湘潭市第一中学2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试卷(含答案)

湘潭市第一中学2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．已知复数z满足,则( )A.5 B.4 C.3 D.22．“”是函数“是定义在R上的增函数”的( )A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件3．函数的最小正周期为,图象的一个对称中心为,则的一个单调递增区间是( )A. B. C. D.4．已知单位向量,满足,则( )A. B. C. D.5．已知的顶点都在球O的球面上,,,,三棱锥的体积为,则该球的表面积等于( )A. B. C. D.6．在新冠病毒流行期间,为了让居民能及时了解疫情是否被控制,专家组通过会商一致认为:疫情被控制的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”,记连续7天每天记录的新增感染人数的数据为一个预报簇,根据最新的连续四个预报簇①,②,③,④,依次计算得到结果如下:①平均数;②平均数,且标准差;③平均数,且极差;④众数等于1,且极差.其中符合疫情被控制的预报簇个数为( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个7．已知是奇函数,若恒成立,则实数b的取值范围是( )A. B. C. D.8．如图,棱长为2正方体,O为底面AC的中心,点P在侧面内运动且,则点P到底面AC的距离与它到点的距离之和最小是( )A. B. C. D.二、多项选择题9．已知,,均为非零向量,下列命题错误的是( )A., B.可能成立C.若,则 D.若,则或10．从参加安全知识竞赛学生中随机抽出40名学生,将其成绩(均为整数)整理后画出的频率分布直方图如图所示.已知65分以下的学生共16人,则下列说法正确的是( )A.B.这40名学生的平均成绩约为66分C.根据此频率分布直方图可计算出这40名学生成绩的中位数约为70分D.根据此频率分布直方图可计算出这40名学生成绩的上四分位数约为77分11．已知函数(其中,,)的部分图象如图所示,则下列结论正确的是( )A.函数的图象的周期为B.函数的图象关于点对称C.函数在区间上的最大值为2D.直线与图像所有交点的横坐标之和为12．已知某四面体四条棱长度为,另外两条棱长度为,则下列说法正确的是( )A.若且该四面体的侧面存在正三角形,则B.若且该四面体的侧面存在正三角形,则四面体的体积C.若且该四面体的对棱均相等,则四面体的体积D.对任意,记侧面存在正三角形时四面体的体积为,记对棱均相等时四面体的体积为,恒有三、填空题13．如图,在中,C是边AB上的一点,且,设,,则________.(用,表示)14．某景区为拓展旅游业务,拟建一个观景台P(如图所示),其中AB,AC为两条公路,,M,N为公路上的两个景点,测得,,为了获得最佳观景效果,要求P对的视角.现需要从观景台P到M,N建造两条观光路线PM,PN,且要求观光路线最长.若建造观光路线的宽为5米,每平方造价为100元,则该景区预算需投入___万元可完成改造.15．已知事件A,B,且,,如果A与B互斥,令;如果A与B相互独立,令,则___________.16．在正三棱柱中,D,E,F分别为,,的中点,,M为的中点,则下列说法正确的是______.①AF,BE为异面直线;②平面ADF;③若,则;④若,则直线与平面所成的角为.四、解答题17．在中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,已知在,,,且.（1）求角A大小;（2）若面积为,,求AD的长.18．在中,设角A,B,C的对边长分别为a,b,c,已知.（1）求角B的值;（2）若为锐角三角形,且,求的面积S的取值范围.19．从某种产品中抽取100件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频数分布表:（1）估计这种产品质量指标值平均数,众数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)及中位数(保留一位小数);（2）根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定?如果不能,那么质量指标值应该定为不低于多少?20．如图所示,三棱柱中,侧棱垂直底面,,,D为的中点,P为AB的中点.（1）请判断直线PD与平面的位置关系,并证明;（2）求点到平面PCD的距离.21．如图,已知SA垂直于梯形ABCD所在的平面,矩形SADE的对角线交于点F,G为SB的中点,,.（1）求钝二面角的余弦值;（2）在线段EG上是否存在一点H,使得BH与平面SCD所成角的大小为?若存在,求出GH的长;若不存在,说明理由.22．如图,在四棱锥中,平面ABCD,底面ABCD是直角梯形,,,,E为PD的中点.（1）证明:平面PBC.（2）若二面角的正切值为,求二面角的正弦值.参考答案1．答案：A解析：设复数,a,.因为,所以,即,解得,,.故选:A.2．答案：C解析：若是定义在R上的增函数,则有,解得,所以“”是函数“是定义在R上的增函数”的充分必要条件.故选:C.3．答案：B解析：因为,且的最小正周期为,所以,得.因为图象的一个对称中心为,所以,则,,得,.因为,所以,所以.令,,则,,当时,,即的一个单调递增区间是故选:B.4．答案：B解析：因为,所以,故选:B5．答案：A解析：依题意知为直角三角形,其所在圆面的半径为,设三棱锥的高为,则由得,设球O的半径为R,则由,得,故该球的表面积为.故选:A6．答案：B解析：①错,举反例:0,0,0,0,2,6,6,其平均数,不符合指标,②错,举反例:0,3,3,3,3,3,6,其平均数,且标准差,不符合指标,③对,若极差等于0或1,在的条件下,显然符合指标;若极差等于2且,则每天新增感染人数的最小值和最大值有下列可能:（1）0,2,（2）1,3,（3）2,4,符合指标,④对,若众数等于1且极差小于或等于4,则最大值不超过5,符合指标,故选:B.7．答案：B解析：是奇函数,即恒成立,即,则,解得,又,,则,所以,,是奇函数,因为在是单调递减函数,在是单调递增函数,由复合函数的单调性性判断得,函数在上单调递减,又为奇函数,所以在R上单调递减;由恒成立得,可得恒成立,则,即恒成立,所以恒成立,解得.故选:B.8．答案：A解析：取中点F,连接AC,FA,FC,BD,FO,由,,可知,则,由知,即.平面ABCD,⊥平面ABCD,,又,,平面,平面,,,平面ACF,,平面ACF,平面ACF,P在侧面内,平面平面,即P在CF上;平面⊥平面ABCD,且交线为BC,P到平面ABCD的距离即为P到BC的距离,将平面沿BC翻折到与平面ABCD共面,如图:将B关于CF对称到,过作与E,则即为点P到底面AC的距离与它到点的距离之和的最小值.以B为原点,建立如图所示坐标系,则,,,直线CF方程为,即,设,则,.故选:A.9．答案：ACD解析：仍是向量,不是向量,A错;不妨取,,,则,,此时,B对;若,,,则,但,C错;若,,则,但,,D错.故选:ACD.10．答案：ABD解析：由题意得,得,A正确;由,得,所以40名学生的平均成绩约为分,B正确;设这40名学生成绩的中位数为x分,则,得,C错误;设这40名学生成绩的上四分位数为y分,则,得,D正确.故选:ABD11．答案：AC解析：依题意,,得,故A正确;,,则,当时,取最小值,则,得,即,当时,,故B错误;当,则,则,故C正确;,则,设直线与图像所有交点的横坐标为,,则,解得,故D错误;故选:AC.12．答案：ACD解析：对于A选项,如下图所示,四面体中,依题意,不妨设,,设E是CD的中点,所以,,设,则,在三角形ABE中,由余弦定理得,即,,由于,所以,故A选项正确.对于B选项,如下图所示,四面体中,不妨设,,设E是CD的中点,则,,,BE,平面ABE,所以平面ABE.设,则,由于,所以.当时,,,时等号成立,B选项错误.对于C选项,如下图所示,四面体中,不妨设,,设E是CD的中点,则,,,BE,平面ABE,所以平面ABE.在三角形ABE中,,所以,所以.当且仅当,,时等号成立.故当时,,即,C选项正确.对于D选项,由上述分析可知,,,,所以D选项正确.故选:ACD13．答案：解析：故答案为:14．答案：265解析：在中,由余弦定理得:,解得(千米);设,,,在中,由正弦定理,得,,,,又因为,所以所以,即观光线路长的最大值为,该景区预算需投入元万元.故答案为:265.15．答案：0.4或解析：A与B互斥,,A与B相互独立,,.故答案为:.16．答案：②③解析：对于①:如图,连接EF,由题意得,所以A,B,E,F四点共面,所以AF,BE不是异面直线,①错误;对于②:取DA的中点N,连接FN,MN,得,,所以,,则四边形EFNM是平行四边形,所以,因为面AFD,所以面ADF,②正确;对于③:取AB的中点Q,连接CQ,FQ,由平行且相等知:四边形EFQB为平行四边形,则有,又,即,设,则,,,,解得,③正确;对于④:由,,可知为正三角形,,连接,易知平面,故即直线与平面所成的角,,,所以④错误.故答案为:②③17．答案：（1）（2）解析：（1）,且,则,则,,则又,,又,.（2）由,可得又由,可得联立,解之得或又,则,因为,所以所以所以,即18．答案：（1）（2）见解析解析：（1）,由正弦定理得,即,即,即,由余弦定理得,,;（2）,,即,又,由正弦定理得,,为锐角三角形,,解得,从而,.19．答案：（1）99.7（2）90.4解析：（1）质量指标值的样本平均数为:,质量指标值的样本众数为,所以这种产品质量指标值的平均数约为100,众数为100,由上可知中位数落在内,设中位数为,则:,得到,因此,中位数为99.7.（2）质量指教不低于95的产品所占比例约为.由于该估计值小于0.8,故不能认为该企业伸长的这种产品符合“质量指标不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定;离0.8还差0.12,故,故质量指标不低于.20．答案：（1）见解析（2）解析：（1）证明:如图所示,连结,因为D,P分别是,AB的中点,,又平面,PD平面,平面;（2）因为D是的中点,故可将点到平面PCD的距离转化为求点B到平面PCD的距离,连结,有,则,则,易知,则,,设点B到平面PCD的距离为d,由等积法,得:,解得:,故点到平面PCD的距离为.21．答案：（1）（2）解析：（1）因为面ABCD,AB,面ABCD,所以,,又,则,以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,,,,所以,,设面SCD的法向量为,则,令,则,又面ESD的一个法向量为,所以,所以钝二面角的余弦值为.（2）存在,理由如下:若存在H,设,则,由（1）知,面SCD的一个法向量为,则,即,所以,则,故存在满足题意的H,此时.22．答案：（1）见解析（2）见解析（3）解析：（1）如图,取棱PC的中点F,连接EF,BF,因为E,F分别为棱PD,PC的中点,所以且,因为,,且,所以且,所以且,则四边形ABFE为平行四边形,,因为平面PBC且平面PBC,所以平面PBC;（3）不妨设,连接BD,则,,,由勾股定理可得,因为平面ABCD,所以,因为,所以平面PBD,因为平面PBD,所以,又,所以为二面角的平面角,因为,所以;分别设AE,BF的中点为H,G,连接HG,CG,CH,因为平面ABCD,所以,又因为,所以平面PAD,因为,所以平面PAD,,因为,且H为AE的中点,所以,故就是二面角的平面角,在中,,,,由余弦定理可得,所以,故二面角的正弦值为;综上,二面角的正弦值为.质量指标值分组频数62638228