湘潭市第一中学2023届高三上学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份湘潭市第一中学2023届高三上学期期中考试数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知全集,集合,集合,则集合( )
A.B.C.D.
2．已知i为虚数单位,则在复平面上对应点在( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3．在等差数列中,若,则( ).
A.4B.6C.8D.10
4．已知向量,,若,则( )
A.B.4C.5D.
5．某种兼职工作虽然以计件的方式计算工资,但是对于同一个人的工资与其工作时间还是存在一定的相关关系,已知小孙的工作时间x(单位:小时)与工资y(单位:元)之间的关系如下表:
若y与的线性回归方程为,预测当工作时间为9小时时,工资大约为( )
A.元B.元C.元D.元
6．若,,则( )
A.B.C.D.
7．如图,平面平面ABEF,四边形ABCD是正方形,四边形ABEF是矩形,G是EF的中点,,,则三棱锥外接球的表面积是( )
A.B.C.D.
8．已知函数的图象上存在点M,函数的图象上存在点N,且M,N关于轴对称,则的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．以下关于函数的命题,正确的是( )
A.函数的最小正周期为
B.点是函数图象的一个对称中心
C.直线的函数图象的一条对称轴
D.将函数的图象向右平移个单位后得到的函数的图象关于原点对称
10．已知抛物线焦点为F,点在抛物线C上,若,则( )
A.B.C.D.F的坐标为
11．已知函数,若是的导函数,则下列结论中正确的是( )
A.函数的值域与的值域相同
B.若是函数的极大值点,则是函数的极小值点
C.把函数的图象向右平移个单位,就可以得到函数的图象
D.函数和在区间上都是增函数
12．在棱长为1正方体中,O为正方形的中心,则下列结论正确的是( )
A.B.平面
C.点B到平面的距离为D.直线BO与直线的夹角为
三、填空题
13．展开式中的系数是___________.
14．如图,直线l是曲线在处的切线,则___________.
15．已知为圆上任意一点,则的最大值是______.
16．已知椭圆与抛物线有相同的焦点F,点A是两曲线的一个公共点,且轴,则椭圆的离心率是___________.
四、解答题
17．已知数列满足,.
（1）证明:数列为等差数列;
（2）设,证明:.
18．已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.
（1）求角B;
（2）若,求周长的最大值.
19．年月日是中国传统二十四节气“立秋”,该日,“秋天的第一杯奶茶”再度出圈,据此,学校社会实践小组随机调查了该地区位奶茶爱好者的年龄,得到如下样本数据频率分布直方图.
（1）估计奶茶爱好者的平均年龄;(9同一组数据用该区间的中点值作代表)
（2）估计奶茶爱好者年龄位于区间的概率;
（3）以频率替代概率进行计算,若从该地区所有奶茶爱好者中任选3人,求3人中年龄在30岁以下的人数X的分布列和期望.
20．如图,四棱锥中,底面ABCD是矩形,,.M为BC上的点,且平面PDB;
（1）求证:平面ABCD;
（2）求二面角的正弦值.
21．已知双曲线右焦点到渐近线的距离为．
（1）求双曲线C的方程．
（2）过点F的直线与双曲线C的右支交于A,B两点,在轴上是否存在点P,使得点F到直线PA,PB的距离相等?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由．
22．已知函数.
（1）若是的极值点,求的单调区间;
（2）求在区间上的最小值.
参考答案
1．答案：B
解析：,,则,
故选B.
2．答案：A
解析：由,
所以在复平面对应的点为,在第一象限.
故选:A
3．答案：C
解析：,
所以,,.
4．答案：C
解析：因为,所以,解得,
所以,因此,故选C．
5．答案：B
解析：由表格数据知:,,
,线性回归方程为,
,即当工作时间为9小时时,工资大约为76元.
故选:B.
6．答案：D
解析：将两边同时平方,,所以,
因此,,异号,故,且,则,
因此,而,,
所以,
故选:D.
7．答案：B
解析：取AC中点O,连接OB,OG,
平面平面ABEF,平面平面,,平面ABCD,平面ABEF,
平面ABEF,;
,,G为EF中点,,,
,又,BC,平面,平面BCG,
平面BCG,,
,均为以AC为斜边的直角三角形,O为斜边AC中点,
,为三棱锥的外接球球心,
三棱锥的外接球半径,
三棱锥的外接球表面积.
故选:B.
8．答案：A
解析：因为函数与函数的图象关于x轴对称,
根据已知得函数的图象与函数的图象有交点,
即方程在上有解,
即在上有解．
令,,
则,
可知在上单调递增,在上单调递减,
故当时,,
由于,,且,
所以．
故选:A．
9．答案：AD
解析：由题意得,所以最小正周期,所以A对．
,所以直线是函数图象的一条对称轴,所以B错．
,所以点是函数图象的一个对称中心,所以C错．
将函数的图象向右平移个单位后得到的图象对应的函数为,是奇函数,所以D对．
故选:AD．
10．答案：AC
解析：由题可知,由,,
所以,.
故选:AC．
11．答案：AD
解析：因为,所以,
A.因为函数的值域是,的值域是,故正确;
B.若是函数的极大值点,则,解得,k为奇数,而,所以不是函数的极小值点,故错误;
C.把函数图象向右平移个单位得到,故错误;
D.当时,,,函数和都是增函数,故正确.
故选:AD
12．答案：ABC
解析：对于A,如图,连接,,则,交于点O,
正方体中,,平面,平面,
故,而,,,平面,
故平面,故平面,而平面,
故,即,故A正确;
对于B,连接BD,交AC于E,连接,则,,
故四边形平行四边形,故,平面,BO不在平面,
故平面,故B正确;
对于C,设点B到平面的距离为d,因为,
故,解得,故C正确;
对于D,连接,则,即为直线BO与直线的夹角或其补角,
在中,,,,
所以,则,故D错误,
故选:ABC
13．答案：35;
解析：由题可知:的通项公式为,
令
所以的系数是
故答案:35
14．答案：7
解析：直线l过点,,直线l斜率,
又直线l是在处的切线,,又,
.
故答案为:7.
15．答案：
解析：把圆化为标准式,
圆心,半径.
则表示圆C上的点与圆外的点连线的斜率.
设过点的直线方程为,即.
当直线与圆C相切时,斜率取最值.
由,解得或.
最大值是.
故答案为:.
16．答案：或
解析：由题意知:是椭圆的焦点,;
轴,或,
代入椭圆方程得:,,
又椭圆的离心率,,
解得:,又,.
故答案为:.
17．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）由变形得:
又,故
数列是以1为首项1为公差的等差数列.
（2）由（1）知:
18．答案：（1）
（2）12
解析：（1）因为,则,
在中,由正弦定理得,,而,即,
整理得,即,又,解得,
所以.
（2）在中,由余弦定理得:,即,
而,于是得,当且仅当时取“=”,
因此,当时,取最大值8,从而取最大值12,
所以周长的最大值为12.
19．答案：（1）21.4
（2）0.48
（3）
解析：（1）由频率分布直方图估计奶茶爱好者的平均年龄为:
(岁).
（2）由频率分布直方图得:奶茶爱好者年龄位于区间的频率为,
由频率估计概率可知:奶茶爱好者年龄位于区间的概率为0.48.
（3）由频率分布直方图得:从该地区所有奶茶爱好者中任选人,年龄在岁以下的概率为,;
则X所有可能的取值为0,1,2,3,
;;;;
的分布列为:
则数学期望.
20．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）,,,,
又,;
平面PDB,平面PDB,;
,AB,平面ABCD,平面ABCD.
（2）平面PDB,平面PDB,,
,,
,即,,
为BC中点,
以D为坐标原点,,,正方向为x,y,z轴,可建立如图所示空间直角坐标系,
则,,,,
,,,
设平面APM的法向量,
则,令,解得:,,;
设平面BPM的法向量,
则,令,解得:,,;
,;
即二面角的正弦值为.
21．答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）由题意得,,故,
又因为双曲线的渐近线为,故是双曲线C的一条渐近线,
所以右焦点到渐近线的距离为,解得,
所以,,
所以双曲线C的标准方程为．
（2）假设存在,设,,
由题意知,直线斜率不为0,设直线,
联立,消去,得,
则,,
且,,
因为使得点F到直线PA,PB的距离相等,所以PF是的角平分线,
则,即,则,
整理得,故,
即,因为,所以,
故存在．
22．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）的定义域为,
.
因为是的极值点,所以,解得,
所以,
当时,;当时,,
所以的单调递减区间为,单调递增区间为.
（2）,则,
令,得或.
①当,即时,在上为增函数,;
②当,即时,在上单调递减,在上单调递增,
所以;
③当,即时,在上为减函数,
所以.
综上所述,.
x
2
4
5
6
8
y
30
40
50
60
70
X
0
1
2
3
P