高中数学苏教版 (2019)选择性必修第二册6.1空间向量及其运算精品测试题

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一、空间向量的数量积
1、定义：已知两个非零向量、，则叫做向量与的数量积，记作，
即．
规定：零向量与任一向量的数量积为0
2、数量积的运算规律：
（1）； （2）（交换律） （3）（分配律）
二、空间向量数量积的性质
设，是非零向量，是单位向量，则
①； ②；
③或； ④； ⑤
三、空间向量的夹角
1、定义：已知两个非零向量、，在空间任取一点D，作，，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，如下图。
根据空间两个向量数量积的定义：.
那么空间两个向量、的夹角的余弦.
2、求两个向量的夹角有两种方法：
方法一：
（1）结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围角的大小
（2）先求，再利用公式求，最后确定.
方法二：
①根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量(即直线的方向向量)
②异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题
③利用数量积求向量夹角的余弦值或角的大小
四、投影向量的概念
1、向量在向量上的投影
对于空间向量任意两个非零向量，，设向量，，过点作，
垂足为，上述由向量得到向量的变换称为向量向向量的投影，
向量称为向量在向量上的投影向量。与平面向量的情形类似，我们有
2、向量在平面上的投影
向量，过，作平面的垂线，垂足为，，得到向量，
我们把向量称为向量在平面上的投影向量，此时数量积有
五、求空间向量数量积的步骤
1、将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式，
2、利用向量的运算规律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积，
3、代入求解.
六、利用空间向量求模长
在空间两个向量的数量积中，特别地，
所以向量的模：。
将其推广：
题型一 求空间向量的数量积
【例1】已知向量，向量与的夹角都是，且，
试求：（1）； （2）．
【答案】（1）11；（2）
【解析】∵向量，向量与的夹角都是，且，
∴
（1）=＝1+16+9+0-3-12=11；
（2）=＝0--8+18=
【变式1-1】如图，在三棱锥中，，、分别是的中点、则_____．
【答案】
【解析】连结，取的中点，连结，
则，是异面直线，所成的角，
，
，，，
同理得：，
又，，
，
设与的夹角为，由图可知与互补，则，
.
【变式1-2】已知正四面体的棱长为1，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以.
根据向量的减法法则，得，
所以
.故选：C.
【变式1-3】已知正四面体的棱长为，点，分别是，的中点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为E，F分别是BC，AD的中点，
所以，，
又因为正四面体ABCD的棱长都为1，
所以，
故.
【变式1-4】如图，四棱锥中，垂直平分.，则的值是__．
【答案】
【解析】设的中点为,
因,,
所以,即,
所以,
又因为,即,
所以
题型二 利用数量积求角度
【例2】空间四边形中，，，则的值是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】A
【解析】因为
，
因为，所以，
所以，故选：A.
【变式2-1】已知空间向量，，，，且与垂直，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为与垂直，所以，
即，
所以.
又，所以.故选：D.
【变式2-2】⊥平面ABC，且△ABC是∠B＝90°的等腰直角三角形，▱AB、▱BC的对角线都分别相互垂直且相等，若AB＝a，求异面直线与AC所成的角.
【答案】60°
【解析】如图所示.
因为
故
因为AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC，
故
故
又
故.
而，故可得，
又∵异面直线所成的角是锐角或直角，
∴异面直线BA1与AC成60°角.
【变式2-3】若空间四边形的四个面均为等边三角形，则的值为（ ）
A． B． C． D．0
【答案】D
【解析】依题意空间四边形的四个面均为等边三角形，设棱长均为.
而，
则
所以.
【变式2-4】平行六面体，，，若，则______.
【答案】
【解析】如图知：，
所以，
故.
题型三 利用数量积求长度
【例3】已知空间中单位向量、，且，则的值为________.
【答案】
【解析】，
故.
【变式3-1】如图，在三棱柱中，与相交于点，，，，则线段的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ，
，
，即线段的长度为.故选：D.
【变式3-2】如图，在棱长为6的正四面体中，点在线段上，且满足，点在线段上，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，，
所以，
即，
因为是棱长为6的正四面体，
所以，故选：A
【变式3-3】在平行六面体中，其中，，，则（ ）
A．25 B．5 C．14 D．
【答案】B
【解析】，
所以
，
所以，故选：B.
【变式3-4】如图，已知线段平面，平面，且，D与A在的同侧，若，求A，D两点间的距离.
【答案】.
【解析】因为平面，平面，所以，，
所以与的夹角为，
因为，，
所以
，
所以，即A，D两点间的距离为.
题型四 利用数量积证明垂直关系
【例4】已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点M、N分别是边AB、CD的中点.求证：MN为AB和CD的公垂线.
【解析】如图，设，，
由题意，可知，且、、三向量两两夹角均为60°
，
∴
∴MN⊥AB，同理可证MN⊥CD，∴MN为AB与CD的公垂线
【变式4-1】在棱长为1的正方体中，分别是中点，在棱上，，为的中点，求证：；
【解析】设，则，
∵，
∴
∴
【变式4-2】如图，在空间四边形OABC中，OB＝OC，AB＝AC．求证：OA⊥BC．
【答案】见解析
【解析】证明：∵OB＝OC，AB＝AC，OA＝OA，
∴△OAB≌△OAC．
∴∠AOB＝∠AOC．
∵
∴.即OA⊥BC．
【变式4-3】如图，在四面体中，E，F，G，H分别是，，，的中点．若，，求证：.
【解析】因为，，
所以
，
所以．
题型五 空间投影向量的计算
【例5】四棱锥中，底面，底面是矩形，则在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】四棱锥如图所示，底面是矩形，
∴，底面，底面，∴，
过向量的始点作直线的垂线，垂足为点，
过向量的终点作直线的垂线，垂足为点，
在向量上的投影向量为，由底面是矩形,，故选：B
【变式5-1】在棱长为 的正方体 中，向量 在向量 方向上的投影向量的模是______．
【答案】
【解析】棱长为的正方体中向量与向量夹角为，
所以
向量 在向量 方向上的投影向量是
向量 在向量 方向上的投影向量的模是.
【变式5-2】如图，已知 平面 ， ， ，则向量 在 上的投影向量等于____.
【答案】
【解析】平面，则，
向量在上的投影向量为
【变式5-3】如图，在三棱锥中，平面，，，．
（1）确定在平面上的投影向量，并求；
（2）确定在上的投影向量，并求．
【答案】（1）在平面上的投影向量为，；
（2）在上的投影向量为，.
【解析】（1）因为平面，所以在平面上的投影向量为，
因为平面，面，可得，所以，
因为，所以，
所以.
（2）由（1）知：，，
所以在上的投影向量为：
，
由数量积的几何意义可得：.