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高中人教A版 (2019)5.2 导数的运算精品课后复习题
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这是一份高中人教A版 (2019)5.2 导数的运算精品课后复习题，文件包含第02讲52导数的运算原卷版docx、第02讲52导数的运算解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共34页， 欢迎下载使用。
知识点01：基本初等函数的导数公式
知识点02：导数的四则运算法则
1、两个函数和的和（或差）的导数法则：
.
2、对于两个函数和的乘积（或商）的导数，有如下法则：
；
.
3、由函数的乘积的导数法则可以得出，
也就是说，常数与函数的积的导数，等于常数与函数的导数的积，即
【即学即练1】（2023下·四川雅安·高二校考阶段练习）求下列函数的导数．
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
（2）
知识点03：复合函数的导数
复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积．
【即学即练2】（2023上·山东滨州·高三校联考阶段练习）已知函数，则= .
【答案】3
【详解】由题意知，，
所以.
故答案为：3.
知识点04：切线问题
1、在型求切线方程
已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程.
步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点.
第二步：计算切线斜率.
第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。
根据直线的点斜式方程得到切线方程：.
【即学即练3】（2023上·贵州黔西·高三贵州省兴义市第八中学校考阶段练习）曲线在处的切线方程为 ．
【答案】
【详解】，
则当时，，
所以曲线在处的切线方程为，即.
故答案为：.
2、过型求切线方程
已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程.
步骤：第一步：设切点
第二步：计算切线斜率；计算切线斜率；
第三步：令：，解出，代入求斜率
第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：.
【即学即练4】（2023下·山东菏泽·高二山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）已知，则函数的图像过点的切线方程为 .
【答案】或
【详解】设切点为，由可得，，
由导数的几何意义可得，切线的斜率，
因为，所以切线方程为，
将点代入，得，
即，得，
解得或，
当时，切点坐标为，相应的切线方程为；
当时，切点坐标为，相应的切线方程为，即，
所以切线方程为或.
故答案为：或
题型01 导数公式与运算法则的简单应用
【典例1】（2023上·河北邯郸·高三校联考阶段练习）下列求导运算中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选：D
【典例2】（2023下·新疆阿克苏·高二校考阶段练习）求下列函数的导数.
(1)
(2).
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）整理可得，
.
（2）.
【变式1】（2023上·陕西汉中·高三校联考阶段练习）下列求导正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】，故A错误；
，故B错误；
，故C错误；
，故D正确.
故选:D.
题型02 利用导数公式与运算法则求复合函数的导数
【典例1】（2023·全国·高二随堂练习）写出下列函数的中间变量，并利用复合函数的求导法则分别求出函数的导数：
(1)； (2)； (3)； (4)；
(5)； (6)．
【答案】(1)， (2)，
(3)， (4)，
(5)， (6)，
【详解】（1）令，因为，
所以.
（2）令，因为，
.
（3）令，因为，
.
（4）令，因为，
.
（5）令，因为，
.
（6）令，因为，
.
【典例2】（2023·全国·高二课堂例题）求下列函数的导数：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）可由及复合而成，
所以．
（2）可由及复合而成，
所以．
【变式1】（2023·全国·高二随堂练习）写出下列函数的中间变量，并利用复合函数的求导法则分别求出函数的导数：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【答案】(1)中间变量为，
(2)中间变量为，
(3)中间变量为，
(4)中间变量为，
【详解】（1）对于，中间变量为，则，
所以.
（2）对于，中间变量为，则，
所以.
（3）对于，中间变量为，则，
所以.
（4）对于，中间变量为，则，
.
题型03解析式中含的导数问题
【典例1】（2022下·吉林长春·高二统考期中）若，则等于（ ）
A．2B．0C．-2D．-4
【答案】D
【详解】因为，所以
所以，得
所以，所以
故选：D
【典例2】（2022下·山东·高二校联考阶段练习）已知函数，是的导函数，则 ．
【答案】24
【详解】因为，所以，所以，即，
，，
故．
故答案为：
【变式1】（2022·四川攀枝花·统考一模）已知函数，则（ ）
A．B．C．6D．14
【答案】C
【详解】，则，
则，
故选：C
【变式2】（2022下·河北沧州·高二沧县中学校考阶段练习）已知函数，则的值为 ．
【答案】
【详解】∵，∴，
∴∴．
故答案为：.
题型04求切线斜率
【典例1】（2023下·北京海淀·高二首都师范大学附属中学校考期中）若直线过原点，且与函数的图像相切，则该直线的斜率为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【详解】因为，所以，设切点为，所以 ，
所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，
所以切线方程的斜率为.
故选：B
【典例2】（2023·海南省直辖县级单位·统考一模）函数（b＞0，a∈R）在点处的切线斜率的最小值是（ ）
A．2B．C．D．1
【答案】C
【详解】，
所以在点处的切线斜率是，
因为b＞0，所以，当且仅当即时等号成立，
故选：C．
【变式1】（2022上·河南·高三河南省淮阳中学校联考阶段练习）已知，过作曲线的切线，切点在第一象限，则切线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：由，得，
设切点坐标为，则切线方程为，
把点代入并整理，得，
解得或（舍去），
故切线斜率为．
故选：C．
【变式2】（2022下·安徽·高三巢湖市第一中学校联考期中）已知，则曲线在点处的切线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】对，
求导可得，，得到，所以，
，所以，，
故选D
题型05求切线方程（在型）
【典例1】（2023上·广东揭阳·高三统考期中）设，函数的导函数为，若是偶函数，则曲线在原点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由题设是偶函数，
∴，解得，
∴，
∴曲线在原点处的切线方程为.
故选：A
【典例2】（2023上·云南昆明·高三统考期中）曲线在点处的切线方程是
【答案】
【详解】由可得，所以，
所以由点斜式可得切线方程为，即，
故答案为：
【变式1】（2023上·浙江·高三浙江省富阳中学校联考阶段练习）已知函数，曲线在点处的切线方程是 ．
【答案】
【详解】，，，
所以曲线在点处的切线方程是，
即.
故答案为：
【变式2】（2023上·四川成都·高三校考阶段练习）已知函数，则的图象在处的切线方程为
【答案】
【详解】由题意，所以且，所以，
因此的图象在处的切线斜率为，所以的图象在处的切线方程为，化简得.
故答案为：.
题型06求切线方程（过型）
【典例1】（2023下·山东威海·高二统考期末）写出曲线过坐标原点的一条切线方程 .
【答案】或（任写一个即可）
【详解】，设切点为，
故切线方程为，
由于切线过原点，故，
整理得，解得或.
当时，切线方程为，即.
当时，切线方程为，即.
故答案为：或（任写一个即可）
【典例2】（2023下·河南南阳·高二校联考期中）已知函数．
(1)若曲线在其上一点Q处的切线与直线平行，求Q的坐标；
(2)求曲线的过坐标原点O的切线的方程．
【答案】(1)或（2，0）
(2)或．
【详解】（1），
设，因为直线的斜率为4，
所以，
解得或2．
，．
所以点Q的坐标为或（2，0）．
（2）设切点为，则，，
所以在该点处的切线方程为．
因为切线过原点，所以，
解得或1．
又因为，，
所以切线方程为或．
【变式1】（2022上·山西·高三统考阶段练习）过点与曲线相切的切线方程为 ．
【答案】
【详解】设切点为，则，
得，则切点为，
切线方程为，即．
故答案为：.
【变式2】（2023下·安徽滁州·高二校考阶段练习）已知函数．
(1)用导数的定义，求函数在处的导数；
(2)过点作的切线，求切线方程．
【答案】(1)12
(2)或
【详解】（1）因为，
所以，
则．
（2），
设切点，则切线的斜率为，
故切线方程为，
将点代入得，
即，得，解得或，
所以切线方程为或．
题型07 利用相切关系求最小距离
【典例1】（2024上·贵州黔东南·高三天柱民族中学校考阶段练习）已知点P在函数的图象上，点Q在函数的图象上，则的最小值为 .
【答案】
【详解】
由函数，求导可得：，则，
在处的切线方程为，整理可得：；
由函数，求导可得：，则，
在处的切线方程为，整理可得；
由直线的斜率，易知：直线分别与两条切线垂直..
故答案为：.
【典例2】（2023下·湖北·高二校联考阶段练习）若点是曲线上任意一点，点是直线上任意一点，则的最小距离为 .
【答案】/
【详解】
令，则，即曲线在处的切线方程为：，
即,
如下图所示，当时的最小值为点到直线的距离（为垂足）.
故.
故答案为：
【变式1】（2023下·江西赣州·高二统考期中）设点A在直线上，点B在函数的图象上，则的最小值为 .
【答案】
【详解】设函数与直线平行的切线为，则的斜率为，
由，得，所以切点为，
则点到直线的距离就是的最小值，即.
故答案为：.
【变式2】（2023上·高二课时练习）在函数的图象上求一点P，使P到直线的距离最短，并求这个最短的距离．
【答案】/
【详解】设，
又，则过点的切线斜率，
当过点的切线平行于直线时，点到直线的距离最短，
即，解得：，此时，
它到直线的距离，
故答案为：.
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（2023上·江苏南京·高三校联考阶段练习）下列求导正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，根据复合函数的求导法则，
，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错误.
故选：C.
2．（2023上·陕西汉中·高三校联考阶段练习）下列求导正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】，故A错误；
，故B错误；
，故C错误；
，故D正确．故选：D．
3．（2023上·江苏连云港·高三校考阶段练习）曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】，所求切线斜率，
所求切线方程为：，即.
故选：A.
4．（2023上·广东江门·高三统考阶段练习）若曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】C
【详解】直线的斜率为，
由题设知：在处的切线的斜率为，而，
∴，可得.故选：C.
5．（2023上·河北保定·高三校联考阶段练习）函数的图象在处切线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为，，
所以，
故选：B.
6．（2023下·四川雅安·高二校考阶段练习）已知函数，则（ ）
A．－1B．0C．1D．
【答案】C
【详解】由已知可得，，
所以，，
所以，.故选：C.
7．（2023上·广东揭阳·高三校考阶段练习）已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则（ ）
A．B．C．-2D．
【答案】A
【详解】，由题意可知，切线的斜率，则
，解得：，，
所以.故选：A
8．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）若曲线与直线相切，则实数（ ）
A．B．1C．2D．
【答案】B
【详解】直线，即，
对于，则，
设切点坐标为，切线斜率，
则切线方程为，即，
由题意可得，解得.故选：B.
二、多选题
9．（2023·全国·高三专题练习）（多选）下列导数的运算中正确的是（ ）
A．B．
C．＝D．
【答案】ABD
【详解】,正确；
，正确；
，正确；
因为，所以C项错误，其余都正确.
故选： ABD
10．（2023下·贵州黔东南·高二校考阶段练习）已知函数，则过点且与曲线相切的直线方程可以为（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【详解】由，得，
设切点坐标为，则，
则过切点的切线方程为，
把点代入，可得，
整理得：，即或.
当时，切线方程为;
当时，切线方程为.
故选：BC.
三、填空题
11．（2023上·广东惠州·高三博师高中校考阶段练习）已知函数，则 .
【答案】
【详解】函数，求导得，
当时，，所以.
故答案为：
12．（2023·广东佛山·统考一模）已知曲线与曲线（）相交，且在交点处有相同的切线，则 .
【答案】
【详解】易知：必有.
设两曲线的交点为，，，由题意：，
两式相除得：，∵，∴.
代入得：
解得.
故答案为：
四、解答题
13．（2023下·新疆和田·高二校考期中）已知函数，点在曲线上.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求曲线过点的切线方程.
【答案】(1)；
(2)或.
【详解】（1）由题意，故，
所以，而，
所以曲线在点处的切线方程为.
（2）令所求切线在曲线上的切点为，则，
所以切线方程为，
又在切线上，故或，
所以切线方程为或.
14．（2023上·黑龙江·高三黑龙江实验中学校考阶段练习）已知函数.
(1)若曲线在点处的切线与轴，轴分别交于点，，求的面积（为坐标原点）；
(2)求与曲线相切，并过点的直线方程.
【答案】(1)6
(2).
【详解】（1）∵，∴，又，
∴在处的切线方程为：，即，
∴可得，，
∴；
（2）设过点的直线与相切于点，
由，∴，∴切线方程为：
又切线过点，
∴，解得：，
∴所求切线方程为：，即.
B能力提升
1．（2023下·四川雅安·高二校考阶段练习）已知.
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)设P为曲线上的点，求曲线C在点P处切线的斜率的最小值及倾斜角的取值范围.
【答案】(1)
(2)1，
【详解】（1）∵，∴，
当时，，，
∴曲线在处的切线方程为，即；
（2）由题意，，
∴，当且仅当即时，等号成立，
∴曲线C在点P处切线的斜率的最小值为1，
∴，又，
∴，即倾斜角的取值范围为.
2．（2023下·河南南阳·高二校联考期中）已知函数．
(1)若曲线的切线斜率不小于，求a的取值范围；
(2)当时，求曲线过点的切线方程．
【答案】(1)
(2)或．
【详解】（1）由题意可得．
因为曲线的切线斜率不小于，所以恒成立，
即恒成立，则，
解得，即a的取值范围是．
（2）当时，，则．
当是切点时，所求切线斜率，
则所求切线方程为．
当不是切点时，设所求切线与曲线的切点为，
由导数的几何意义可得，
整理得，即，
解得或(舍去)，
则切点，所求切线斜率，.
故所求切线方程为．
综上，所求切线方程为或．
3．（2023上·河北石家庄·高三石家庄市第十五中学校考阶段练习）已知，直线与曲线相切，则的最小值为 .
【答案】
【详解】设切点为，由得，由题意，
解得，所以，即，
故，当且仅当时，等号成立，
故答案为：课程标准
学习目标
①能根据定义求函数的导数。
②能熟练应用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数。
③理解并熟练掌握函数的和、差、积、商的求导法则。
④了解复合函数的概念，熟练掌握复合函数的求导法则。
1.掌握基本初等函数的求导；
2.熟练掌握导数的运算公式；
3.能准确应用公式计算函数的导数；
4.会求简单的复合函数的导数；
5.能解决与切线、切点、斜率、待定参数相关的问题..
原函数
导函数
(为常数)
知识点01：基本初等函数的导数公式
知识点02：导数的四则运算法则
1、两个函数和的和（或差）的导数法则：
.
2、对于两个函数和的乘积（或商）的导数，有如下法则：
；
.
3、由函数的乘积的导数法则可以得出，
也就是说，常数与函数的积的导数，等于常数与函数的导数的积，即
【即学即练1】（2023下·四川雅安·高二校考阶段练习）求下列函数的导数．
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
（2）
知识点03：复合函数的导数
复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积．
【即学即练2】（2023上·山东滨州·高三校联考阶段练习）已知函数，则= .
【答案】3
【详解】由题意知，，
所以.
故答案为：3.
知识点04：切线问题
1、在型求切线方程
已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程.
步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点.
第二步：计算切线斜率.
第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。
根据直线的点斜式方程得到切线方程：.
【即学即练3】（2023上·贵州黔西·高三贵州省兴义市第八中学校考阶段练习）曲线在处的切线方程为 ．
【答案】
【详解】，
则当时，，
所以曲线在处的切线方程为，即.
故答案为：.
2、过型求切线方程
已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程.
步骤：第一步：设切点
第二步：计算切线斜率；计算切线斜率；
第三步：令：，解出，代入求斜率
第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：.
【即学即练4】（2023下·山东菏泽·高二山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）已知，则函数的图像过点的切线方程为 .
【答案】或
【详解】设切点为，由可得，，
由导数的几何意义可得，切线的斜率，
因为，所以切线方程为，
将点代入，得，
即，得，
解得或，
当时，切点坐标为，相应的切线方程为；
当时，切点坐标为，相应的切线方程为，即，
所以切线方程为或.
故答案为：或
题型01 导数公式与运算法则的简单应用
【典例1】（2023上·河北邯郸·高三校联考阶段练习）下列求导运算中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选：D
【典例2】（2023下·新疆阿克苏·高二校考阶段练习）求下列函数的导数.
(1)
(2).
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）整理可得，
.
（2）.
【变式1】（2023上·陕西汉中·高三校联考阶段练习）下列求导正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】，故A错误；
，故B错误；
，故C错误；
，故D正确.
故选:D.
题型02 利用导数公式与运算法则求复合函数的导数
【典例1】（2023·全国·高二随堂练习）写出下列函数的中间变量，并利用复合函数的求导法则分别求出函数的导数：
(1)； (2)； (3)； (4)；
(5)； (6)．
【答案】(1)， (2)，
(3)， (4)，
(5)， (6)，
【详解】（1）令，因为，
所以.
（2）令，因为，
.
（3）令，因为，
.
（4）令，因为，
.
（5）令，因为，
.
（6）令，因为，
.
【典例2】（2023·全国·高二课堂例题）求下列函数的导数：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）可由及复合而成，
所以．
（2）可由及复合而成，
所以．
【变式1】（2023·全国·高二随堂练习）写出下列函数的中间变量，并利用复合函数的求导法则分别求出函数的导数：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【答案】(1)中间变量为，
(2)中间变量为，
(3)中间变量为，
(4)中间变量为，
【详解】（1）对于，中间变量为，则，
所以.
（2）对于，中间变量为，则，
所以.
（3）对于，中间变量为，则，
所以.
（4）对于，中间变量为，则，
.
题型03解析式中含的导数问题
【典例1】（2022下·吉林长春·高二统考期中）若，则等于（ ）
A．2B．0C．-2D．-4
【答案】D
【详解】因为，所以
所以，得
所以，所以
故选：D
【典例2】（2022下·山东·高二校联考阶段练习）已知函数，是的导函数，则 ．
【答案】24
【详解】因为，所以，所以，即，
，，
故．
故答案为：
【变式1】（2022·四川攀枝花·统考一模）已知函数，则（ ）
A．B．C．6D．14
【答案】C
【详解】，则，
则，
故选：C
【变式2】（2022下·河北沧州·高二沧县中学校考阶段练习）已知函数，则的值为 ．
【答案】
【详解】∵，∴，
∴∴．
故答案为：.
题型04求切线斜率
【典例1】（2023下·北京海淀·高二首都师范大学附属中学校考期中）若直线过原点，且与函数的图像相切，则该直线的斜率为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【详解】因为，所以，设切点为，所以 ，
所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，
所以切线方程的斜率为.
故选：B
【典例2】（2023·海南省直辖县级单位·统考一模）函数（b＞0，a∈R）在点处的切线斜率的最小值是（ ）
A．2B．C．D．1
【答案】C
【详解】，
所以在点处的切线斜率是，
因为b＞0，所以，当且仅当即时等号成立，
故选：C．
【变式1】（2022上·河南·高三河南省淮阳中学校联考阶段练习）已知，过作曲线的切线，切点在第一象限，则切线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：由，得，
设切点坐标为，则切线方程为，
把点代入并整理，得，
解得或（舍去），
故切线斜率为．
故选：C．
【变式2】（2022下·安徽·高三巢湖市第一中学校联考期中）已知，则曲线在点处的切线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】对，
求导可得，，得到，所以，
，所以，，
故选D
题型05求切线方程（在型）
【典例1】（2023上·广东揭阳·高三统考期中）设，函数的导函数为，若是偶函数，则曲线在原点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由题设是偶函数，
∴，解得，
∴，
∴曲线在原点处的切线方程为.
故选：A
【典例2】（2023上·云南昆明·高三统考期中）曲线在点处的切线方程是
【答案】
【详解】由可得，所以，
所以由点斜式可得切线方程为，即，
故答案为：
【变式1】（2023上·浙江·高三浙江省富阳中学校联考阶段练习）已知函数，曲线在点处的切线方程是 ．
【答案】
【详解】，，，
所以曲线在点处的切线方程是，
即.
故答案为：
【变式2】（2023上·四川成都·高三校考阶段练习）已知函数，则的图象在处的切线方程为
【答案】
【详解】由题意，所以且，所以，
因此的图象在处的切线斜率为，所以的图象在处的切线方程为，化简得.
故答案为：.
题型06求切线方程（过型）
【典例1】（2023下·山东威海·高二统考期末）写出曲线过坐标原点的一条切线方程 .
【答案】或（任写一个即可）
【详解】，设切点为，
故切线方程为，
由于切线过原点，故，
整理得，解得或.
当时，切线方程为，即.
当时，切线方程为，即.
故答案为：或（任写一个即可）
【典例2】（2023下·河南南阳·高二校联考期中）已知函数．
(1)若曲线在其上一点Q处的切线与直线平行，求Q的坐标；
(2)求曲线的过坐标原点O的切线的方程．
【答案】(1)或（2，0）
(2)或．
【详解】（1），
设，因为直线的斜率为4，
所以，
解得或2．
，．
所以点Q的坐标为或（2，0）．
（2）设切点为，则，，
所以在该点处的切线方程为．
因为切线过原点，所以，
解得或1．
又因为，，
所以切线方程为或．
【变式1】（2022上·山西·高三统考阶段练习）过点与曲线相切的切线方程为 ．
【答案】
【详解】设切点为，则，
得，则切点为，
切线方程为，即．
故答案为：.
【变式2】（2023下·安徽滁州·高二校考阶段练习）已知函数．
(1)用导数的定义，求函数在处的导数；
(2)过点作的切线，求切线方程．
【答案】(1)12
(2)或
【详解】（1）因为，
所以，
则．
（2），
设切点，则切线的斜率为，
故切线方程为，
将点代入得，
即，得，解得或，
所以切线方程为或．
题型07 利用相切关系求最小距离
【典例1】（2024上·贵州黔东南·高三天柱民族中学校考阶段练习）已知点P在函数的图象上，点Q在函数的图象上，则的最小值为 .
【答案】
【详解】
由函数，求导可得：，则，
在处的切线方程为，整理可得：；
由函数，求导可得：，则，
在处的切线方程为，整理可得；
由直线的斜率，易知：直线分别与两条切线垂直..
故答案为：.
【典例2】（2023下·湖北·高二校联考阶段练习）若点是曲线上任意一点，点是直线上任意一点，则的最小距离为 .
【答案】/
【详解】
令，则，即曲线在处的切线方程为：，
即,
如下图所示，当时的最小值为点到直线的距离（为垂足）.
故.
故答案为：
【变式1】（2023下·江西赣州·高二统考期中）设点A在直线上，点B在函数的图象上，则的最小值为 .
【答案】
【详解】设函数与直线平行的切线为，则的斜率为，
由，得，所以切点为，
则点到直线的距离就是的最小值，即.
故答案为：.
【变式2】（2023上·高二课时练习）在函数的图象上求一点P，使P到直线的距离最短，并求这个最短的距离．
【答案】/
【详解】设，
又，则过点的切线斜率，
当过点的切线平行于直线时，点到直线的距离最短，
即，解得：，此时，
它到直线的距离，
故答案为：.
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（2023上·江苏南京·高三校联考阶段练习）下列求导正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，根据复合函数的求导法则，
，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错误.
故选：C.
2．（2023上·陕西汉中·高三校联考阶段练习）下列求导正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】，故A错误；
，故B错误；
，故C错误；
，故D正确．故选：D．
3．（2023上·江苏连云港·高三校考阶段练习）曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】，所求切线斜率，
所求切线方程为：，即.
故选：A.
4．（2023上·广东江门·高三统考阶段练习）若曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】C
【详解】直线的斜率为，
由题设知：在处的切线的斜率为，而，
∴，可得.故选：C.
5．（2023上·河北保定·高三校联考阶段练习）函数的图象在处切线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为，，
所以，
故选：B.
6．（2023下·四川雅安·高二校考阶段练习）已知函数，则（ ）
A．－1B．0C．1D．
【答案】C
【详解】由已知可得，，
所以，，
所以，.故选：C.
7．（2023上·广东揭阳·高三校考阶段练习）已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则（ ）
A．B．C．-2D．
【答案】A
【详解】，由题意可知，切线的斜率，则
，解得：，，
所以.故选：A
8．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）若曲线与直线相切，则实数（ ）
A．B．1C．2D．
【答案】B
【详解】直线，即，
对于，则，
设切点坐标为，切线斜率，
则切线方程为，即，
由题意可得，解得.故选：B.
二、多选题
9．（2023·全国·高三专题练习）（多选）下列导数的运算中正确的是（ ）
A．B．
C．＝D．
【答案】ABD
【详解】,正确；
，正确；
，正确；
因为，所以C项错误，其余都正确.
故选： ABD
10．（2023下·贵州黔东南·高二校考阶段练习）已知函数，则过点且与曲线相切的直线方程可以为（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【详解】由，得，
设切点坐标为，则，
则过切点的切线方程为，
把点代入，可得，
整理得：，即或.
当时，切线方程为;
当时，切线方程为.
故选：BC.
三、填空题
11．（2023上·广东惠州·高三博师高中校考阶段练习）已知函数，则 .
【答案】
【详解】函数，求导得，
当时，，所以.
故答案为：
12．（2023·广东佛山·统考一模）已知曲线与曲线（）相交，且在交点处有相同的切线，则 .
【答案】
【详解】易知：必有.
设两曲线的交点为，，，由题意：，
两式相除得：，∵，∴.
代入得：
解得.
故答案为：
四、解答题
13．（2023下·新疆和田·高二校考期中）已知函数，点在曲线上.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求曲线过点的切线方程.
【答案】(1)；
(2)或.
【详解】（1）由题意，故，
所以，而，
所以曲线在点处的切线方程为.
（2）令所求切线在曲线上的切点为，则，
所以切线方程为，
又在切线上，故或，
所以切线方程为或.
14．（2023上·黑龙江·高三黑龙江实验中学校考阶段练习）已知函数.
(1)若曲线在点处的切线与轴，轴分别交于点，，求的面积（为坐标原点）；
(2)求与曲线相切，并过点的直线方程.
【答案】(1)6
(2).
【详解】（1）∵，∴，又，
∴在处的切线方程为：，即，
∴可得，，
∴；
（2）设过点的直线与相切于点，
由，∴，∴切线方程为：
又切线过点，
∴，解得：，
∴所求切线方程为：，即.
B能力提升
1．（2023下·四川雅安·高二校考阶段练习）已知.
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)设P为曲线上的点，求曲线C在点P处切线的斜率的最小值及倾斜角的取值范围.
【答案】(1)
(2)1，
【详解】（1）∵，∴，
当时，，，
∴曲线在处的切线方程为，即；
（2）由题意，，
∴，当且仅当即时，等号成立，
∴曲线C在点P处切线的斜率的最小值为1，
∴，又，
∴，即倾斜角的取值范围为.
2．（2023下·河南南阳·高二校联考期中）已知函数．
(1)若曲线的切线斜率不小于，求a的取值范围；
(2)当时，求曲线过点的切线方程．
【答案】(1)
(2)或．
【详解】（1）由题意可得．
因为曲线的切线斜率不小于，所以恒成立，
即恒成立，则，
解得，即a的取值范围是．
（2）当时，，则．
当是切点时，所求切线斜率，
则所求切线方程为．
当不是切点时，设所求切线与曲线的切点为，
由导数的几何意义可得，
整理得，即，
解得或(舍去)，
则切点，所求切线斜率，.
故所求切线方程为．
综上，所求切线方程为或．
3．（2023上·河北石家庄·高三石家庄市第十五中学校考阶段练习）已知，直线与曲线相切，则的最小值为 .
【答案】
【详解】设切点为，由得，由题意，
解得，所以，即，
故，当且仅当时，等号成立，
故答案为：课程标准
学习目标
①能根据定义求函数的导数。
②能熟练应用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数。
③理解并熟练掌握函数的和、差、积、商的求导法则。
④了解复合函数的概念，熟练掌握复合函数的求导法则。
1.掌握基本初等函数的求导；
2.熟练掌握导数的运算公式；
3.能准确应用公式计算函数的导数；
4.会求简单的复合函数的导数；
5.能解决与切线、切点、斜率、待定参数相关的问题..
原函数
导函数
(为常数)
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