衡阳市第一中学2022-2023学年高一下学期期末考试数学试卷(含答案)

衡阳市第一中学2022-2023学年高一下学期期末考试数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．若向量与垂直,则非零实数( )A.1 B.2 C. D.2．“”是“是幂函数”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3．已知集合,,,则a的可能取值的个数为( )A.1 B.2 C.3 D.44．在正六棱台中,,,,则该棱台的体积为( )A. B. C. D.5．将一组互不相等的数据,,…,删去中位数(设中位数为m)后,得到一组新数据,则( )A.新数据的平均数一定大于原数据的平均数B.新数据的平均数一定小于原数据的平均数C.新数据的60%分位数一定大于mD.新数据的60%分位数一定小于m6．如图,这是一个古典概型的样本空间和事件A,B,其中,,,,则( )A. B. C.A与B互斥 D.A与B不相互独立7．已知一个圆锥的侧面展开图是半径为4,圆心角为的扇形,将该圆锥加工打磨成一个球状零件,则该零件表面积的最大值为( )A. B. C. D.8．已知函数,设,,,则( )A. B.C. D.二、多项选择题9．设区间的长度为.已知一元二次不等式的解集的区间长度为l,则( )A.当时,B.l的最小值为4C.当时,D.l的最小值为10．已知点P为平面外一点,则( )A.过点P只能作一个平面与平行B.过点P可以作无数条直线与平行C.过点P只能作一个平面与垂直D.过点P只能作一条直线与垂直11．已知函数在区间上只有最小值,没有最大值,直线和为的图像的两条对称轴,则( )A.B.C.将的图像向左平移个单位长度得到一个偶函数的图像D.方程在区间上有15个实根12．已知O为的外心,且.若向量在向量上的投影向量为,则的值可能为( )A. B. C. D.三、填空题13．若复数,则z在复平面内对应点的坐标为______,_____14．从集合中任选一个元素,则该元素是质数的概率为______.15．刻画空间弯曲性是几何研究的重要内容,用“曲率”刻画空间弯曲性,规定:多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差(多面体的面的内角叫做多面体的面角,角度用弧度制).例如,正四面体的每个顶点有个面角,每个面角为,所以正四面体在各顶点的曲率为.在底面为矩形的四棱锥中,底面ABCD,,PC与底面ABCD所成的角为,在四棱锥中,顶点的曲率为______.16．明孝陵位于江苏省南京市玄武区紫金山南麓独龙阜玩珠峰下,东毗中山陵,南临梅花山,位于钟山风景名胜区内,其占地面积达170余万平方米,是中国规模最大的帝王陵寝之一.明孝陵景区共有8个门,1号门位于植物园路,4号门在1号门的南偏东的492m处,8号门在4号门的东偏北方向,且1号门在8号门的西偏南方向,则1号门到8号门的距离约为______m.(结果精确到整数部分,参考数据:取,,,)四、解答题17．如图,在直三棱柱中,P为的中点,,,.（1）证明:平面.（2）若四棱锥的体积为12,求.18．已知在中,,.（1）求A;（2）设,D为AB边上一点,且,求的面积.19．为了研究网民的上网习惯,某机构随机抽取了年龄在10岁到60岁的网民进行问卷调查,按年龄分为5组,即,,,,,并绘制出频率分布直方图,如图所示.（1）若按分层抽样的方法,从上述网民中抽取n人做采访,其中年龄在中被抽取的人数为7,求n;（2）若各区间的值以该区间的中点值作代表,求上述网民年龄的方差的估计值.20．某高校的入学面试中有A,B,C三道题目,规则如下:第一环节,面试者先从三道题目中随机抽取一道,若答对抽到的题目,则面试通过,若没答对抽到的题目,则进入第二环节;第二环节,该面试者从剩下的两道题目中随机抽取一道,若答对抽到的题目,则面试通过,若没答对抽到的题目,则进入第三环节;第三环节,若该面试者答对剩下的一道题目,则面试通过,若没有答对剩下的题目,则面试失败.假设对抽到的不同题目能否答对是独立的,李明答对A,B,C题的概率依次是,,.（1）求李明第一环节抽中A题,且第一环节通过面试的概率;（2）求李明第二环节或第三环节通过面试的概率.21．已知函数,.（1）若函数在内有唯一零点,求a的取值范围.（2）设函数的最大值,最小值分别为M,m,记.设,函数,当,时,恒成立,求的取值范围.22．如图,在四棱锥中,底面ABCD是正方形,且,,,.（1）设平面平面,证明:.（2）E是线段PA上的点,且,二面角的正切值为,求的值.参考答案1．答案：A解析：因为与垂直,所以,解得:或.又因为,所以.故选:A.2．答案：A解析：因为是幂函数,所以,解得或,故“”是“是幂函数”的充分不必要条件.故选:A.3．答案：B解析：因为,所以或,所以或或或或或,解得或1或2或4,经检验当或时,不满足集合中元素的互异性,所以a的可能取值为1,4,共2个.故选:B.4．答案：D解析：设上,下底面的中心分别为M,N,上,下底面的面积分别为,,过A作,垂足为P,如图所示,则,故该棱台的体积.故选:D.5．答案：C解析：当原数据的平均数为m时,新数据的平均数等于原数据的平均数,故A,B错误.不妨设,则,则新数据为,,,,,,因为,所以新数据的60%分位数为,因为,所以新数据的60%分位数一定大于m.故选:C6．答案：B解析：对于A项,由题意得,故A项错误;对于B项,因为,所以,故B项正确;对于C项,,故C项错误;对于D项,因为,,由A项知,所以,所以A与B相互独立,故D项错误.故选:B.7．答案：A解析：由题意,得该圆锥母线长,设圆锥的底面半径为R,高为h,如图所示,由,得,所以,圆锥PO内切球的半径等于内切圆的半径,设的内切圆为圆,其半径为r,由,得,解得,故能制作的零件表面积的最大值为.故选:A.8．答案：A解析：因为,由开口向上且,即,所以的定义域为R,又,所以关于对称,结合复合函数单调性知:在上单调递减,在上单调递增.因,又,则,综上,.故选:A.9．答案：AD解析：因为一元二次不等式的解集为,所以,当时,,故A正确,C错误;因为,所以(当且仅当,即时,等号成立),所以l的最小值为,故D正确,B错误.故选:AD10．答案：ABD解析：过点P只能作一个平面与平行,过点P可以作无数条直线与平行,过点P只能作一条直线与垂直,过点P可以作无数个平面与垂直.故选:ABD11．答案：BCD解析：依题意,可得,所以,故A错误.根据条件,由,,得,故B正确.所以,将的图像向左平移个单位长度,得到的图像,为偶函数,故C正确.令,得,在同一直角坐标系中,作出与在上的图像,如下图所示.由图可知,与在上的图像共有15个交点,则方程在上有15个实根,故D正确.故选:BCD.12．答案：BCD解析：因为,所以,即,又因为为的外心,则,所以,,,则,即,且O为斜边BC的中点,过A作BC的垂线AQ,垂足为Q.因为在上的投影向量为,所以在上的投影向量为.当时,点Q与点O重合,则,,;当时,如图1,;当时,如图2,.所以,因为,所以当时,取得最小值,且最小值为.当时,,当时,.故的取值范围是.故选:BCD13．答案：,1解析：,则z在复平面内对应的点的坐标为;,.故答案为:,1.14．答案：解析：A中的元素为0,1,2,…,17,共18个,质数有2,3,5,7,11,13,17,共7个,任选一个元素,则该元素是质数的概率为.故答案为:15．答案：或解析：设,则,平面ABCD,即为与底面ABCD所成角,即,,,,,;平面ABCD,平面ABCD,,又,,PA,平面PAB,平面PAB,平面PAB,,即,又,顶点的曲率为.故答案为:.16．答案：2112解析：记1号门的位置为A,4号门的位置为B,8号门的位置为C,则根据条件可得,.在中,由正弦定理得,得.故答案:211217．答案：（1）见解析（2）4解析：（1）,.又平面,平面,.∵,平面,平面.,平面.（2）平面,平面,.,四边形为梯形.设,则,由（1）知,解得,则18．答案：（1）（2）解析：（1）在中,,,所以,由,得,即,则,又因为,所以.（2）如图所示,在中,由余弦定理得,即,解得(舍去),所以的面积为.19．答案：（1）20（2）124解析：（1）由题意得,,解得,年龄在中人数所占比例为则.（2）,,,,五组的频率分别为0.2,0.25,0.35,0.15,0.05,若各区间的值以该区间的中点值作代表,则上述网民年龄的平均值的估计值为(岁)方差的估计值为.20．答案：（1）（2）解析：（1）设事件D为李明第一环节抽中A题,且第一环节通过面试.由题意得李明第一环节抽到每道题目的概率均为,所以.（2）方法一:设事件为李明第一环节通过面试,则.设事件为李明面试失败,李明答题情况如下:A题错题错C题错,A题错C题错题错,题错A题错C题错,题错C题错题错,C题错A题错题错,C题错题错题错.所以.故李明第二环节或第三环节通过面试的概率为.方法二:设事件为李明第二环节通过面试,李明答题情况如下:A题错题对,A题错C题对,题错A题对,题错C题对,C题错A题对,C题错题对.所以.设事件为李明第三环节通过面试,李明答题情况如下:A题错题错C题对,题错A题错题对,A题错C题错题对,C题错A题错题对,题错C题错A题对,C题错题错A题对.所以.故李明第二环节或第三环节通过面试的概率为.21．答案：（1）（2）解析：（1）依题意可得方程在内只有一个实数解,即在内只有一个实数解,所以,所以a的取值范围为.（2）因为,所以当时,,则.因为,所以在上为减函数,所以在上的最大值为,最小值为,所以当时,,由,得,即,解得,故的取值范围为.22．答案：（1）见解析（2）解析：（1）因为底面ABCD是正方形,所以.因为平面PAB,平面PAB,所以平面PAB.又平面平面,平面PCD,所以.（2）法一:取AB的中点O,连接PO,交BE于点F,过点O作OH垂直于BD,垂足为H,连接HF.由底面ABCD是正方形,且,,,得是等边三角形,所以.因为,,,所以,因为,平面PAB,平面PAB,所以平面PAB,平面PAB,所以.因为,平面ABCD,平面ABCD,所以平面ABCD,平面ABCD,所以.因为,平面OFH,平面OFH,所以平面OFH,平面OFH,所以,所以为二面角的平面角.因为与相似,所以,即,.因为,所以.因为,所以F为的中心,所以E为PA的中点,所以.法二:取AB的中点O,连接PO,过点E作EG垂直于AB,垂足为G.过点G作GH垂直于BD,垂足为H,连接HE.由底面ABCD是正方形,且,,,得是等边三角形,所以.因为,,,所以,因为,平面PAB,平面PAB,所以平面PAB,平面PAB,所以.因为,平面ABCD,平面ABCD,所以平面ABCD,所以平面ABCD.因为,平面EGH,平面EGH,所以平面EGH,平面EGH,所以,所以为二面角的平面角.由,得,,,,,…由,解得.