人教A版 (2019)选择性必修 第二册第五章 一元函数的导数及其应用本章综合与测试优秀当堂检测题

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知识点一：数列求通项（法、法）
1对于数列，前项和记为；
①；②
②：
2对于数列，前项积记为；
①；②
①②：
知识点二：累加法（叠加法）
若数列满足，则称数列为“变差数列”，求变差数列的通项时，利用恒等式求通项公式的方法称为累加法。
具体步骤：
将上述个式子相加（左边加左边，右边加右边）得：
=
整理得：=
知识点三：累乘法（叠乘法）
若数列满足，则称数列为“变比数列”，求变比数列的通项时，利用求通项公式的方法称为累乘法。
具体步骤：
将上述个式子相乘（左边乘左边，右边乘右边）得：
整理得：
知识点四：构造法
类型1： 用“待定系数法”构造等比数列
形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式.
标准模型：（为常数，）或（为常数，）
类型2：用“同除法”构造等差数列
（1）形如，可通过两边同除，将它转化为，从而构造数列为等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式.
（2）形如，可通过两边同除，将它转化为，换元令：，则原式化为：，先利用构造法类型1求出，再求出的通项公式.
（3）形如的数列，可通过两边同除以，变形为的形式，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式.
知识点五：倒数法
用“倒数变换法”构造等差数列
类型1：形如（为常数，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，即：，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，即可求得.
类型2：形如（为常数，，，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，可通过换元：，化简为：（此类型符构造法类型1： 用“待定系数法”构造等比数列：形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式.）
知识点六：隔项等差数列
已知数列，满足，
则；
（其中为常数）；或则称数列为隔项等差数列，其中：
①构成以为首项的等差数列，公差为；
②构成以为首项的等差数列，公差为；
知识点七：隔项等比数列
已知数列，满足，
则；
（其中为常数）；或则称数列为隔项等比数列，其中：
①构成以为首项的等比数列，公比为；
②构成以为首项的等比数列，公比为；
二、题型精讲
题型01 法（用，得到）
1．（多选）（2023秋·吉林长春·高三校考阶段练习）设为数列的前项和，已知，，，，则（ ）
A．是等比数列B．
C．D．
2．（2023秋·上海普陀·高二上海市晋元高级中学校考阶段练习）已知数列的前项和，的通项公式为 .
3．（2023秋·上海徐汇·高三上海市南洋模范中学校考阶段练习）已知数列的前项和，．若是等差数列，则的通项公式为 ．
4．（2023秋·甘肃庆阳·高二校考阶段练习）已知各项均为正数的数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，，求数列的前项和.
5．（2023秋·福建厦门·高三厦门大学附属科技中学校考阶段练习）已知各项为正的数列的前n项和为，满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，，，，，…，依此类推，求的通项公式.
6．（2023·湖北黄冈·黄冈中学校考三模）已知正项数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)将数列和数列中所有的项，按照从小到大的顺序排列得到一个新数列，求的前100项和.
题型02法（将题意中的用替换）
1．（多选）（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知数列的前n项和为，且满足，，则下列说法正确的是（ ）
A．数列的前n项和为
B．数列的通项公式为
C．数列不是递增数列
D．数列为递增数列
2．（2023·全国·高三专题练习）设数列的前n项和为，且，，则 ．
3．（2023秋·贵州黔东南·高三天柱民族中学校联考阶段练习）已知正项数列的前项和为，且.
(1)求；
(2)设，数列的前项和为，证明：.
4．（2023春·河南许昌·高二统考期末）已知数列，，其前n项的和为，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：．
5．（2023春·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考期中）设正项数列的前n项和为，且，当时，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足，且，求数列的通项公式．
6．（2023·安徽阜阳·安徽省临泉第一中学校考三模）已知数列的前n项和为，.
(1)若，证明：数列为等差数列.
(2)若，，求的最小值.
题型03法（已知等式中左侧含有：）
1．（多选）（2023秋·山东潍坊·高三统考阶段练习）已知数列满足，则（ ）
A．
B．的前项和为
C．的前100项和为
D．的前20项和为284
2．（2023秋·天津津南·高二校考期末）已知数列满足，，记数列的前项和为，则（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023秋·湖北·高三黄石二中校联考阶段练习）数列满足，，且.
(1)求数列的通项公式；
4．（2023春·湖北恩施·高二校联考期中）已知数列的前项之积为，且．
(1)求数列和的通项公式；
5．（2023秋·四川眉山·高三校考开学考试）已知数列的前项和为，，．
(1)求数列的通项公式；
6．（2023春·河南南阳·高二校考阶段练习）已知数列满足．
(1)求的值；
题型04累加法
1．（2023秋·江苏无锡·高二江苏省南菁高级中学校考阶段练习）已知数列满足，则的通项公式为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·辽宁朝阳·高二建平县实验中学校考阶段练习）已知各项均为正数的数列满足，，则取最小值时，（ ）
A．3B．4C．5D．6
3．（2023秋·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考阶段练习）已知数列满足，，则 ．
4．（2023·全国·高三专题练习）若数列满足：，，则数列的通项公式为 ．
5．（2023秋·重庆九龙坡·高三重庆实验外国语学校校考阶段练习）已知数列{}中，，且.其中，
(1)求数列{}的通项公式；
6．（2023秋·高二课时练习）在数列中，，且，求数列的通项公式．
7．（2023·全国·高三专题练习）若在数列中，，，求通项．
题型05累乘法
1．（2023秋·福建漳州·高二校考阶段练习）已知数列满足，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）在数列中，若，，则的通项公式为 ．
3．（2023·全国·高二专题练习）在数列中，（n∈N*），且，则数列的通项公式 .
4．（2023·全国·高二专题练习）若数列的首项，且，则数列的通项公式为 .
5．（2023秋·江苏·高二专题练习）已知：，（）求数列的通项.
6．（2023·全国·高二专题练习）已知数列满足：，，求数列的通项公式.
题型06构造法
1．（2023春·河南许昌·高二校考阶段练习）已知数列满足，则的通项公式（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高二专题练习）已知数列中，，则等于（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023秋·陕西商洛·高三陕西省山阳中学校联考阶段练习）已知数列满足，，则满足的最小正整数 ．
4．（2023春·江西南昌·高二南昌二中校考阶段练习）数列中，，，则此数列的通项公式 .
5．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，且，则数列的通项公式 ．
6．（2023秋·福建龙岩·高二福建省连城县第一中学校考阶段练习）已知在数列中，，，则 ．
题型07倒数法
1．（多选）（2023春·湖南岳阳·高二校考开学考试）已知数列满足，则下列结论正确的有（ ）
A．为等比数列
B．的通项公式为
C．为递增数列
D．的前n项和
2．（2023·全国·高二专题练习）已知数列满足，且，则数列的通项公式为 ．
3．（2023春·宁夏银川·高二宁夏育才中学校考期中）已知函数.
(1)若在数列中，，，计算、、，并由此猜想通项公式；
(2)证明（1）中的猜想．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的递推公式，且首项，求数列的通项公式．
5．（2023·全国·高二专题练习）已知数列的通项公式为，
(1)求数列的通项公式.
(2)若，求满足条件的最大整数值.


法归类
角度1：已知与的关系；或与的关系
用，得到
例子：已知，求
角度2：已知与的关系；或与的关系
替换题目中的
例子：已知；
已知
角度3：已知等式中左侧含有：
作差法（类似）
例子：已知求
法归类
角度1：已知和的关系
角度1：用，得到
例子：的前项之积.
角度2：已知和的关系
角度1：用替换题目中
例子：已知数列的前n项积为，且.