绵阳南山中学实验学校2024届高三上学期12月月考数学试卷(含答案)

这是一份绵阳南山中学实验学校2024届高三上学期12月月考数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.C.D.或
2．设复数z满足,则（ ）
A.B.C.D.2
3．设,为单位向量,且,则向量,夹角的余弦值为( )
A.B.C.D.
4．已知,或,则p是q的 ( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
5．执行下面的程序框图,输出的( )
A.21B.34C.55D.89
6．已知,则( )
A.B.C.D.
7．设e是椭圆的离心率,,则实数k的取值是( )
A.B.C.或D.或
8．直线与曲线（m,n为非零实数）在同一平面直角坐标系中的示意图可以是( )
A.B.C.D.
9．已知直线过抛物线的焦点F,且与抛物线交于A,B两点,与抛物线的准线交于C点,若,则等于( )
A.2B.3C.D.
10．已知两点,,以及圆,若圆C上存在点P,满足,则r的取值范围是( )
A.B.C.D.
11．已知双曲线的左、右焦点分别为,,过作一条直线与双曲线右支交于A,B两点,坐标原点为O,若,,则该双曲线的离心率为( )
A.B.C.D.
12．已知,,,则( )
A.B.C.D.
二、填空题
13．已知直线,,若,则实数_______.
14．设等比数列的前n项和为,若,则______.
15．若椭圆的弦AB恰好被点平分,则AB的直线方程为____________.
16．已知抛物线,其焦点为点F,点P是拋物线C上的动点,过点F作直线的垂线,垂足为Q,则的最小值为___________.
三、解答题
17．已知函数.
（1）求的最小正周期;
（2）在中,分别是角的对边,若,,且的面积为,求外接圆的半径.
18．已知数列的前n项和为,且
（1）求的通项公式;
（2）求数列的前n项和
19．已知线段AB的端点B为,端点A在圆上运动,M是线段AB的中点.
（1）求点M的轨迹方程;
（2）记（1）中所求轨迹为曲线C,过定点的直线l与曲线C交于P,Q两点,曲线C的中心记为点C,求当面积最大时直线的方程.
20．已知椭圆的左、右焦点为,,若E上任意一点到两焦点的距离之和为4,且点在上.
（1）求椭圆E的方程;
（2）在（1）的条件下,若点A,B在E上,且(O为坐标原点),分别延长AO,BO交E于C,D两点,则四边形ABCD的面积是否为定值?若为定值,求四边形ABCD的面积,若不为定值,请说明理由.
21．已知函数.
（1）当时,求曲线在点处的切线方程;
（2）若函数在上单调递增,求a的取值范围.
22．在平面直角坐标系xOy中,直线的参数方程为（t为参数,）,曲线的参数方程为（β为参数）,以坐标原点O为极点,以x轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线的极坐标方程;
（2）若点,直线与曲线所在抛物线交于A,B两点,且,求直线的普通方程.
23．已知函数.
（1）求不等式的解集;
（2）若恒成立,求实数m的取值范围.
参考答案
1．答案：A
解析：不等式解得,则,
由,得,则,所以.
故选：A.
2．答案：C
解析：由题意可得,所以,所以.
故选：C.
3．答案：A
解析：由可得：,即.
因为,为单位向量所以.
所以,解得：.
故选：A.
4．答案：A
解析：由题意,,且,
当且时,成立,但当时,且不一定成立,
故,,所以,,所以p是q的充分不必要条件.
故选：A.
5．答案：B
解析：当时,判断框条件满足,第一次执行循环体,,,;
当时,判断框条件满足,第二次执行循环体,,,;
当时,判断框条件满足,第三次执行循环体,,,;
当时,判断框条件不满足,跳出循环体,输出.
故选：B.
6．答案：A
解析：由可得,,
由二倍角公式可得;即.
故选：A.
7．答案：D
解析：当焦点在x轴时,即,,解得.
当焦点在y轴时,即,,解得.综上所述：或.
故选：D.
8．答案：B
解析：由,得,对于A,若曲线C的图像正确,则,,所以直线过一、二、三象限,所以A错误;
对于B,若曲线C的图像正确,则,,所以直线过一、三、四象限,所以B正确;
对于C,若曲线C的图像正确,则,所以直线过一、二、四象限,且由图可知两图在y轴上有公共点,则可得,从而有,直线方程为,
由,可得或,则交点应在第一象限,所以C错误;
对于D,若曲线C的图像正确,则,所以直线过一、二、四象限,所以D错误,
故选：B.
9．答案：B
解析：如图所示：过点A作垂直于准线交准线于,过点B作垂直于准线交准线于,
则,,,故,即.
故选：B.
10．答案：B
解析：因,所以,即点P在以AB为直径的圆上,
又因为点P在圆C上,所以点P为两圆的公共点,即两圆必有公共点,
因为,,设以AB为直径的圆的圆心为O,
则圆O的圆心为,半径为,因为圆C的圆心为,半径为r,
所以可得,解得,.
故选:B.
11．答案：B
解析：因为,所以,
又,所以,又,
由得,解得,
所以由,得,解得.
故选：B.
12．答案：A
解析：因为当,,故,故,所以;
设,,,所以在单调递增,
故,所以,所以,所以,
故选A.
13．答案：或0
解析：由可得：且,解得：或0.故答案为：或0.
14．答案：
解析：,否则.,.
.故答案为：.
15．答案：
解析：由题意,直线AB斜率存在,设,,
则有,,A,B在椭圆上,有,,
两式相减,得,即,
得,即直线AB的斜率为,则AB的直线方程为,即.
故答案为：
16．答案：
解析：将已知直线化为,
当时,可确定直线过定点,记为M点.
过点F做直线的垂线,垂足为Q,
FQ直线,即,,
故Q点的轨迹是以FM为直径的圆,半径,其圆心为FM的中点,记为点H,,
P在抛物线上,其准线为,等于P到准线的距离.
过P作准线的垂线,垂足为R,要使取到最小,即最小,
此时R、P、Q三点共线,且三点连线后直线RQ过圆心H.如图所示,
此时.
故答案为：
17．答案：（1）
（2）2
解析：（1） ,
的最小正周期;
（2）由,可得,又,
,,,
由,得,
由余弦定理得：,得,
由正弦定理得外接圆的半径.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）由已知,当时,,即,.
当时,,,
两式相减,得,即,（）,
由等比数列的定义知,数列是首项,公比的等比数列,
数列的通项公式为.
（2）由第（1）问,,,①
①,得,,②
①②,得
,
.
19．答案：（1）
（2）或
解析：（1）设,,,M是线段AB的中点,则即,
点A在圆上运动, ,
点M的轨迹方程为.
（2）

过定点的直线l与曲线C交于P,Q两点,则直线l的斜率一定存在且不为0,
设直线,即,设,
,,当时,的面积最大,
此时为等腰直角三角形,设圆心到直线l的距离为d,
由勾股定理有,又C到直线l距离也为d,所以：
,解之得或,
此时l的方程为或.
20．答案：（1）
（2）四边形ABCD的面积为定值,理由见解析.
解析：（1）因为E上任意一点到两焦点的距离之和为4,所以,即.
又因为点在E上,所以,则,故椭圆E的方程为.
（2）
四边形ABCD的面积为定值,理由如下：
当直线AB斜率为0时,因为,
不妨设,则,则,,
此时四边形ABCD的面积为为定值;
当直线AB斜率不为0时,设,且,.
联立,得.
由,得,
则,,
则
,
因为,所以,即,即,
则,
又原点O到的距离,
所以四边形ABCD的面积：
.
综上,所以四边形ABCD的面积为定值4.
21．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）当时,,求导得,
则,而,于是,
所以曲线在处的切线方程为.
（2）函数,求导得,
由函数在上单调递增,得在区间上恒成立,
而,
令,依题意,在区间上恒成立,
求导得,
当时,而,则,在区间上单调递减,
此时,不合题意;令,则,
当,时,由于,则,在区间上单调递增,
即在区间上单调递增,
于是,在区间上单调递增,,满足题意;
当时,由,得,
当时,在区间上单调递减,即单调递减,
则当时,,单调递减,
因此当时,,不合题意,
所以实数a得取值范围是.
22．答案：（1）,
（2）或.
解析：（1）因为,由,
所以曲线的普通方程为,,,,
所以,即.
所以曲线的极坐标方程为,.
（2）设A,B两点对应的参数分别为,,
将代入得,
由题知,,
所以,.因为,所以,
又,所以,故.
当时,代入得,
此时的普通方程为,即.
当时,代入得,
此时的普通方程为,即,
联立可得,即,解得：或,
所以直线的普通方程为或.
23．答案：（1）或
（2）
解析：（1）当时,,
由可得,,解得.又,所以解为;
当时,,
由可得,,解得.又,所以无解;
当时,,
由可得,,解得.又,所以解为.
综上所述,不等式的解集或.
（2）由（1）可知,.
当时,单调递减,此时有;
当时,单调递减,此时有;
当时,单调递增,此时有.
综上所述,在处有最小值为4.
由已知恒成立,只需,即,