高中数学苏教版 (2019)选择性必修第二册6.3空间向量的应用精品当堂检测题

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一、异面直线所成角
若分别为直线的方向向量，为直线的夹角，则.
二、直线与平面所成角
1、夹角定义：设是直线的方向向量,是平面的法向量,直线与平面的夹角为.则.
2、利用空间向量求异面直线所成角的步骤：
（1）建立适当的空间直角坐标系，
（2）求出两条异面直线的方向向量的坐标，
（3）利用向量的夹角公式求出两直线方向向量的夹角，
（4）结合异面直线所成角的范围得到两异面直线所成角。
3、求两条异面直线所成角的两个关注点
（1）余弦值非负：两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值，而对应的方向向量的夹角可能为钝角。
（2）范围：异面直线所成角的范围是（0，），故两直线方向向量夹角的余弦值为负时，应取其绝对值。
三、平面与平面的夹角
平面与平面的夹角：两个平面相交形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于的二面角称为这两个平面的夹角.
若分别为平面的法向量，为平面的夹角，则.
四、点到直线的距离
已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量eq \(AP,\s\up6(→))在直线l上的投影向量为eq \(AQ,\s\up6(→))＝a，则点P到直线l的距离为eq \r(a2－a·u2) (如图)．
五、点到平面的距离
已知平面的法向量为 , 是平面内的任一点，是平面外一点,过点作则平面的垂线，交平面于点,则点到平面的距离为（如图）.
注意：线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解。
直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。
两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。
题型一 坐标法求异面直线所成角
【例1】已知直三棱柱的所有棱长都相等，为的中点，则与所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】取线段的中点，则，设直三棱柱的棱长为，
以点为原点，、、的方向分别为、、的正方向，
建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
所以，，，
.
所以，.故选：C.
【变式1-1】如图所示，已知等腰直角三角形ADE与正方形ABCD所在的平面互相垂直，且，F是线段CD的中点，则BD与EF所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为平面ADE⊥平面ABCD，平面平面ABCD=AD，AE⊥AD，平面ADE，
所以AE⊥平面ABCD，
又平面ABCD，所以AE⊥AB，
又AB⊥AD，所以AB，AD，AE两两垂直，
分别以AB、AD、AE所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
可得B（2，0，0），D（0，2，0），E（0，0，2），F（1，2，0），
∴，，
设BD与EF所成的角大小为α，
则，
即BD与EF所成的角的余弦值为，故选：D.
【变式1-2】在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（biē nà）.如图，在鳖臑中，平面，，分别为，的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．0
【答案】A
【解析】由题意得，为直角三角形，且，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
则，.设异面直线与所成角为，
则.故选：A.
【变式1-3】如图，在圆锥中，，点C在圆O上，当直线与所成角为60°时，直线与所成角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】C
【解析】以点O为坐标原点建立空间直角坐标系如下图所示，设，
则，，
所以，，
因为直线与所成角为60°，
所以，
又因为点C在圆O上，所以，所以解得，
所以，点，
所以，
则，
又直线与所成角的范围为，
所以直线与所成的角60°，故选：C．
题型二 坐标法求直线与平面所成角
【例2】如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，则直线与平面BDE所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】以点D为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴的正方向，
建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，，
所以，，，
设平面BDE的一个法向量，
则，即，
令，则，，
所以平面BDE的一个法向量，
设直线与平面BDE所成角为，
所以．故选：D.
【变式2-1】如图，在直三棱柱中，，AC⊥BC，点D是AB的中点，则直线和平面所成角的正切值为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意，以C为坐标原点，以CA，CB，为，，轴建立空间坐标系，
如下图所示：
令，则，，，，
故，，
设为平面的一个法向量，则，即
令，则，，从而，
设直线和平面所成角为，
则，
故，从而.故选：D.
【变式2-2】如图所示，在三棱锥P-ABC中，ABBC，AB=BC=PA=1，点O是AC的中点，OP底面ABC，则直线PA与平面PBC所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由PA=2得OP=，
连接OB，则OBOC.
以O点为坐标原点，分别以OB､OC､OP所在直线为x､y､z轴建立空间直角坐标系，
如图所示，则A（0，，0），P（0，0，），C（0，，0），B（，0，0），
所以=（0，，），=（0，，），=（，0）.
设平面PBC的法向量为（x，y，z），
即，即，
可取（1，1，），
∴cs==.
设PA与平面PBC所成的角为θ，
则sinθ=|cs|=.故选：A.
【变式2-3】如图，已知AB是圆柱底面圆的一条直径，OP是圆柱的一条母线，C为底面圆上一点，且，，则直线PC与平面PAB所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为AB是圆柱底面圆的一条直径，所以，
又OP是圆柱的一条母线，
如图，以为原点建立空间直角坐标系，
因为，所以，，
又因，所以，
所以，即，
设，则，
则，
则，
设平面PAB的法向量为，
则有，可取，
则，
所以直线PC与平面PAB所成角的正弦值为.故选：A.
题型三 坐标法求平面与平面所成角
【例3】如图所示，已知点为菱形外一点，且平面，，点为的中点，则二面角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，连接交于点，连接，
∵四边形为菱形，∴为的中点，.
∵为的中点，∴.
∵平面，∴平面.
以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴
建立如图空间直角坐标系，设，则，
，，，，
结合图形可知，，且为平面的一个法向量，
，，
设平面的一个法向量，则
，不妨取，则
可求得平面的一个法向量.
，，.故选：.
【变式3-1】如图，在空间直角坐标系中，四棱柱为长方体，，点，分别为，的中点，则二面角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设，则，
∵，分别为，的中点
∴，，即，
设是平面的法向量，则，即
取，则，即有平面的一个法向量为
又平面，即是平面的一个法向量
∴，又二面角为锐二面角
∴二面角的余弦值为，故选：C
【变式3-2】如图，已知三棱锥的底面是正三角形，侧面是菱形，且，是的中点，，则二面角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】取的中点，连接，，则，
又侧面是菱形，且，所以，
又，所以四边形为平行四边形，所以，
又，所以，平面
建立以为坐标原点，的反向延长线，
，分别为，，轴的空间直角坐标系,如图：
设，则，
则平面的法向量为，
，，，，，
则，，
设平面的法向量为，
则，令，得，
，
∴二面角的余弦值是.故选：B.
【变式3-3】如图，在三棱台中，，，，侧棱平面，点是棱的中点．
（1）证明：平面平面；（2）求二面角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）证明：因为平面，平面，所以，
又，，，平面，所以平面．
又平面，所以．
又因为，，
所以，所以．
又，，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面．
（2）以为坐标原点，，，的所在的直线分别为，，轴，
建立空间直角坐标系，如图所示．
因为，，
所以，，，，．
设平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
且，，，，
因为所以令，则，，
所以．
又因为所以令，则，，
所以．
所以．
设二面角的大小为，则，
所以二面角的正弦值为．
题型四 坐标法求点到直线的距离
【例4】已知，则到直线的距离为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【解析】由，
得，
则，
又，所以，
所以到直线的距离为.故选：A.
【变式4-1】在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为点，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．6
【答案】C
【解析】由题意，，，
的方向向量，，
则点到直线的距离为
.故选：C.
【变式4-2】如图，在正三棱柱中，若，则C到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意知，，
取AC的中点O，则，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
所以在上的投影的长度为，
故点C到直线的距离为：.故选：D
【变式4-3】如图，在棱长为1的正方体中，点B到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】以为坐标原点，以为单位正交基底，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，．
取，，则，，
则点B到直线AC1的距离为．故选：A．
题型五 坐标法求点到平面的距离
【例5】如图，已知四棱锥的底面ABCD是边长为2的菱形，且，底面ABCD，，则点D到平面PAC的距离为（ ）．
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【解析】以D为坐标原点，以，的方向分别为x，z轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，．
设是平面PAC的法向量，
因为，，
所以，令，得．
设点D到平面PAC的距离为d．
因为，所以．故选：B
【变式5-1】已知正方体的棱长为2，，分别为上底面和侧面的中心，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
易知，
设平面的法向量，
则，
令，解得，
故点到平面的距离为.
故选：A.
【变式5-2】在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，D，E分别是与的中点，点E在平面ABD上的射影是的重心G，则点到平面ABD的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图所示，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，
建立空间直角坐标系，
设，则，0，，，，，，，0，，
可得，，，，
因为点在平面上的射影是的重心，
所以平面，所以，
即，解得，即，
则点到平面的距离为，是的中点，
所以．故选：A.
【变式5-3】如图，在长方体中，，，､､分别是､､的中点，则直线到平面的距离为___________.
【答案】
【解析】以D为原点，DC，DA，所在直线分别为轴，轴，轴，
建立空间直角坐标系，如图所示，
由题，则，，
因为､､分别是､､的中点，
所以，，，
则，所以，
所以平面，
所以点E到平面的距离即为直线到平面的距离，
设平面的法向量为，则，
因为，所以，
取，则，，
所以是平面的一个法向量，
又向量，所以点E到平面的距离为，
即直线到平面的距离为.