宁乡市第一高级中学2022-2023学年高一上学期12月检测数学试卷(含答案)

这是一份宁乡市第一高级中学2022-2023学年高一上学期12月检测数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,则下列选项正确的是( )
A.B.C.D.
2．命题“,”的否定是( )
A.,B.,
C.,D.,
3．若,是方程的两个根,则( )
A.B.1C.D.2
4．已知实数,,,则的最小值是( )
A.B.C.3D.2
5．已知函数在R上单调递增,则( )
A.B.C.或D.或
6．如图是杭州2022年第19届亚运会会徽,名为“潮涌”,如图是会徽的几何图形,设弧AD长度是,弧BC长度是,几何图形ABCD面积为,扇形BOC面积为,若,则( )
A.5B.6C.7D.8
7．已知,,,则( )
A.B.C.D.
8．定义在R上的偶函数满足,当时,,若函数在上恰有三个零点,则实数k的取值范围是( )
A.B.
C.D.
二、多项选择题
9．下列命题是真命题的是( )
A.命题“,使得”的否定是“,均有”
B.
C.“”是“”的必要不充分条件
D如果,那么
10．为了得到函数的图象,只要把函数图象上所有的点( )
A.向左平移个单位长度,再将横坐标变为原来的2倍
B.向左平移个单位长度,再将横坐标变为原来倍
C.横坐标变为原来的倍,再向左平移个单位长度
D.横坐标变为原来倍,再向左平移个单位长度
11．已知e是自然对数的底数,则下列不等关系中正确的是( )
A.B.C.D.
12．已知函数,则( )
A.点是曲线的对称中心
B.当时,函数有两个极值点
C.当时,函数有三个零点
D.过原点可作曲线的切线有且仅有两条
三、填空题
13．_________.
14．若,则=_____.
15．设函数则满足的x的取值范围是______.
16．荀子《劝学》中说:“不积跬步,无以至千里;不积小流,无以成江海.”我们可以把看作是每天的“进步”率都是,一年后是;而把看作是每天的“退步”率都是,一年后是.若经过200天,则“进步”后的值大约是“退步”后的值的______倍(取,,,结果取整数).
四、解答题
17．已知集合,集合.
（1）若,求;
（2）若,求实数a的取值范围.
18．已知,.
（1）求的值
（2）求的值.
19．已知函数,函数图像上所有点的纵坐标保持不变,横坐标扩大为原来的2倍,再向左平移个长度单位,得到函数的图象.
（1）求函数的最小正周期和单调递减区间;
（2）当时,求函数的值域.
20．已知(其中且).
（1）若,,求实数x的取值范围;
（2）若,的最大值大于1,求a的取值范围.
21．某工厂某种产品的年固定成本为250万元,每生产x千件,需另投入成本为,当年产量不足80千件时,(万元).当年产量不小于80千件时,（万元）,每千件商品售价为50万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.
（1）写出年利润(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式;
（2）当年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?
22．已知函数,其中e为自然对数的底数.
（1）证明:在上单调递增;
（2）函数,如果总存在,对任意,都成立,求实数a的取值范围.
参考答案
1．答案：C
解析：由题意知集合,
故,A错误;
,B错误;
,C正确;
,D错误,
故选:C.
2．答案：C
解析：因为命题“,.
根据命题的否定的定义
所以该命题的否定是,
故选:C
3．答案：C
解析：因为,是方程的两个根,
由韦达定理得,,
所以,
故选:C
4．答案：B
解析：,,
,
当且仅当,即,时取等号.
故选:B
5．答案：D
解析：由题意可得:,解得或.
故选:D.
6．答案：D
解析：设,则,所以,
所以,
故选:D
7．答案：B
解析：因为当时,,
故,
故,所以;
设,,
设,
在上单调递增,
所以
则,
所以在上单调递增,
故,
所以,
所以,
所以,
故选:B.
8．答案：C
解析：因为定义在R上的偶函数满足
所以,即函数为周期函数,周期为2,
因为当时,,
所以,作出其图像如图,
因为函数在上恰有三个零点,
所以与有3个交点,
当时,
由图,
设直线是在原点时的切线,此时与有2个交点,
当直线过点时,直线与有2个交点,此时直线的斜率为1
因为当时,,,即直线斜率为,
所以,要使与有3个交点,则,
当时,由对称性可知,也满足题意;
所以,实数k的取值范围是
故选:C
9．答案：BCD
解析：对于A,命题“,使得”的否定是“,
均有”,所以,A错误;
对于B,,,所以,B正确;
对于C,,所以,“”不一定能得到“”,
充分性不成立,而“”成立,则“”成立,所以,必要性成立,C正确;
对于D,如果,则,所以,,所以,D正确;
故选:BCD
10．答案：BC
解析：要得到函数的图象,
可将的图象上所有点向左平移个单位长度,
然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来的,纵坐标不变而得到.
也可将的图象上所有点的横坐标变为原来的,纵坐标不变,
然后将所得图象上所有点向左平移个单位长度而得.
故选:BC.
11．答案：ABC
解析：BCD选项分别等价于,,,
构造函数,.
则.当时,,在内单增;当时,,在内单减.
因此.所以(当时取等)
于是,,.故,,,所以选项D错误,选项BC正确.
因为,所以选项A正确.
故选:ABC.
12．答案：AB
解析：选项A:因为,所以点是曲线的对称中心,故A正确;
选项B:因为,所以
令解得或,令解得,
所以在,上单调递增,在上单调递减,
所以在处取得极大值,在处取得极小值,故B正确;
选项C:在处取得极大值,在处取得极小值,
,解得时,函数有三个零点,,故C错误;
选项D:,设切点为,
所以在点C处的切线方程为:,
又因为切线过点,所以,
解得,,
即过点可以作曲线的1条切线,故D错误;
故选:AB
13．答案：或
解析：原式.
故答案为:.
14．答案：
解析：.
故答案为:.
15．答案：
解析：函数的图象如图所示,
满足可得或.
解得.
故答案为:.
16．答案：55
解析：由已知可得经过200天,“进步”的值为,“退步”的值为,
所以“进步”的值与“退步”的值的比值,
两边取对数可得,
又,,
所以,即,
因为,所以,
所以经过200天“进步”后的值大约是“退步”后的值的倍,
故答案为:55
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）由,即,解得,即;
当时,由得,故,
所以.
（2）因为,所以,
若,得;
若,有,得,
综上,故.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,所以,
所以,
又因为,
所以;
（2）由（1）得,
所以,
所以.
19．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）,所以的最小正周期为:,由
,解得
所以得单调递减区间为:.
（2）函数图像上所有点的纵坐标保持不变,横坐标扩大为原来的2倍,得到,再向左平移个长度单位,得.
当,,,故.
故函数在的值域为.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）当时,,
即有,
所以,解得,
故实数x的取值范围是;
（2）因为,则时,.
当时,则函数最大值,解得;
当时,则函数最大值,解得;
综上所述,a的取值范围是.
21．答案：（1）见解析
（2）100千件
解析：（1）由题可知当时,,
当时,,
;
（2）时,,
则时有最大值950;
时,,
时,,时取等,
则时有最大值1000;
综上,年产量为100千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大.
22．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）证明:任取,,且,
则
因为,,,所以,,,
所以,即当时,总有,所以在上单调递增.
（2）由,得是R上的偶函数,同理,也是R上的偶函数.
总存在,对任意都有,
即函数在上的最大值不小于,的最大值.
由（1）知在上单调递增,所以当时,,
所以.
令,则,令,易知在上递增,
又,所以,即,
所以,即实数a的取值范围是.