江苏省南通中学2023-2024学年高一上学期期中数学试卷(含答案)

这是一份江苏省南通中学2023-2024学年高一上学期期中数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．设集合,,则( )
A.B.C.D.
2．函数的定义域为( )
A.B.C.D.
3．已知,,,则a,b,c的大小关系为( )
A.B.C.D.
4．已知a,b,,则是成立的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
5．德国天文学家,数学家开普勒（J. Kepier,1571—1630）发现了八大行星的运动规律：它们公转时间的平方与离太阳平均距离的立方成正比.已知天王星离太阳平均距离是土星离太阳平均距离的2倍,土星的公转时间约为.则天王星的公转时间约为( )
A.B.C.D.
6．下列可能是函数（e是自然对数的底数）的图象的是( )
A.B.
C.D.
7．已知函数的值域为R,则实数m的取值范围为( )
A.B.C.D.
8．已知,,且,则的最小值为( )
A.B.1C.D.2
二、多项选择题
9．已知幂函数的图象过点,下列说法正确的是( )
A.函数的图象过原点B.函数是偶函数
C.函数是单调减函数D.函数的值域为R
10．下列不等式中成立的是( )
A.若,则B.若,则
C.若,则D.若,则
11．已知是R上的偶函数,且在上是单调减函数,则满足不等式的所有整数t的值为( )
A.-2B.-1C.0D.1
12．已知、都是定义在R上的函数,且为奇函数,的图像关于直线对称,则下列说法中一定正确的是( )
A.B.
C.为奇函数D.的图像关于直线对称
三、填空题
13．式子的值是________________.
14．已知函数,分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且,则的值是____________.
15．已知a,b是非零实数,若关于x的不等式恒成立,则的最小值是________________.
四、双空题
16．已知函数,当时,函数的值域为_____________;若函数的最小值为2,则正实数a的取值范围为________________.
五、解答题
17．设全集,集合,.
(1)求;
(2)若集合满足,求实数a的取值范围.
18．已知函数,（且）.
(1)若函数在上单调递减,求实数m的取值范围;
(2)若.
①求实数a的值;
②设,,当时,试比较,的大小.
19．已知某观光海域AB段的长度为3百公里,一超级快艇在AB段航行,经过多次试验得到其每小时航行费用Q（单位：万元）与速度v（单位：百公里/小时）（）的以下数据：
为描述该超级块艇每小时航行费用Q与速度v的关系,现有以下两种函数模型供选择：,.
(1)试从中确定最符合实际的函数模型,并求出相应的函数解析式;
(2)该超级快艇应以多大速度航行才能使AB段的航行费用最少?并求出期少航行费用.
20．已知（且）.
（1）求函数的解析式,并写出函数图象恒过的定点;
（2）若,求x的取值范围.
21．已知二次函数.
(1)若,且对于,恒成立,求a,b的值;
(2)若函数的值域为,关于x的不等式的解集为,求实数c的值.
22．设函数是定义域为R的奇函数.
(1)求实数k值;
(2)若,试判断函数的单调性,并证明你的结论;
(3)在（2）的条件下,不等式对任意实数x均成立,求实数t的取值范围.
参考答案
1．答案：C
解析：由已知.
故选：C.
2．答案：A
解析：由题意,函数有意义,则满足,即,解得,
所以函数的定义域为.
故选：A.
3．答案：C
解析：,
;
.
故.
故选：C.
4．答案：C
解析：当时,,,
所以,
当时,,
所以,
所以,
所以,
因为,,
所以,
所以,
所以是成立的充要条件,
故选：C.
5．答案：B
解析：设天王星的公转时间为T,距离太阳的平均距离为r,
土星的公转时间为,距离太阳的平均距离为,
由题意知：,,
所以,
所以,
故选：B.
6．答案：C
解析：函数的定义域为R,所以AB选项错误.
当时,,所以D选项错误.
故选：C.
7．答案：D
解析：当时,单调递增,
所以
当时,单调递增,
所以,
要使得函数值域为R,
则恒成立,
令,
如图所示：
由图可知,有两个交点,且交点的横坐标分别为,
所以若要,则,
也即函数的值域为R时,
则实数m的取值范围为：,
故选：D.
8．答案：A
解析：由,,,
则,则,
所以
.
当且仅当,即,时,等号成立,
所以的最小值为.
故选：A.
9．答案：AD
解析：由于幂函数过点,所以,解得,所以.
,满足,A选项正确.
是奇函数,所以B选项错误.
在R上递增,所以C选项错误.
值域为R,所以D选项正确.
故选：AD.
10．答案：BCD
解析：A选项,若,则,所以A选项错误.
B选项,若,则,所以B选项正确.
C选项,若,,
则,,,
则,所以C选项正确.
D选项,若,,
所以,所以D选项正确.
故选：BCD.
11．答案：ABC
解析：已知是R上的偶函数,且在上是单调减函数,
则在上是单调增函数,
由,得,即,
解得,范围内的整数有-2,-1,0.
故选：ABC.
12．答案：AD
解析：因为是定义在R上的函数,且为奇函数,所以,故A正确;
因为是定义在R上的函数,且的图像关于直线对称,所以,不一定为0,故B错误;
因为,故C错误;
因为,则,所以的图像关于直线对称,故D正确.
故选：AD.
13．答案：6
解析：依题意,原式.
故答案为：6.
14．答案：-3
解析：因为①,所以
由函数,分别是定义在R上的偶函数和奇函数,
则,
所以②
则①-②可得：,所以
则.
故答案为：-3.
15．答案：
解析：因为a,b是非零实数,且不等式恒成立,
所以有两个相等的实数根或无实数根,即得,
,当且仅当,
解得满足条件且同时取等号.
故答案为：.
16．答案：;
解析：(1)当,函数,
时,单调递减,有;
时,;
时,单调递增,有,
所以当,函数的值域为.
(2)a为正实数时,,
时,单调递减,有;
时,单调递增,有,
时,,
①若,函数单调递增,有,,
此时函数有最小值2,符合题意;
②若,,,
此时函数有最小值2,符合题意;
③若,函数单调递减,有,,
此时函数有最小值,,不合题意.
综上可知,正实数a的取值范围为.
故答案为：;.
17．答案：(1)
(2)
解析：（1）,
,所以;
（2）若,则,所以,
所以实数a的取值范围为.
18．答案：(1)
(2)
解析：（1）函数,对称轴,
所以函数在上单调递减,在上单调递增,
若函数在上单调递减,则,,
故实数m的取值范围为.
（2）①,即,解得;
②当时,
,
,
所以,即.
19．答案：(1)选择函数模型;
(2)该超级快艇应以1百公里/小时速度航行才能使段的航行费用最少为
解析：（1）若选择函数模型,则该函数在上为单调减函数,
这与实验数据相矛盾,所以不选择该函数模型.
从而只能选择函数模型,由实验数据可得：
,得,
故所求函数解析式为.
（2）设超级快艇在AB段的航行费为y（万元）,
则所需时间为（小时）,其中,
结合（1）知,
所以当时,y取最小值为2.1,
所以当该超级快艇应以1百公里/小时速度航行才能使AB段的航行费用最少为2.1.
20．答案：（1）,定点;
（2）见解析.
解析：（1）令,可得出,,,
令,得,且,
因此,函数图象恒过的定点坐标为;
（2）由,即,可得.
当时,函数是减函数,则有,解得;
当时,函数是增函数,则有,解得.
21．答案：(1),
(2)
解析：（1）由,
得,解得
由,得,则.
（2）函数的值域为,又其顶点坐标为,
即,则,
不等式可化为：,
即的解集为,
即方程的两根为,
所以,可得,
即,解得.
22．答案：(1)
(2)在R上单调递减,证明见解析
(3)
解析：（1）由于是定义域为R的奇函数,
所以,
此时,,满足是奇函数,
所以.
（2）由（1）得,
若,则,
所以是减函数,证明如下：
任取,则
,
由于,,所以,,
所以,
所以在R上单调递减.
（3）由（1）得,是定义在R上的奇函数,
依题意,不等式恒成立,
即恒成立,
由（2）得在R上单调递减,
所以,
恒成立,
令,,则对于函数,
函数在上单调递增,最小值为,
所以的最大值为,
所以.
v
0
1
2
3
Q
0
0.7
1.6
3.3