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数学选择性必修第二册7.2排列精品达标测试
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这是一份数学选择性必修第二册7.2排列精品达标测试，文件包含72排列原卷版docx、72排列解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共25页， 欢迎下载使用。
一、排列
1、定义：一般地，从个不同元素中取出个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做个不同元素中取出个元素的一个排列。
排列定义的两个要素：一是“取出元素”，二是“将元素按一定顺序排列”
2、相同排列：两个排列相同，当且仅当排列的元素相同，且元素的排列顺序也相同。
3、对排列概念的两个关注点：
（1）顺序性：每一个排列不仅与选取的元素有关，而且还与元素的排列顺序有关，选取的元素不同或虽元素相同但元素的排列顺序不同时叫做不同的排列，只有当两个排列的元素完全相同且元素的顺序完全一样时才是相同的排列。
（2）选排列与全排列：在定义中规定，如果，一般称为选排列；如果，则称为全排列。
二、排列数
1、定义：从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示。
2、全排列：个不同的元素全部取出的一个排列，叫做个元素的一个全排列，且
阶乘：正整数1到的连乘积，叫做的阶乘，用表示。
3、排列数公式：
特别的：（且）；规定：
三、有限制条件排列问题常见类型
1、解有“相邻元素”的排列问题的方法
对于某些元素必须相邻的排列，通常采用“捆绑法”，即把相邻元素看作一个整体和其他元素一起参与排列，再考虑这个整体内部各元素间的顺序。
2、解有“不相邻元素”的排列问题的方法
对于某些元素不相邻的排列，通常采用“插空法”，即先排不受限制的元素，使每两个元素之间形成“空”，然后将不相邻的元素进行“插空”。
【注意】根据具体问题判断两端元素外是否还有“空”。
3、解有特殊元素（位置）的排列问题的方法
解有特殊元素或特殊位置的排列问题，一般先安排特殊元素或特殊位置，再考虑其他元素或位置，当以元素为主或以位置为主
题型一 排列的概念及判断
【例1】（2022·高二课时练习）下面问题中，是排列问题的是（ ）
A．由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数
B．从40人中选5人组成篮球队
C．从100人中选2人抽样调查
D．从1，2，3，4，5中选2个数组成集合
【答案】A
【解析】根据排列及排列数的定义，可得：
对于A中，由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数，
符合排列的定义，是排列问题；
对于B中，从40人中选5人组成篮球队，与顺序无关的问题，不是排列问题；
对于C中， 从100人中选2人抽样调查，与顺序无关的问题，不是排列问题；
对于D中， 从1，2，3，4，5中选2个数组成集合，
与顺序无关的问题，不是排列问题.故选：A.
【变式1-1】（2023·高二课时练习）给出下列问题：
①有10位同学，每两人互通一次电话，共通了多少次电话？
②有10位同学，每两人互写一封信，共写了多少封信？
③有10位同学，每两人互握一次手，共握了多少次手？
以上问题中，属于排列问题的是______．（写出所有满足要求的问题序号）
【答案】②
【解析】对于①，假设10位同学中含甲乙，甲与乙通一次电话，
也就是乙与甲通一次电话，没有顺序区别，故不是排列问题；
对于②，假设10位同学中含甲乙，
甲给乙写一封信，跟乙给甲写一封信，是不一样的，
是有顺序区别的，故属于排列问题；
对于③，假设10位同学中含甲乙，甲与乙握一次手，也就是乙与甲握一次手，
没有顺序区别，故不是排列问题，故答案为：②
【变式1-2】（2023·高二课时练习）给出下列问题：
①从2、3、5、7、11中任取两数相乘，可得多少个不同的积？
②从2、3、5、7、11中任取两数相除，可得多少个不同的商？
③从2、3、5、7、11中任取两数相加，可得多少个不同的和？
以上问题中，属于排列问题的是______．（写出所有满足要求的问题序号）
【答案】②
【解析】对于①，从2、3、5、7、11中任取两数相乘，且乘法满足交换律，故不是排列问题;
对于②，从2、3、5、7、11中任取两数相除，且除法不满足交换律，故是排列问题;
对于③，从2、3、5、7、11中任取两数相加，且加法满足交换律，故不是排列问题;
故答案为：②
【变式1-3】（2022·全国·高二专题练习）下列问题是排列问题吗？
（1）北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格（假设来回的票价相同）；
（2）某班40名学生在假期相互写信；
（3）会场有50个座位，要求选出3个座位，有多少种方法？若选出3个座位安排三位客人，又有多少种方法？
（4）平面上有5个点，其中任意3个点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？可确定多少条射线？
【答案】（1）不是排列问题.；（2）是排列问题.
（3）选3个座位不是排列问题；选3个座位安排三位客人是排列问题.
（4）确定直线不是排列问题，确定射线是排列问题
【解析】（1）来回的票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题.
（2）A给B写信与B给A写信是不同的两件事，所以存在着顺序，属于排列问题.
（3）任选3个座位，与顺序无关，不是排列问题；选3个座位安排三位客人，
与顺序有关，故是排列问题.
（4）直线与两点的顺序无关，故确定直线不是排列问题，射线与两点的顺序有关，
故确定射线是排列问题.
题型二 排列数公式的应用
【例2】（2022春·江苏宿迁·高二校联考阶段练习）可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】总共有个数连乘，
故.故选：B
【变式2-1】（2022·高二课时练习）若，则的个位数字是（ ）
A．3 B．8 C．0 D．5
【答案】A
【解析】当时，，此时的个位数字为0，
∴的个位数字为0，
又∵，∴的个位数字为3．故选：A．
【变式2-2】（2022秋·吉林·高二四平市第一高级中学校考）（多选）下列等式正确的是（ ）
A． B．
C．！ D．
【答案】ACD
【解析】对于A，，选项A正确；
对于B，，所以选项B错误；
对于C，，选项C正确；
对于D，•，选项D正确．故选：ACD．
【变式2-3】（2022秋·江苏南通·高一海安市曲塘中学校考开学考试）阶乘是基斯顿·卡曼（Christian Kramp）于1808年发明的一种运算，正整数n的阶乘记为n!，它的值为所有小于或等于n的正整数的积，即 ．根据上述材料，以下说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据阶乘的定义可得，A正确；
，B正确；
，C正确；
，故D错误，故选:D
【变式2-4】（2022·全国·高三专题练习）（1）解不等式：；
（2）解方程：．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由题意得，化简得，
即，所以．
因为，且，所以不等式的解集为．
（2）易知所以，，
由，得，
化简得，
解得，（舍去），（舍去）．
所以原方程的解为．
题型三 元素(位置)有限的排列
【例3】（2023秋·北京西城·高二统考期末）2名辅导教师与3名获奖学生站成一排照相，要求2名教师分别站在两侧，则不同的站法共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】B
【解析】2名教师排在两边有种排法，3名学生排在中间有 种排法，
所以共有 种排法；故选：B.
【变式3-1】（2022秋·广东深圳·高二深圳中学校考期末）如果自然数是一个三位数，而且十位与个位、百位的差的绝对值均不超过1，我们就把自然数叫做“集中数”．那么，“集中数”一共有（ ）个．
A．65 B．70 C．75 D．80
【答案】C
【解析】自然数是一个三位数，而且十位与个位、百位的差的绝对值均不超过1，
我们就把自然数叫做“集中数”．则3个数，相等或相邻，
十位数为0时，有100，或101，共2个；
十位数为1时，有110，111，112，210，211，212共6个；
十位数为2时，有121，123，122，222，221，223，321，322，323，共9个；
十位数为3，4，5，6，7，8时，与十位数是2时，相同各有9个；
十位数为9时，有，899，898，998，999共4个．
综上共有：个．故选：．
【变式3-2】（2023·福建泉州·高三统考阶段练习）某停车场行两排空车位，每排4个，现有甲、乙、丙、丁4辆车需要泊车，若每排都有车辆停泊，且甲、乙两车停泊在同一排，则不同的停车方案有（ ）
A．288种 B．336种 C．384种 D．672种
【答案】D
【解析】甲乙两车停泊在同一排，丙、丁两车停泊在同一排时，种方案，
丙、丁选一辆与甲、乙停泊在同一排，另一辆单独一排，种方案，
所以共有种方案.故选：D
【变式3-3】（2023·河南信阳·高三统考期末）源于探索外太空的渴望，航天事业在21世纪获得了长足的发展．太空中的环境为某些科学实验提供了有利条件，宇航员常常在太空旅行中进行科学实验．在某次太空旅行中，宇航员们负责的科学实验要经过5道程序，其中两道程序既不能放在最前，也不能放在最后，则该实验不同程序的顺序安排共有（ ）
A．18种 B．36种 C．72种 D．108种
【答案】B
【解析】先排两道程序，其既不能放在最前，也不能放在最后，
则在第2,3,4道程序选两个放，共有种放法；
再排剩余的3道程序，共有种放法；
则共有种放法.故选：B.
【变式3-4】（2022春·黑龙江·高二大庆市东风中学校考期中）某班开展“学党史，感党恩”演讲活动，安排ABCD四个演讲小组在班会上按次序演讲，则A组不是第一个演讲的方法数为_____
【答案】18
【解析】由题意可知，第一个演讲的小组在BCD三个小组中选取，则共有3种可能，
剩余三个小组演讲次序共有种可能，
从而A组不是第一个演讲的方法数为.
【变式3-5】（2022春·河南·高二校联考阶段练习）用、、、、、这六个数字：
（1）能组成多少个无重复数字的四位数？
（2）能组成多少个无重复数字的四位奇数？
（3）能组成多少个无重复数字且比大的四位数？
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）由题意知，因为数字中有，不能放在首位，
先安排首位的数字，从五个非数字中选一个，共有种结果，
余下的五个数字在五个位置进行全排列，共有种结果，
由分步乘法计数原理可知，能组成个无重复数字的四位数；
（2）先排个位数，方法数有种，然后排千位数，方法数有种，
剩下百位和十位任意排，方法数有种，
由分步乘法计数原理可知，能组成个无重复数字的四位奇数；
（3）分以下三种情况讨论：
①首位是、、、中的一个，则其它数位可以任意排列，共有个；
②首位是，百位数字为或，剩余两个数位可以任意排列，共有个；
③首位是，百位数字为，则十位上的数字为或，个位数字可以任意排列，
共有个.
综上所述，由分类加法计数原理可知，
能组成个无重复数字且比大的四位数.
题型四 相邻问题的排列
【例4】（2023秋·山东滨州·高三统考期末）由3个2,1个0,2个3组成的六位数中,满足有相邻4位恰好是2023的六位数个数为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．24
【答案】B
【解析】由题得3个2,1个0,2个3中,除去2023四个数,还剩一个2,一个3,
将2023进行捆绑，对2,2023,3进行全排有种.故选:B
【变式4-1】（2023·全国·高三专题练习）在某个单位迎新晚会上有A、B、C、D、E、F6个节目，单位为了考虑整体效果，对节目演出顺序有如下具体要求，节目C必须安排在第三位，节目D、F必须安排连在一起，则该单位迎新晚会节目演出顺序的编排方案共有（ ）种
A．36 B．48 C．60 D．72
【答案】A
【解析】由题意D、F在一二位或四五位、五六位，C是固定的，其他三个节目任意排列，
因此方法数为．故选：A．
【变式4-2】（2023春·四川泸州·高三四川省泸县第四中学校考开学考试）2022年2月4日北京冬奥会顺利开幕.在开幕式当晚，周明约李亮一家一起观看.周明一家四口相邻而坐，李亮一家四口也相邻而坐，已知他们两家人的8个座位连在一起（在同一排且一人一座），且周明与李亮也相邻而坐，则他们不同的坐法有（ ）
A．432种 B．72种 C．1152种 D．144种
【答案】B
【解析】依题意周明与李亮坐中间两个位置，则有种坐法，
此时周明家其余人有种坐法，同理李亮家其余人有种坐法，
所以他们不同的坐法有种.故选：B
【变式4-3】（2022秋·浙江·高二校联考阶段练习）某学校筹备元旦晚会节目单时，准备在前五个节目排三个歌唱节目，一个小品节目以及一个相声节目，若三个歌唱节目最多有两个相邻，则不同的排法总数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】三个歌唱节目，一个小品节目以及一个相声节目的全排列的排列数为，
其中三个歌唱节目都相邻的排法数为，
故满足条件的排法数为，
所以三个歌唱节目最多有两个相邻的排法总数为84，故选：C.
题型五 不相邻问题的排列
【例5】（2022春·山东临沂·高二统考期中）班会课上原定有3位同学依次发言，现临时加入甲，乙2位同学也发言，若保持原来3位同学发言的相对顺序不变，且甲，乙的发言顺序不能相邻，则不同的发言顺序种数为（ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
【答案】B
【解析】在原来三位同学的发言顺序一定时，他们之间会形成个空位，
插入甲，乙2位同学有种.故选：B.
【变式5-1】（2023秋·河南南阳·高二统考期末）5个人排成一列，已知甲排在乙的前面，则甲、乙两人不相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】5个人全排列且甲排在乙的前面有种方法，
将剩余三人排成一列有中排法，产生4个空位，
让甲、乙选择两个空位插空，则有种方法，
所以甲、乙两人不相邻的安排方法有种方法，
其中甲排在乙的前面的有种方法，
所以甲、乙两人不相邻的概率为，故选:C.
【变式5-2】（2022·安徽黄山·统考一模）2022年11月30日,神舟十四号字航员陈冬、刘洋、蔡旭哲和神舟十五号宇航员费俊龙、邓清明、张陆顺利“会师太空”,为记录这一历史时刻,他们准备在天和核心舱合影留念.假设6人站成一排,要求神舟十四号三名航天员互不相邻,且神舟十五号三名航天员也互不相邻,则他们的不同站法共有（ ）种
A．72 B．144 C．36 D．108
【答案】A
【解析】由题知,不妨先将神舟十四号三名航天员全排为:,
再将神舟十五号三名航天员插入到神舟十四号三名航天员中,
因为神舟十四号三名航天员互不相邻,
故先将神舟十五号三名航天员中选出两名，
插到神舟十四号三名航天员中间空出的两个位置上,进行排列:,
最后一位神舟十五号航天员在首和尾中选一个位置站下,共,
故不同站法有:种.故选:A
【变式5-3】（2021秋·江苏南通·高二统考期末）琵琶、二胡、编钟、箫笛、瑟、琴、埙、笙和鼓这十种民族乐器被称为“中国古代十大乐器”.为弘扬中国传统文化，某校以这十种乐器为题材，在周末学生兴趣活动中开展了“中国古代乐器”知识讲座，共连续安排八节课，一节课只讲一种乐器，一种乐器最多安排一节课，则琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】从这十种乐器中挑八种全排列，有情况种数为.
从除琵琶、二胡、编钟三种乐器外的七种乐器中挑五种全排列，有种情况，
再从排好的五种乐器的6个空中挑3个插入琵琶、二胡、编钟三种乐器，有种情况，
故琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的情况种数为.
所以所求的概率，故选：B.
【变式5-4】（2022·高二单元测试）5名同学坐成一排照相，要求甲不在正中间，且甲、乙不相邻，则这5名同学不同坐法的种数为（ ）
A．24 B．36 C．60 D．72
【答案】C
【解析】由题意可知，有的5个座位，如图所示
先安排甲：①甲坐1或5，有2种坐法，则乙有3种坐法，
剩下的3名同学有种坐法，共有种坐法；
②甲坐2或4，有2种坐法，则乙有2种坐法，
剩下的3名同学有种坐法，共有种坐法.
所以这5名同学坐成一排的不同坐法共有（种）.故选:C.
【变式5-5】（2023秋·江西吉安·高二统考期末）某公司为庆祝新中国成立73周年，计划举行庆祝活动，共有5个节目，要求A节目不排在第一个且C、D节目相邻，则节目安排的方法总数为（ ）
A．18 B．24 C．36 D．60
【答案】C
【解析】因为C、D节目相邻，则视C、D节目为一个整体与其它3个节目排列，
又A节目不排在第一个，则从后面三个位置中取一个排A，再排余下3个，有种，
其中的每一种排法，C、D节目的排列有，
所以节目安排的方法总数为（种）.故选：C
【变式5-6】（2023秋·辽宁沈阳·高二校联考期末）现有7位老师（含甲、乙）排成一排拍照留念．
（1）求甲、乙不相邻且不在两端的概率；
（2）如果甲、乙之间所隔人数为3，那么共有多少种不同的排法？
【答案】（1）；（2）720种
【解析】（1）7位老师（含甲、乙）随意排成一排有个等可能的基本事件，
甲、乙不相邻的事件中含有的基本事件数为，
所以甲、乙不相邻且不在两端的概率为．
（2）从除甲、乙外的5位老师中任取3人排在甲、乙之间有种，
排在甲、乙之间的3位老师与甲、乙一起视为一个整体，
同余下的2位老师作全排列有种，甲、乙的排列有种．
由分步乘法计数原理，得，
所以甲、乙之间所隔人数为3，共有720种不同的排法．
题型六 定序问题的处理
【例6】（2022秋·江苏常州·高一华罗庚中学校考期中）今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列的排法总数为（ ）
A．1782 B．1720 C．2520 D．1260
【答案】D
【解析】同色球不加以区分可以理解为定序问题，
故将这9个球排成一列的排法总数为种.故选：D
【变式6-1】（2022·高二课时练习）某公司为庆祝年利润实现目标，计划举行答谢联欢会，原定表演6个节目，已排成节目单，开演前又临时增加了2个互动节目.如果保持原节目的顺序不变，那么不同排法的种数为（ ）.
A．42 B．56 C．30 D．72
【答案】B
【解析】增加2个互动节目后，一共有8个节目，这8个节目的不同排法有种，
而原有的6个节目对应的不同排法共有种，
所以不同的排法有（种）.故选：B.
【变式6-2】（2022春·河北沧州·高二沧县中学校考阶段练习）用组成没有重复数字的七位数，若的顺序一定，则符合条件的七位数有（ ）个
A．840 B．210 C．640 D．410
【答案】A
【解析】组成没有重复数字的七位数，共有个，的顺序有个，
所以所求的个数有，故选：.
【变式6-3】（2022·全国·高三专题练习）书架上某一层有5本不同的书，新买了3本不同的书插进去，要保持原来5本书的顺序不变，则不同的插法种数为（ ）.
A．60 B．120 C．336 D．504
【答案】C
【解析】将新买的3本书逐一插进去：
第1本书插入5本书形成的6个空隙中的1个，有6种插法；
第2本书插入6本书形成的7个空隙中的1个，有7种插法；
最后1本书插入7本书形成的8个空隙中的1个，有8种插法.
由分步乘法计数原理，知不同的插法种数为6×7×8=336.故选：C
【变式6-4】（2023秋·福建宁德·高二统考期末）某中学为迎接新年到来，筹备“唱响时代强音，放飞青春梦想”为主题的元旦文艺晩会.晩会组委会计划在原定排好的5个学生节目中增加2个教师节目，若保持原来5个节目的出场顺序不变，则有__________种不同排法.（用数字作答）
【答案】42
【解析】①当2个教师节目相邻时利用插空法则有：种情况，
②当2个教师节目不相邻时有：种情况，
所以共有种情况，
故答案为：42.1
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一、排列
1、定义：一般地，从个不同元素中取出个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做个不同元素中取出个元素的一个排列。
排列定义的两个要素：一是“取出元素”，二是“将元素按一定顺序排列”
2、相同排列：两个排列相同，当且仅当排列的元素相同，且元素的排列顺序也相同。
3、对排列概念的两个关注点：
（1）顺序性：每一个排列不仅与选取的元素有关，而且还与元素的排列顺序有关，选取的元素不同或虽元素相同但元素的排列顺序不同时叫做不同的排列，只有当两个排列的元素完全相同且元素的顺序完全一样时才是相同的排列。
（2）选排列与全排列：在定义中规定，如果，一般称为选排列；如果，则称为全排列。
二、排列数
1、定义：从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示。
2、全排列：个不同的元素全部取出的一个排列，叫做个元素的一个全排列，且
阶乘：正整数1到的连乘积，叫做的阶乘，用表示。
3、排列数公式：
特别的：（且）；规定：
三、有限制条件排列问题常见类型
1、解有“相邻元素”的排列问题的方法
对于某些元素必须相邻的排列，通常采用“捆绑法”，即把相邻元素看作一个整体和其他元素一起参与排列，再考虑这个整体内部各元素间的顺序。
2、解有“不相邻元素”的排列问题的方法
对于某些元素不相邻的排列，通常采用“插空法”，即先排不受限制的元素，使每两个元素之间形成“空”，然后将不相邻的元素进行“插空”。
【注意】根据具体问题判断两端元素外是否还有“空”。
3、解有特殊元素（位置）的排列问题的方法
解有特殊元素或特殊位置的排列问题，一般先安排特殊元素或特殊位置，再考虑其他元素或位置，当以元素为主或以位置为主
题型一 排列的概念及判断
【例1】（2022·高二课时练习）下面问题中，是排列问题的是（ ）
A．由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数
B．从40人中选5人组成篮球队
C．从100人中选2人抽样调查
D．从1，2，3，4，5中选2个数组成集合
【答案】A
【解析】根据排列及排列数的定义，可得：
对于A中，由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数，
符合排列的定义，是排列问题；
对于B中，从40人中选5人组成篮球队，与顺序无关的问题，不是排列问题；
对于C中， 从100人中选2人抽样调查，与顺序无关的问题，不是排列问题；
对于D中， 从1，2，3，4，5中选2个数组成集合，
与顺序无关的问题，不是排列问题.故选：A.
【变式1-1】（2023·高二课时练习）给出下列问题：
①有10位同学，每两人互通一次电话，共通了多少次电话？
②有10位同学，每两人互写一封信，共写了多少封信？
③有10位同学，每两人互握一次手，共握了多少次手？
以上问题中，属于排列问题的是______．（写出所有满足要求的问题序号）
【答案】②
【解析】对于①，假设10位同学中含甲乙，甲与乙通一次电话，
也就是乙与甲通一次电话，没有顺序区别，故不是排列问题；
对于②，假设10位同学中含甲乙，
甲给乙写一封信，跟乙给甲写一封信，是不一样的，
是有顺序区别的，故属于排列问题；
对于③，假设10位同学中含甲乙，甲与乙握一次手，也就是乙与甲握一次手，
没有顺序区别，故不是排列问题，故答案为：②
【变式1-2】（2023·高二课时练习）给出下列问题：
①从2、3、5、7、11中任取两数相乘，可得多少个不同的积？
②从2、3、5、7、11中任取两数相除，可得多少个不同的商？
③从2、3、5、7、11中任取两数相加，可得多少个不同的和？
以上问题中，属于排列问题的是______．（写出所有满足要求的问题序号）
【答案】②
【解析】对于①，从2、3、5、7、11中任取两数相乘，且乘法满足交换律，故不是排列问题;
对于②，从2、3、5、7、11中任取两数相除，且除法不满足交换律，故是排列问题;
对于③，从2、3、5、7、11中任取两数相加，且加法满足交换律，故不是排列问题;
故答案为：②
【变式1-3】（2022·全国·高二专题练习）下列问题是排列问题吗？
（1）北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格（假设来回的票价相同）；
（2）某班40名学生在假期相互写信；
（3）会场有50个座位，要求选出3个座位，有多少种方法？若选出3个座位安排三位客人，又有多少种方法？
（4）平面上有5个点，其中任意3个点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？可确定多少条射线？
【答案】（1）不是排列问题.；（2）是排列问题.
（3）选3个座位不是排列问题；选3个座位安排三位客人是排列问题.
（4）确定直线不是排列问题，确定射线是排列问题
【解析】（1）来回的票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题.
（2）A给B写信与B给A写信是不同的两件事，所以存在着顺序，属于排列问题.
（3）任选3个座位，与顺序无关，不是排列问题；选3个座位安排三位客人，
与顺序有关，故是排列问题.
（4）直线与两点的顺序无关，故确定直线不是排列问题，射线与两点的顺序有关，
故确定射线是排列问题.
题型二 排列数公式的应用
【例2】（2022春·江苏宿迁·高二校联考阶段练习）可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】总共有个数连乘，
故.故选：B
【变式2-1】（2022·高二课时练习）若，则的个位数字是（ ）
A．3 B．8 C．0 D．5
【答案】A
【解析】当时，，此时的个位数字为0，
∴的个位数字为0，
又∵，∴的个位数字为3．故选：A．
【变式2-2】（2022秋·吉林·高二四平市第一高级中学校考）（多选）下列等式正确的是（ ）
A． B．
C．！ D．
【答案】ACD
【解析】对于A，，选项A正确；
对于B，，所以选项B错误；
对于C，，选项C正确；
对于D，•，选项D正确．故选：ACD．
【变式2-3】（2022秋·江苏南通·高一海安市曲塘中学校考开学考试）阶乘是基斯顿·卡曼（Christian Kramp）于1808年发明的一种运算，正整数n的阶乘记为n!，它的值为所有小于或等于n的正整数的积，即 ．根据上述材料，以下说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据阶乘的定义可得，A正确；
，B正确；
，C正确；
，故D错误，故选:D
【变式2-4】（2022·全国·高三专题练习）（1）解不等式：；
（2）解方程：．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由题意得，化简得，
即，所以．
因为，且，所以不等式的解集为．
（2）易知所以，，
由，得，
化简得，
解得，（舍去），（舍去）．
所以原方程的解为．
题型三 元素(位置)有限的排列
【例3】（2023秋·北京西城·高二统考期末）2名辅导教师与3名获奖学生站成一排照相，要求2名教师分别站在两侧，则不同的站法共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】B
【解析】2名教师排在两边有种排法，3名学生排在中间有 种排法，
所以共有 种排法；故选：B.
【变式3-1】（2022秋·广东深圳·高二深圳中学校考期末）如果自然数是一个三位数，而且十位与个位、百位的差的绝对值均不超过1，我们就把自然数叫做“集中数”．那么，“集中数”一共有（ ）个．
A．65 B．70 C．75 D．80
【答案】C
【解析】自然数是一个三位数，而且十位与个位、百位的差的绝对值均不超过1，
我们就把自然数叫做“集中数”．则3个数，相等或相邻，
十位数为0时，有100，或101，共2个；
十位数为1时，有110，111，112，210，211，212共6个；
十位数为2时，有121，123，122，222，221，223，321，322，323，共9个；
十位数为3，4，5，6，7，8时，与十位数是2时，相同各有9个；
十位数为9时，有，899，898，998，999共4个．
综上共有：个．故选：．
【变式3-2】（2023·福建泉州·高三统考阶段练习）某停车场行两排空车位，每排4个，现有甲、乙、丙、丁4辆车需要泊车，若每排都有车辆停泊，且甲、乙两车停泊在同一排，则不同的停车方案有（ ）
A．288种 B．336种 C．384种 D．672种
【答案】D
【解析】甲乙两车停泊在同一排，丙、丁两车停泊在同一排时，种方案，
丙、丁选一辆与甲、乙停泊在同一排，另一辆单独一排，种方案，
所以共有种方案.故选：D
【变式3-3】（2023·河南信阳·高三统考期末）源于探索外太空的渴望，航天事业在21世纪获得了长足的发展．太空中的环境为某些科学实验提供了有利条件，宇航员常常在太空旅行中进行科学实验．在某次太空旅行中，宇航员们负责的科学实验要经过5道程序，其中两道程序既不能放在最前，也不能放在最后，则该实验不同程序的顺序安排共有（ ）
A．18种 B．36种 C．72种 D．108种
【答案】B
【解析】先排两道程序，其既不能放在最前，也不能放在最后，
则在第2,3,4道程序选两个放，共有种放法；
再排剩余的3道程序，共有种放法；
则共有种放法.故选：B.
【变式3-4】（2022春·黑龙江·高二大庆市东风中学校考期中）某班开展“学党史，感党恩”演讲活动，安排ABCD四个演讲小组在班会上按次序演讲，则A组不是第一个演讲的方法数为_____
【答案】18
【解析】由题意可知，第一个演讲的小组在BCD三个小组中选取，则共有3种可能，
剩余三个小组演讲次序共有种可能，
从而A组不是第一个演讲的方法数为.
【变式3-5】（2022春·河南·高二校联考阶段练习）用、、、、、这六个数字：
（1）能组成多少个无重复数字的四位数？
（2）能组成多少个无重复数字的四位奇数？
（3）能组成多少个无重复数字且比大的四位数？
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）由题意知，因为数字中有，不能放在首位，
先安排首位的数字，从五个非数字中选一个，共有种结果，
余下的五个数字在五个位置进行全排列，共有种结果，
由分步乘法计数原理可知，能组成个无重复数字的四位数；
（2）先排个位数，方法数有种，然后排千位数，方法数有种，
剩下百位和十位任意排，方法数有种，
由分步乘法计数原理可知，能组成个无重复数字的四位奇数；
（3）分以下三种情况讨论：
①首位是、、、中的一个，则其它数位可以任意排列，共有个；
②首位是，百位数字为或，剩余两个数位可以任意排列，共有个；
③首位是，百位数字为，则十位上的数字为或，个位数字可以任意排列，
共有个.
综上所述，由分类加法计数原理可知，
能组成个无重复数字且比大的四位数.
题型四 相邻问题的排列
【例4】（2023秋·山东滨州·高三统考期末）由3个2,1个0,2个3组成的六位数中,满足有相邻4位恰好是2023的六位数个数为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．24
【答案】B
【解析】由题得3个2,1个0,2个3中,除去2023四个数,还剩一个2,一个3,
将2023进行捆绑，对2,2023,3进行全排有种.故选:B
【变式4-1】（2023·全国·高三专题练习）在某个单位迎新晚会上有A、B、C、D、E、F6个节目，单位为了考虑整体效果，对节目演出顺序有如下具体要求，节目C必须安排在第三位，节目D、F必须安排连在一起，则该单位迎新晚会节目演出顺序的编排方案共有（ ）种
A．36 B．48 C．60 D．72
【答案】A
【解析】由题意D、F在一二位或四五位、五六位，C是固定的，其他三个节目任意排列，
因此方法数为．故选：A．
【变式4-2】（2023春·四川泸州·高三四川省泸县第四中学校考开学考试）2022年2月4日北京冬奥会顺利开幕.在开幕式当晚，周明约李亮一家一起观看.周明一家四口相邻而坐，李亮一家四口也相邻而坐，已知他们两家人的8个座位连在一起（在同一排且一人一座），且周明与李亮也相邻而坐，则他们不同的坐法有（ ）
A．432种 B．72种 C．1152种 D．144种
【答案】B
【解析】依题意周明与李亮坐中间两个位置，则有种坐法，
此时周明家其余人有种坐法，同理李亮家其余人有种坐法，
所以他们不同的坐法有种.故选：B
【变式4-3】（2022秋·浙江·高二校联考阶段练习）某学校筹备元旦晚会节目单时，准备在前五个节目排三个歌唱节目，一个小品节目以及一个相声节目，若三个歌唱节目最多有两个相邻，则不同的排法总数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】三个歌唱节目，一个小品节目以及一个相声节目的全排列的排列数为，
其中三个歌唱节目都相邻的排法数为，
故满足条件的排法数为，
所以三个歌唱节目最多有两个相邻的排法总数为84，故选：C.
题型五 不相邻问题的排列
【例5】（2022春·山东临沂·高二统考期中）班会课上原定有3位同学依次发言，现临时加入甲，乙2位同学也发言，若保持原来3位同学发言的相对顺序不变，且甲，乙的发言顺序不能相邻，则不同的发言顺序种数为（ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
【答案】B
【解析】在原来三位同学的发言顺序一定时，他们之间会形成个空位，
插入甲，乙2位同学有种.故选：B.
【变式5-1】（2023秋·河南南阳·高二统考期末）5个人排成一列，已知甲排在乙的前面，则甲、乙两人不相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】5个人全排列且甲排在乙的前面有种方法，
将剩余三人排成一列有中排法，产生4个空位，
让甲、乙选择两个空位插空，则有种方法，
所以甲、乙两人不相邻的安排方法有种方法，
其中甲排在乙的前面的有种方法，
所以甲、乙两人不相邻的概率为，故选:C.
【变式5-2】（2022·安徽黄山·统考一模）2022年11月30日,神舟十四号字航员陈冬、刘洋、蔡旭哲和神舟十五号宇航员费俊龙、邓清明、张陆顺利“会师太空”,为记录这一历史时刻,他们准备在天和核心舱合影留念.假设6人站成一排,要求神舟十四号三名航天员互不相邻,且神舟十五号三名航天员也互不相邻,则他们的不同站法共有（ ）种
A．72 B．144 C．36 D．108
【答案】A
【解析】由题知,不妨先将神舟十四号三名航天员全排为:,
再将神舟十五号三名航天员插入到神舟十四号三名航天员中,
因为神舟十四号三名航天员互不相邻,
故先将神舟十五号三名航天员中选出两名，
插到神舟十四号三名航天员中间空出的两个位置上,进行排列:,
最后一位神舟十五号航天员在首和尾中选一个位置站下,共,
故不同站法有:种.故选:A
【变式5-3】（2021秋·江苏南通·高二统考期末）琵琶、二胡、编钟、箫笛、瑟、琴、埙、笙和鼓这十种民族乐器被称为“中国古代十大乐器”.为弘扬中国传统文化，某校以这十种乐器为题材，在周末学生兴趣活动中开展了“中国古代乐器”知识讲座，共连续安排八节课，一节课只讲一种乐器，一种乐器最多安排一节课，则琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】从这十种乐器中挑八种全排列，有情况种数为.
从除琵琶、二胡、编钟三种乐器外的七种乐器中挑五种全排列，有种情况，
再从排好的五种乐器的6个空中挑3个插入琵琶、二胡、编钟三种乐器，有种情况，
故琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的情况种数为.
所以所求的概率，故选：B.
【变式5-4】（2022·高二单元测试）5名同学坐成一排照相，要求甲不在正中间，且甲、乙不相邻，则这5名同学不同坐法的种数为（ ）
A．24 B．36 C．60 D．72
【答案】C
【解析】由题意可知，有的5个座位，如图所示
先安排甲：①甲坐1或5，有2种坐法，则乙有3种坐法，
剩下的3名同学有种坐法，共有种坐法；
②甲坐2或4，有2种坐法，则乙有2种坐法，
剩下的3名同学有种坐法，共有种坐法.
所以这5名同学坐成一排的不同坐法共有（种）.故选:C.
【变式5-5】（2023秋·江西吉安·高二统考期末）某公司为庆祝新中国成立73周年，计划举行庆祝活动，共有5个节目，要求A节目不排在第一个且C、D节目相邻，则节目安排的方法总数为（ ）
A．18 B．24 C．36 D．60
【答案】C
【解析】因为C、D节目相邻，则视C、D节目为一个整体与其它3个节目排列，
又A节目不排在第一个，则从后面三个位置中取一个排A，再排余下3个，有种，
其中的每一种排法，C、D节目的排列有，
所以节目安排的方法总数为（种）.故选：C
【变式5-6】（2023秋·辽宁沈阳·高二校联考期末）现有7位老师（含甲、乙）排成一排拍照留念．
（1）求甲、乙不相邻且不在两端的概率；
（2）如果甲、乙之间所隔人数为3，那么共有多少种不同的排法？
【答案】（1）；（2）720种
【解析】（1）7位老师（含甲、乙）随意排成一排有个等可能的基本事件，
甲、乙不相邻的事件中含有的基本事件数为，
所以甲、乙不相邻且不在两端的概率为．
（2）从除甲、乙外的5位老师中任取3人排在甲、乙之间有种，
排在甲、乙之间的3位老师与甲、乙一起视为一个整体，
同余下的2位老师作全排列有种，甲、乙的排列有种．
由分步乘法计数原理，得，
所以甲、乙之间所隔人数为3，共有720种不同的排法．
题型六 定序问题的处理
【例6】（2022秋·江苏常州·高一华罗庚中学校考期中）今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列的排法总数为（ ）
A．1782 B．1720 C．2520 D．1260
【答案】D
【解析】同色球不加以区分可以理解为定序问题，
故将这9个球排成一列的排法总数为种.故选：D
【变式6-1】（2022·高二课时练习）某公司为庆祝年利润实现目标，计划举行答谢联欢会，原定表演6个节目，已排成节目单，开演前又临时增加了2个互动节目.如果保持原节目的顺序不变，那么不同排法的种数为（ ）.
A．42 B．56 C．30 D．72
【答案】B
【解析】增加2个互动节目后，一共有8个节目，这8个节目的不同排法有种，
而原有的6个节目对应的不同排法共有种，
所以不同的排法有（种）.故选：B.
【变式6-2】（2022春·河北沧州·高二沧县中学校考阶段练习）用组成没有重复数字的七位数，若的顺序一定，则符合条件的七位数有（ ）个
A．840 B．210 C．640 D．410
【答案】A
【解析】组成没有重复数字的七位数，共有个，的顺序有个，
所以所求的个数有，故选：.
【变式6-3】（2022·全国·高三专题练习）书架上某一层有5本不同的书，新买了3本不同的书插进去，要保持原来5本书的顺序不变，则不同的插法种数为（ ）.
A．60 B．120 C．336 D．504
【答案】C
【解析】将新买的3本书逐一插进去：
第1本书插入5本书形成的6个空隙中的1个，有6种插法；
第2本书插入6本书形成的7个空隙中的1个，有7种插法；
最后1本书插入7本书形成的8个空隙中的1个，有8种插法.
由分步乘法计数原理，知不同的插法种数为6×7×8=336.故选：C
【变式6-4】（2023秋·福建宁德·高二统考期末）某中学为迎接新年到来，筹备“唱响时代强音，放飞青春梦想”为主题的元旦文艺晩会.晩会组委会计划在原定排好的5个学生节目中增加2个教师节目，若保持原来5个节目的出场顺序不变，则有__________种不同排法.（用数字作答）
【答案】42
【解析】①当2个教师节目相邻时利用插空法则有：种情况，
②当2个教师节目不相邻时有：种情况，
所以共有种情况，
故答案为：42.1
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