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高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册第五章 一元函数的导数及其应用5.1 导数的概念及其意义精品精练
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知识点01：函数的平均变化率
1、定义：一般地，函数在区间上的平均变化率为：，表示为函数从到的平均变化率，若设,则平均变化率为
2、求函数的平均变化率通常用“两步”法：
①作差：求出和
②作商：对所求得的差作商，即.
【即学即练1】（2023·全国·高二课堂例题）已知函数，，分别计算它们在区间，上的平均变化率．
【答案】3；3；-3；6
【详解】函数在上的平均变化率为．
函数在上的平均变化率为．
函数在上的平均变化率为．
函数在上的平均变化率为．
3、平均变化率的几何意义
平均变化率如图：表示直线的斜率。
知识点02：函数在处的导数（瞬时变化率）
1、定义：函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数,记作.
【即学即练2】（2023·全国·高二随堂练习）已知函数，求自变量x在以下的变化过程中，该函数的平均变化率：
（1）自变量x从1变到1.1；
（2）自变量x从1变到1.01；
（3）自变量x从1变到1.001．
估算当时，该函数的瞬时变化率．
【答案】（1）；（2）；（3）；
【详解】（1）因为，
所以，
所以自变量x从1变到1.1的平均变化率为；
（2），
所以自变量x从1变到1.01的平均变化率为；
（3），
所以自变量x从1变到1.001的平均变化率为；
所以可估算当时，的瞬时变化率为，证明如下：
而，则，
所以在处的瞬时变化率为.
2、定义法求导数步骤：
求函数的增量：；
求平均变化率：；
求极限，得导数：.
知识点03：导数的几何意义
如图,在曲线上任取一点,如果当点沿着曲线无限趋近于点时,割线无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线称为曲线在点处的切线.则割线的斜率
【即学即练3】（2023·高二课时练习）已知函数，当时， ．
【答案】1
【详解】因为，
所以，
所以当时，，
故答案为：1
知识点04：曲线的切线问题
1、在型求切线方程
已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程.
步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点.
第二步：计算切线斜率.
第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。
根据直线的点斜式方程得到切线方程：.
【即学即练4】（2023上·高二课时练习）已知，求曲线在点处的切线方程．
【答案】
【详解】根据题意，先由导函数定义求曲线在点处切线的斜率：
当时，，从而当h趋近于0时，．
因此，曲线在点处切线的斜率为0．
根据直线的点斜式方程为，即；
于是，所求切线方程为．
2、过型求切线方程
已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程.
步骤：第一步：设切点
第二步：计算切线斜率；计算切线斜率；
第三步：令：，解出，代入求斜率
第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：.
【即学即练5】（2023·高二单元测试）试求过点且与曲线相切的直线的斜率．
【答案】或6
【详解】设切点坐标为，则有．
因为，所以．
切线方程为，将点代入，得，
所以，得或．
当时，；当时，．
所以所求直线的斜率为或6．
题型01 求物体运动的平均速度(含平均变化率）
【典例1】（2023下·河南新乡·高二统考期中）某物体沿直线运动，其位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则在这段时间内，该物体的平均速度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由位移与时间之间的关系为，
根据平均变化率的计算公式，可得在这段时间内，该物体的平均速度为：
故选：B.
【典例2】（2023下·江西九江·高二校联考期中）某汽车在平直的公路上向前行驶，其行驶的路程与时间的函数图象如图.记该车在时间段，，，上的平均速度的大小分别为，，，，则平均速度最小的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由题意知，汽车在时间，，，上的平均速度的大小分别为，，，，
设路程与时间的函数关系为，
则，即为经过点的直线的斜率，
同理为经过点的直线的斜率，
为经过点的直线的斜率，
为经过点的直线的斜率，如图，
由图可知，最小，即最小.
故选：C.
【变式1】（2023下·辽宁阜新·高二校联考阶段练习）函数在区间上的平均变化率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】，
故选：B．
【变式2】（2023·全国·高二课堂例题）某物体做自由落体运动，其运动方程为，其中t为下落的时间（单位：s），g为重力加速度，大小为9.8m/s2．求它在时间段内的平均速度．
【答案】19.6m/s
【详解】物体在时间段内的平均速度为：
（m/s），
即它在时间段内的平均速度19.6m/s.
题型02 求物体运动的瞬时速度（含瞬时变化率）
【典例1】（2023下·宁夏银川·高二宁夏育才中学校考阶段练习）在高台跳水运动中，时运动员相对于水面的高度单位：）是，则运动员在时的瞬时速度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】运动员在时的瞬时速度即为，令，
根据导数的定义，
，
所以，
故运动员在时的瞬时速度为.
故选：A．
【典例2】（2023·河南·高二校联考阶段练习）函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则（ ）
A．B．1C．2D．
【答案】B
【详解】函数在区间上的平均变化率等于，
在时的瞬时变化率为，
所以，解得.
故选：B
【变式1】（2023下·浙江嘉兴·高二校联考期中）函数在处的瞬时变化率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为，
所以，函数在处的瞬时变化率为
.
故选：C.
【变式2】（2023·高二课时练习）已知一物体的运动方程是s＝24t－3t2(s的单位为m， t的单位为s)，则物体在t＝ s时的瞬时速度为12 m/s.
【答案】2
【详解】在t到t＋Δt这段时间内，物体的平均速度为＝＝＝24－6t－3Δt.当Δt无限趋近于0时，无限趋近于24－6t，由题意得24－6t＝12，解得t＝2s.
故答案为：2.
题型03 曲线在某点处的切线斜率或倾斜角
【典例1】（2023·高二课时练习）已知函数，则该函数在处的切线斜率为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【详解】因为，
，
所以斜率，
．
故选：C
【典例2】（2023下·湖北·高二校联考期中）点在曲线上移动，设点处切线的倾斜角为，则角的范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：由，可得，
所以，即，
当时，，当时，，
所以角的范围是.
故选：B.
【变式1】（2022下·安徽黄山·高二屯溪一中校考期中）设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（ ）
A．.2B．C．D．
【答案】B
【详解】分析：化简得到，即得切线的斜率.
详解：∵，
∴，
∴，
∴，
故曲线在点处的切线的斜率是-2，
故选B.
【变式2】（2022·河北邯郸·统考一模）已知函数满足，则曲线在点处的切线斜率为 ．
【答案】3
【详解】由，可得．
因为，所以，即，则，
所以，．
故答案为：3.
题型04导数定义的理解与应用
【典例1】（2023·上海浦东新·高三华师大二附中校考期中）若为可导函数，且，则过曲线上点处的切线斜率为 ．
【答案】2
【详解】，故.
故答案为：2
【典例2】（2023下·河南·高二校联考阶段练习）已知函数是可导函数，且，则 .
【答案】/
【详解】因为函数是可导函数，且，
根据导数的定义，有.
故答案为：.
【变式1】（2023下·北京丰台·高二统考期中）如图，直线是曲线在点处的切线，则 ．
【答案】1
【详解】根据函数切线过,则曲线在处的切线斜率为，
根据导数的定义，可得.
故答案为：1．
【变式2】（2023下·上海嘉定·高二上海市育才中学校考期中）已知函数在处的切线斜率为，且，则
【答案】
【详解】
而，则.
故答案为：
题型05 求切线方程
【典例1】（2023下·湖南长沙·高二长沙市长郡梅溪湖中学校考期中）设为R上的可导函数，且，则曲线在点处的切线斜率为 .
【答案】/
【详解】由已知可得.
根据导数的几何意义可知，曲线在点处的切线斜率为.
故答案为：.
【典例2】（2023下·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知函数.
(1)利用导数的定义求导函数；
(2)求曲线在点处的切线的方程.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：因为
，
所以，.
（2）解：因为，故点在曲线上，
又因为，
所以，曲线在点处的切线的方程为，即.
【典例3】（2023·全国·高二专题练习）求函数的图象上过原点的切线方程．
【答案】或
【详解】设切点坐标为，则，
∵
,
所以切线方程为．
因为切线过原点，
所以，即，
解得或，
所以切线方程为或.
【变式1】（2023·高二课时练习）已知曲线上的两点和，求：
(1)割线AB的斜率；
(2)过点A的切线的斜率；
(3)点A处的切线的方程．
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【详解】（1）由已知可得，.
（2）令，，
根据导数的定义可得，.
①当切点为点时，根据导数的几何意义知；
②当切点不是点时.
设切点坐标为，，则，
又，所以有，解得，
因为，所以此时无解.
综上所述，过点A的切线的斜率.
（3）由（2）知，曲线在点A处的切线的斜率，
代入点斜式方程有，，整理可得切线的方程为.
【变式2】（2022·高二课时练习）试求过点P(3，5)且与曲线y＝x2相切的直线方程.
【答案】2x－y－1＝0和10x－y－25＝0
【详解】设所求切线的切点坐标为，则＝＝2x0＋Δx.
当Δx无限趋近于0时，无限趋近于2x0，
所以曲线在切点处的切线的斜率为2x0，
则所求切线方程为y－x＝2x0(x－x0).
因为切线过点P(3， 5)，
所以5－x＝2x0(3－x0)，解得x0＝1或5，
即所求的切线有两条，方程分别是y＝2x－1和y＝10x－25，
即2x－y－1＝0和10x－y－25＝0.
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（2023·江苏连云港·校考模拟预测）曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】因为，所以，即切点坐标为，由，所以，所以在点处的切线方程为，即.
故选：B
2．（2023下·广西桂林·高二统考期末）设函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】.
故选：C.
3．（2023下·西藏林芝·高二校考期末）函数在区间上的平均变化率为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】C
【详解】函数在区间上的平均变化率为.
故选：C
4．（2023下·河南驻马店·高二统考期末）定义在上的函数在区间内的平均变化率为，其中，则函数在处的导数（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由导数的定义可得，
故选：B.
5．（2023下·安徽滁州·高二校考阶段练习）函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列大小关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由图象可知在上单调递增，，
故，即．
故选：B．
6．（2023下·陕西渭南·高二校考期中）若函数在处的瞬时变化率为，且，则（ ）
A．2B．4C．D．
【答案】B
【详解】根据导数的定义可知，
.
故选：B
7．（2023下·高二课时练习）已知抛物线在处的增量为，则的值为（ ）
A．－0.11B．－1.1C．3.89D．0.29
【答案】B
【详解】因为，
则，
所以.
故选：B.
8．（2023下·北京海淀·高二人大附中期末）函数在附近的平均变化率是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】令，
因为，
所以，
则在附近的平均变化率是，
故选：C.
二、多选题
9．（2023下·山东日照·高二校考阶段练习）设函数，当自变量由变化到时，下列说法正确的是（ ）
A．可以是正数也可以是负数，但不能为0
B．函数值的改变量为
C．函数在上的平均变化率为
D．函数在上的平均变化率
【答案】ABD
【详解】由平均变化率的定义可知自变量的改变量不能为零，可以为正数或负数，
函数值的改变量为，平均变化率为函数值的改变量比自变量的改变量，即A、B、D正确；
故选：ABD
10．（2023下·高二课时练习）在高台跳水运动中，时运动员相对于水面的高度(单位：是，判断下列说法正确的是（ ）
A．运动员在时的瞬时速度是
B．运动员在时的瞬时速度是
C．运动员在附近以的速度上升
D．运动员在附近以的速度下降
【答案】BD
【详解】由已知，，
的瞬时速度为，
因此该运动员在附近以的速度下降，
故选：BD．
三、填空题
11．（2023上·上海奉贤·高三上海市奉贤中学校考阶段练习）若为可导函数，且，则过曲线上点处的切线斜率为 ．
【答案】1
【详解】因为，
故.
故答案为：1
12．（2023下·四川遂宁·高二四川省蓬溪中学校校考期中）拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是微积分学中的基本定理之一，它反映了函数在闭区间上的整体平均变化率与区间某点的局部变化率的关系，其具体内容如下：若在上满足以下条件：①在上图象连续，②在内导数存在，则在内至少存在一点，使得（为的导函数）．则函数在上这样的点的个数为
【答案】
【详解】由函数，则，
根据题意知，存在点，使得，即，
所以，
作出函数和的图象，如图所示，
由图象可知，函数和的图象只有一个交点，
所以只有一个解，即函数在上点的个数为个.
故答案为：.
四、解答题
13．（2023·全国·高二随堂练习）某人服药后，吸收药物的情况可以用血液中药物的质量浓度c（单位：μg/mL）来表示，它是时间t（单位：min）的函数，表示为．下表给出了的一些函数值：
(1)求服药后30min内，30min到40min，80min到90min这3段时间内，血液中药物质量浓度的平均变化率；
(2)讨论刻画血液中的药物质量浓度变化快慢的方法，并说明上述3段时间中，药物质量浓度变化最快的时间段．
【答案】(1)详见解析；
(2)详见解析.
【详解】（1）解：服药后30min内血液中药物质量浓度的平均变化率为：，
服药后30min到40min内血液中药物质量浓度的平均变化率为：，
服药后80min到90min内血液中药物质量浓度的平均变化率为：；
（2）用平均变化率的绝对值的大小刻画药物质量浓度变化的快慢，
当时，血液中的药物质量浓度增加；当时，血液中的药物质量浓度减小，
因为，
所以80min到90min这段时间内血液中的药物质量浓度变化最快.
14．（2023·全国·高二随堂练习）对一名工人的研究表明，工作t h后生产出的产品量Q（单位：t）可以近似表示为，该工人每天工作8h．
(1)求当t从2h变到4h，该工人生产的产品量Q关于时间t的平均变化率，并解释它的实际意义；
(2)求，，并解释它们的实际意义．
【答案】(1)74，意义见解析；
(2),，意义见解析.
【详解】（1）由题意可知：，
它表示该工人在2h到4h时间段内，平均每小时生产产品为74；
（2）由题意可得，
所以，
表示在2h时刻，工人的生产速度为每小时产量60，
表示在4h时刻，工人的生产速度为每小时产量84.
B能力提升
1．（2023·全国·高二课堂例题）充满气的气球近似为球体．在给气球充气时，我们都知道，开始充气时气球膨胀较快，随后膨胀速度逐渐缓慢下来，气球膨胀实际上就是气球半径增大，表面积增大，体积增大．试描述气球的半径相对于体积的平均变化率．
【答案】答案见解析
【详解】设气球的半径为，体积为，则，所以．
例如，当时，半径的平均变化率
．
当时，半径的平均变化率
．
由以上两个结果可以看出，气球体积由0.5增至1，再由1增至1.5，二者都增大了0.5，但的平均变化率却由0.26变成0.18，变小了．也就是说，随着气球体积的逐渐增大，它的半径的平均变化率逐渐变小．
2．（2023下·高二课时练习）已知函数．
(1)求函数的导函数；
(2)过点作函数的图象的切线，求切线方程．
【答案】(1)；
(2)或．
【详解】（1）
，
当时，，
所以函数的导函数为．
（2）设切点为，则由（1），可得切线的斜率，
则切线方程为，即．
因为切线过点，所以，解得或，
从而切线方程为或．课程标准
学习目标
①初步了解导数概念的背景，掌握平均变化率与瞬时变化率的概念及几何意义。
②会求函数的平均变率与瞬时变化率。
③能结合实际问题求曲线在某点处与某点附近点的切线与割线的斜率的极限值。
通过本节课的学习，要求会求函数的平均变化率与瞬时变化率.
t/min
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0.94
0.98
1.00
1.00
0.97
0.90
0.79
0.63
0.41
知识点01：函数的平均变化率
1、定义：一般地，函数在区间上的平均变化率为：，表示为函数从到的平均变化率，若设,则平均变化率为
2、求函数的平均变化率通常用“两步”法：
①作差：求出和
②作商：对所求得的差作商，即.
【即学即练1】（2023·全国·高二课堂例题）已知函数，，分别计算它们在区间，上的平均变化率．
【答案】3；3；-3；6
【详解】函数在上的平均变化率为．
函数在上的平均变化率为．
函数在上的平均变化率为．
函数在上的平均变化率为．
3、平均变化率的几何意义
平均变化率如图：表示直线的斜率。
知识点02：函数在处的导数（瞬时变化率）
1、定义：函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数,记作.
【即学即练2】（2023·全国·高二随堂练习）已知函数，求自变量x在以下的变化过程中，该函数的平均变化率：
（1）自变量x从1变到1.1；
（2）自变量x从1变到1.01；
（3）自变量x从1变到1.001．
估算当时，该函数的瞬时变化率．
【答案】（1）；（2）；（3）；
【详解】（1）因为，
所以，
所以自变量x从1变到1.1的平均变化率为；
（2），
所以自变量x从1变到1.01的平均变化率为；
（3），
所以自变量x从1变到1.001的平均变化率为；
所以可估算当时，的瞬时变化率为，证明如下：
而，则，
所以在处的瞬时变化率为.
2、定义法求导数步骤：
求函数的增量：；
求平均变化率：；
求极限，得导数：.
知识点03：导数的几何意义
如图,在曲线上任取一点,如果当点沿着曲线无限趋近于点时,割线无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线称为曲线在点处的切线.则割线的斜率
【即学即练3】（2023·高二课时练习）已知函数，当时， ．
【答案】1
【详解】因为，
所以，
所以当时，，
故答案为：1
知识点04：曲线的切线问题
1、在型求切线方程
已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程.
步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点.
第二步：计算切线斜率.
第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。
根据直线的点斜式方程得到切线方程：.
【即学即练4】（2023上·高二课时练习）已知，求曲线在点处的切线方程．
【答案】
【详解】根据题意，先由导函数定义求曲线在点处切线的斜率：
当时，，从而当h趋近于0时，．
因此，曲线在点处切线的斜率为0．
根据直线的点斜式方程为，即；
于是，所求切线方程为．
2、过型求切线方程
已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程.
步骤：第一步：设切点
第二步：计算切线斜率；计算切线斜率；
第三步：令：，解出，代入求斜率
第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：.
【即学即练5】（2023·高二单元测试）试求过点且与曲线相切的直线的斜率．
【答案】或6
【详解】设切点坐标为，则有．
因为，所以．
切线方程为，将点代入，得，
所以，得或．
当时，；当时，．
所以所求直线的斜率为或6．
题型01 求物体运动的平均速度(含平均变化率）
【典例1】（2023下·河南新乡·高二统考期中）某物体沿直线运动，其位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则在这段时间内，该物体的平均速度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由位移与时间之间的关系为，
根据平均变化率的计算公式，可得在这段时间内，该物体的平均速度为：
故选：B.
【典例2】（2023下·江西九江·高二校联考期中）某汽车在平直的公路上向前行驶，其行驶的路程与时间的函数图象如图.记该车在时间段，，，上的平均速度的大小分别为，，，，则平均速度最小的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由题意知，汽车在时间，，，上的平均速度的大小分别为，，，，
设路程与时间的函数关系为，
则，即为经过点的直线的斜率，
同理为经过点的直线的斜率，
为经过点的直线的斜率，
为经过点的直线的斜率，如图，
由图可知，最小，即最小.
故选：C.
【变式1】（2023下·辽宁阜新·高二校联考阶段练习）函数在区间上的平均变化率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】，
故选：B．
【变式2】（2023·全国·高二课堂例题）某物体做自由落体运动，其运动方程为，其中t为下落的时间（单位：s），g为重力加速度，大小为9.8m/s2．求它在时间段内的平均速度．
【答案】19.6m/s
【详解】物体在时间段内的平均速度为：
（m/s），
即它在时间段内的平均速度19.6m/s.
题型02 求物体运动的瞬时速度（含瞬时变化率）
【典例1】（2023下·宁夏银川·高二宁夏育才中学校考阶段练习）在高台跳水运动中，时运动员相对于水面的高度单位：）是，则运动员在时的瞬时速度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】运动员在时的瞬时速度即为，令，
根据导数的定义，
，
所以，
故运动员在时的瞬时速度为.
故选：A．
【典例2】（2023·河南·高二校联考阶段练习）函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则（ ）
A．B．1C．2D．
【答案】B
【详解】函数在区间上的平均变化率等于，
在时的瞬时变化率为，
所以，解得.
故选：B
【变式1】（2023下·浙江嘉兴·高二校联考期中）函数在处的瞬时变化率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为，
所以，函数在处的瞬时变化率为
.
故选：C.
【变式2】（2023·高二课时练习）已知一物体的运动方程是s＝24t－3t2(s的单位为m， t的单位为s)，则物体在t＝ s时的瞬时速度为12 m/s.
【答案】2
【详解】在t到t＋Δt这段时间内，物体的平均速度为＝＝＝24－6t－3Δt.当Δt无限趋近于0时，无限趋近于24－6t，由题意得24－6t＝12，解得t＝2s.
故答案为：2.
题型03 曲线在某点处的切线斜率或倾斜角
【典例1】（2023·高二课时练习）已知函数，则该函数在处的切线斜率为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【详解】因为，
，
所以斜率，
．
故选：C
【典例2】（2023下·湖北·高二校联考期中）点在曲线上移动，设点处切线的倾斜角为，则角的范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：由，可得，
所以，即，
当时，，当时，，
所以角的范围是.
故选：B.
【变式1】（2022下·安徽黄山·高二屯溪一中校考期中）设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（ ）
A．.2B．C．D．
【答案】B
【详解】分析：化简得到，即得切线的斜率.
详解：∵，
∴，
∴，
∴，
故曲线在点处的切线的斜率是-2，
故选B.
【变式2】（2022·河北邯郸·统考一模）已知函数满足，则曲线在点处的切线斜率为 ．
【答案】3
【详解】由，可得．
因为，所以，即，则，
所以，．
故答案为：3.
题型04导数定义的理解与应用
【典例1】（2023·上海浦东新·高三华师大二附中校考期中）若为可导函数，且，则过曲线上点处的切线斜率为 ．
【答案】2
【详解】，故.
故答案为：2
【典例2】（2023下·河南·高二校联考阶段练习）已知函数是可导函数，且，则 .
【答案】/
【详解】因为函数是可导函数，且，
根据导数的定义，有.
故答案为：.
【变式1】（2023下·北京丰台·高二统考期中）如图，直线是曲线在点处的切线，则 ．
【答案】1
【详解】根据函数切线过,则曲线在处的切线斜率为，
根据导数的定义，可得.
故答案为：1．
【变式2】（2023下·上海嘉定·高二上海市育才中学校考期中）已知函数在处的切线斜率为，且，则
【答案】
【详解】
而，则.
故答案为：
题型05 求切线方程
【典例1】（2023下·湖南长沙·高二长沙市长郡梅溪湖中学校考期中）设为R上的可导函数，且，则曲线在点处的切线斜率为 .
【答案】/
【详解】由已知可得.
根据导数的几何意义可知，曲线在点处的切线斜率为.
故答案为：.
【典例2】（2023下·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知函数.
(1)利用导数的定义求导函数；
(2)求曲线在点处的切线的方程.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：因为
，
所以，.
（2）解：因为，故点在曲线上，
又因为，
所以，曲线在点处的切线的方程为，即.
【典例3】（2023·全国·高二专题练习）求函数的图象上过原点的切线方程．
【答案】或
【详解】设切点坐标为，则，
∵
,
所以切线方程为．
因为切线过原点，
所以，即，
解得或，
所以切线方程为或.
【变式1】（2023·高二课时练习）已知曲线上的两点和，求：
(1)割线AB的斜率；
(2)过点A的切线的斜率；
(3)点A处的切线的方程．
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【详解】（1）由已知可得，.
（2）令，，
根据导数的定义可得，.
①当切点为点时，根据导数的几何意义知；
②当切点不是点时.
设切点坐标为，，则，
又，所以有，解得，
因为，所以此时无解.
综上所述，过点A的切线的斜率.
（3）由（2）知，曲线在点A处的切线的斜率，
代入点斜式方程有，，整理可得切线的方程为.
【变式2】（2022·高二课时练习）试求过点P(3，5)且与曲线y＝x2相切的直线方程.
【答案】2x－y－1＝0和10x－y－25＝0
【详解】设所求切线的切点坐标为，则＝＝2x0＋Δx.
当Δx无限趋近于0时，无限趋近于2x0，
所以曲线在切点处的切线的斜率为2x0，
则所求切线方程为y－x＝2x0(x－x0).
因为切线过点P(3， 5)，
所以5－x＝2x0(3－x0)，解得x0＝1或5，
即所求的切线有两条，方程分别是y＝2x－1和y＝10x－25，
即2x－y－1＝0和10x－y－25＝0.
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（2023·江苏连云港·校考模拟预测）曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】因为，所以，即切点坐标为，由，所以，所以在点处的切线方程为，即.
故选：B
2．（2023下·广西桂林·高二统考期末）设函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】.
故选：C.
3．（2023下·西藏林芝·高二校考期末）函数在区间上的平均变化率为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】C
【详解】函数在区间上的平均变化率为.
故选：C
4．（2023下·河南驻马店·高二统考期末）定义在上的函数在区间内的平均变化率为，其中，则函数在处的导数（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由导数的定义可得，
故选：B.
5．（2023下·安徽滁州·高二校考阶段练习）函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列大小关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由图象可知在上单调递增，，
故，即．
故选：B．
6．（2023下·陕西渭南·高二校考期中）若函数在处的瞬时变化率为，且，则（ ）
A．2B．4C．D．
【答案】B
【详解】根据导数的定义可知，
.
故选：B
7．（2023下·高二课时练习）已知抛物线在处的增量为，则的值为（ ）
A．－0.11B．－1.1C．3.89D．0.29
【答案】B
【详解】因为，
则，
所以.
故选：B.
8．（2023下·北京海淀·高二人大附中期末）函数在附近的平均变化率是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】令，
因为，
所以，
则在附近的平均变化率是，
故选：C.
二、多选题
9．（2023下·山东日照·高二校考阶段练习）设函数，当自变量由变化到时，下列说法正确的是（ ）
A．可以是正数也可以是负数，但不能为0
B．函数值的改变量为
C．函数在上的平均变化率为
D．函数在上的平均变化率
【答案】ABD
【详解】由平均变化率的定义可知自变量的改变量不能为零，可以为正数或负数，
函数值的改变量为，平均变化率为函数值的改变量比自变量的改变量，即A、B、D正确；
故选：ABD
10．（2023下·高二课时练习）在高台跳水运动中，时运动员相对于水面的高度(单位：是，判断下列说法正确的是（ ）
A．运动员在时的瞬时速度是
B．运动员在时的瞬时速度是
C．运动员在附近以的速度上升
D．运动员在附近以的速度下降
【答案】BD
【详解】由已知，，
的瞬时速度为，
因此该运动员在附近以的速度下降，
故选：BD．
三、填空题
11．（2023上·上海奉贤·高三上海市奉贤中学校考阶段练习）若为可导函数，且，则过曲线上点处的切线斜率为 ．
【答案】1
【详解】因为，
故.
故答案为：1
12．（2023下·四川遂宁·高二四川省蓬溪中学校校考期中）拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是微积分学中的基本定理之一，它反映了函数在闭区间上的整体平均变化率与区间某点的局部变化率的关系，其具体内容如下：若在上满足以下条件：①在上图象连续，②在内导数存在，则在内至少存在一点，使得（为的导函数）．则函数在上这样的点的个数为
【答案】
【详解】由函数，则，
根据题意知，存在点，使得，即，
所以，
作出函数和的图象，如图所示，
由图象可知，函数和的图象只有一个交点，
所以只有一个解，即函数在上点的个数为个.
故答案为：.
四、解答题
13．（2023·全国·高二随堂练习）某人服药后，吸收药物的情况可以用血液中药物的质量浓度c（单位：μg/mL）来表示，它是时间t（单位：min）的函数，表示为．下表给出了的一些函数值：
(1)求服药后30min内，30min到40min，80min到90min这3段时间内，血液中药物质量浓度的平均变化率；
(2)讨论刻画血液中的药物质量浓度变化快慢的方法，并说明上述3段时间中，药物质量浓度变化最快的时间段．
【答案】(1)详见解析；
(2)详见解析.
【详解】（1）解：服药后30min内血液中药物质量浓度的平均变化率为：，
服药后30min到40min内血液中药物质量浓度的平均变化率为：，
服药后80min到90min内血液中药物质量浓度的平均变化率为：；
（2）用平均变化率的绝对值的大小刻画药物质量浓度变化的快慢，
当时，血液中的药物质量浓度增加；当时，血液中的药物质量浓度减小，
因为，
所以80min到90min这段时间内血液中的药物质量浓度变化最快.
14．（2023·全国·高二随堂练习）对一名工人的研究表明，工作t h后生产出的产品量Q（单位：t）可以近似表示为，该工人每天工作8h．
(1)求当t从2h变到4h，该工人生产的产品量Q关于时间t的平均变化率，并解释它的实际意义；
(2)求，，并解释它们的实际意义．
【答案】(1)74，意义见解析；
(2),，意义见解析.
【详解】（1）由题意可知：，
它表示该工人在2h到4h时间段内，平均每小时生产产品为74；
（2）由题意可得，
所以，
表示在2h时刻，工人的生产速度为每小时产量60，
表示在4h时刻，工人的生产速度为每小时产量84.
B能力提升
1．（2023·全国·高二课堂例题）充满气的气球近似为球体．在给气球充气时，我们都知道，开始充气时气球膨胀较快，随后膨胀速度逐渐缓慢下来，气球膨胀实际上就是气球半径增大，表面积增大，体积增大．试描述气球的半径相对于体积的平均变化率．
【答案】答案见解析
【详解】设气球的半径为，体积为，则，所以．
例如，当时，半径的平均变化率
．
当时，半径的平均变化率
．
由以上两个结果可以看出，气球体积由0.5增至1，再由1增至1.5，二者都增大了0.5，但的平均变化率却由0.26变成0.18，变小了．也就是说，随着气球体积的逐渐增大，它的半径的平均变化率逐渐变小．
2．（2023下·高二课时练习）已知函数．
(1)求函数的导函数；
(2)过点作函数的图象的切线，求切线方程．
【答案】(1)；
(2)或．
【详解】（1）
，
当时，，
所以函数的导函数为．
（2）设切点为，则由（1），可得切线的斜率，
则切线方程为，即．
因为切线过点，所以，解得或，
从而切线方程为或．课程标准
学习目标
①初步了解导数概念的背景，掌握平均变化率与瞬时变化率的概念及几何意义。
②会求函数的平均变率与瞬时变化率。
③能结合实际问题求曲线在某点处与某点附近点的切线与割线的斜率的极限值。
通过本节课的学习，要求会求函数的平均变化率与瞬时变化率.
t/min
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0.84
0.89
0.94
0.98
1.00
1.00
0.97
0.90
0.79
0.63
0.41
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