求值.
【详解】由已知，且，
，
即函数是以24为周期的周期函数，
故.
故答案为：8.
16．如图，已知动圆和定圆（为坐标原点）的半径分别为1和2，动圆的圆心的初始坐标为，动圆上的点的初始坐标为，动圆逆时针沿定圆滚动，则在滚动过程中，点离开其初始位置距离的最大值为 .

【答案】
【分析】由题意设圆逆时针绕圆转过的圆心角，则，如图，利用三角函数的定义求出，进而，令，利用换元法可得，，结合导数讨论函数的性质求出即可.
【详解】如图所示，设圆逆时针绕圆转过的圆心角，
点A转到点，则由题设知，
过点作轴，再过点作，垂足为，则.
设，则，
，
所以
，
令，则，，
又，.由，得；
，得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，故.
故答案为：

四、解答题
17．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知，，成等差数列，且，.
(1)求角；
(2)求角的内角平分线的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列得到，即得到，再根据余弦定理计算得到答案.
（2）确定，，根据计算得到答案.
【详解】（1），，成等差数列，所以.
由正弦定理得，又，，所以.
由余弦定理得，，，故.
（2）由三角形内角平分线性质知：，
故，
所以
.
18．已知数列的前项积为，且，.
(1)求证：数列是等差数列，并且求其通项公式；
(2)证明：.
【答案】(1)证明见解析，
(2)证明见解析
【分析】（1）由，得到，从而数列是等差数列求解.
（2）利用对数运算得到求解.
【详解】（1）解：由数列的前项积为，得，
由题设，
可得，
所以数列是等差数列.
由题设，故，，，
所以是首项为，公差为的等差数列，
故.
（2），
，
.
19．某校高一年级举行数学史知识竞赛，每个同学从10道题中一次性抽出4道作答.小张有7道题能答对，3道不能答对；小王每道答对的概率均为，且每道题答对与否互不影响.
(1)分别求小张，小王答对题目数的分布列；
(2)若预测小张答对题目数多于小王答对题目数，求的取值范围.
【答案】(1)分布列见解析
(2)
【分析】（1）根据超几何分布与二项分布分别求概率从而得分布列；
（2）利用随机变量的数学期望列不等式求解，即可得的取值范围.
【详解】（1）设小张答对的题目数为，可知随机变量服从超几何分布，的取值分别为1，2，3，4.
有，，
，，
故小张答对的题目数的分布列为
设小王答对的题目数为，可知随机变量服从二项分布，的取值分别为0，1，2，3，4，
有，
，
，
，
.
故小王答对的题目数的分布列为
（2）由（1）可知，
而，所以，
若预测小张答对的题目数多于小王答对的题目数，
则，即，可得.
20．如图甲，在矩形中，，，，为边上的点，且.将沿翻折，使得点到，满足平面平面，连接，，如图乙.
(1)求证：平面平面；
(2)求二面角的正弦值的大小.
【答案】(1)证明见解析
(2).
【分析】（1）过在平面内作交于，利用面面垂直的性质定理以及线面垂直的判定定理可证明平面，再由面面垂直的判定定理即可得结论；
（2）由（1）中得结论可证得两两垂直，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求得二面角的正弦值的大小为.
【详解】（1）过在平面内作交于，如下图所示：

因为平面平面，平面平面，
所以平面.
平面，故，
又，，且平面，
所以平面，平面，故；
在中，，，.
同理，在中，，
，可得.
又，平面，
平面.
又平面，
平面平面.
（2）作，垂足为，
在中，可得，，
由（1）知平面平面，平面平面，
所以平面，
又，可得两两垂直，
以点为坐标原点，，分别为x，y轴，过点垂直平面为轴，建立空间直角坐标系，如下图所示：

可得，，，，
则，，，
由（1）知平面，所以是平面的一个法向量.
设平面的一个法向量为，
则可得，令，可得，，
，
，
又，则.
所以二面角的正弦值为.
21．已知双曲线的方程为：，若点是曲线上一点，以点为切点作双曲线的切线.
(1)求证：切线的方程为；
(2)分别过双曲线的左焦点和右焦点作切线的垂线，垂足分别为，.求证：为定值.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）对于双曲线上下两部分进行分类讨论，利用导数的几何意义即可证明以点为切点的双曲线的切线方程为；
（2）依题意由点到直线的距离公式得，结合化简整理可求得.
【详解】（1）由双曲线的方程，可得，
即或，
其中函数的图象即为双曲线在轴的上半部分，函数的图象即为双曲线在轴的下半部分；
1、当时，由导数的几何意义可知：以点为切点的切线斜率，
所以切线方程为：，
即①.
又，故，
代入①整理得，
又切点在双曲线上，故，
所以切线方程为.
2、当时，以点为切点的切线斜率，
所以切线方程为，
即②.
又，故，
代入②整理得.
又切点在双曲线上，故，
所以切线方程为：.
3、当时，切点为，切线方程为，满足，
综上：上一点为切点的切线的方程为.
（2）由（1）知，切线的方程可化为，
根据题意可知分别代表，到切线的距离，
由点到直线的距离公式得
，
由，可得，
代入上式分母整理得，
所以，
所以为定值.
22．已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)若，且，求证：.
【答案】(1)单调递增区间为：，：递减区间为：
(2)证明见解析
【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式即可；
（2）由（1）知，先证明：，构造函数，利用导数说明函数的单调性，即可得证，同理再证明：，构造函数，从而得证.
【详解】（1）定义域为，
.
令，解得或；令，解得，
故函数的单调递增区间为：，；单调递减区间为.
（2）由（1）知，
先证明：，
构造函数.
则，
所以在上恒成立，
故在上单调递增，有，
所以在上恒成立.
又，所以，
又，，由（1）知在上单调递减，
故，即①.
再证明：，
构造函数，
则，
所以在上恒成立，
故在上单调递增，有，
所以在上恒成立.
又，所以，
又，，由（1）知在上单调递增，
故，即②.
由①、②得.
【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：
1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；
2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；
3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；
4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
X
1
2
3
4
P
Y
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2
3
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P