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高中数学苏教版 (2019)选择性必修第二册7.3组合优秀课时练习
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这是一份高中数学苏教版 (2019)选择性必修第二册7.3组合优秀课时练习，文件包含73组合原卷版docx、73组合解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共24页， 欢迎下载使用。
一、组合
1、定义：一般地，从个不同元素中取出个元素作为一组，叫做个不同元素中取出个元素的一个组合。
2、两个组合相同的条件：两个组合只要元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的。
3、对组合概念的两点说明：
（1）组合的特点：组合要求个元素是不同的，被取出的个元素也是不同的，即从个不同元素中进行次不放回地取出；
（2）组合的特性：元素是无序的，即取出的个元素不讲究顺序，亦即元素没有位置的要求。
二、组合数与组合数公式
1、组合数：从个不同元素中取出个元素所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示。
2、组合数公式：（，且）
3、组合数的性质：
（1）； （2）； （3）规定
三、解答有限制条件的组合应用题的基本方法
1、直接法：用直接法求解时，应坚持“特殊元素优先选取”“特殊位置优先安排”的原则，优先选取特殊元素，再选取其他元素。
2、间接法：选择间接法的原则是“正难则反”，若正面问题的分类较多、较复杂或计算量较大时，可以考虑从反面问题入手，特别是涉及“至多”“至少”等组合问题时更是如此，此时，正确理解“都不是”“不都是”“至多”“至少”等词语的确切含义是解决这些组合问题的关键。
四、排列与组合的相同点与不同点
1、相同点：组合与排列都是“从不同的元素中取出个元素”
2、不同点：组合中要求元素“不管元素的顺序合成一组”，而排雷中要求元素“按照一定的顺序排成一列”，因此区分某一个问题是组合问题还是排列问题，关键是看选出的元素是否与顺序有关，即交换某两个元素的位置对结果没有影响，若有影响，则是排雷问题，若无影响，则是组合问题。
题型一 组合的概念及判断
【例1】（2022·高二课时练习）下列问题中，组合问题的个数是（ ）
①从全班50人中选出5人组成班委会；
②从全班50人中选出5人分别担任班长、副班长、团支部书记、学习委员、生活委员；
③从1，2，3，…，9中任取出两个数求积；
④从1，2，3，…，9中任取出两个数求差或商.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】对于①，从50人中选出5人组成班委会，不考虑顺序是组合问题.②为排列问题.
对于③，从1，2，3，…，9中任取两个数求积是组合问题.
因为乘法满足交换律，而减法和除法不满足，故④为排列问题.
所以组合问题的个数是2个.故选：B.
【变式1-1】（2021·高二课时练习）从10个不同的非零的数中任取2个数，求其和、差、积、商这四个问题中，属于组合的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】因为减法和除法运算中交换两个数的位置对计算结果有影响，
而加法和乘法运算满足交换律，交换两个数的位置对计算结果没有影响.
所以属于组合的有加法和乘法，共2个.故选：B
【变式1-2】（2022春·浙江嘉兴·高二校考阶段练习）（多选）下列问题是组合问题的是（ ）
A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次
B．平面上有2015个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段
C．集合含有三个元素的子集有多少个
D．从高三（19）班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法
【答案】ABC
【解析】A. 10个朋友聚会，每两人握手一次，与次序无关，故是组合问题；
B.平面上有2015个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点，
与次序无关，故是组合问题；
C. 集合含有三个元素的子集，与次序无关，故是组合问题；
D.选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱节目、
乙参加独舞节目”与“乙参加独唱节目、甲参加独舞节目”是两个不同的选法，
与次序无关，因此是排列问题，不是组合问题．故选：ABC
【变式1-3】（2022·全国·高二专题练习）（多选）下列问题中，属于组合问题的是（ ）
A．10支战队以单循环进行比赛（每两队比赛一次），共进行多少次比赛
B．10支战队以单循环进行比赛，这次比赛的冠、亚军获得者有多少种可能
C．从10名员工中选出3名参加同一种的娱乐活动，有多少种选派方法
D．从10名员工中选出3名分别参加不同的娱乐活动，有多少种选派方法
【答案】AC
【解析】A是组合问题，因为每两个队进行一次比赛，并没有谁先谁后，没有顺序的区别.；
B是排列问题，因为甲队获得冠军、乙队获得亚军和甲队获得亚军、
乙队获得冠军是不一样的，存在顺序区别；
C是组合问题，因为3名员工参加相同的活动，没有顺序区别；
D是排列问题，因为选的3名员工参加的活动不相同，存在顺序区别，.故选：AC.
题型二 组合数公式的应用
【例2】（2022秋·河南南阳·高二校考阶段练习）已知，则方程的解是___________．
【答案】1或2
【解析】因为，，
所以由组合数的性质得或，解得或，
故答案为：1或2
【变式2-1】（2022·高二课时练习）（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意， .故选：B．
【变式2-2】（2022春·江苏连云港·高二统考期中）对于m∈N*，n∈N*，m≤n，关于下列排列组合数，结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】对于A，
，A错误；
对于B，由组合数的性质知，成立，B正确；
对于C，因为，因此成立，C正确；
对于D，因为， ，
所以不成立，D错误.故选： BC.
【变式2-3】（2022春·江苏连云港·高二江苏省灌云高级中学校考阶段练习）解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因为，所以，
整理得，
所以，所以．
（2）因为，所以，所以，
即．
因为，，所以．
题型三 分组分配问题
【例3】（2023春·湖南长沙·高二长沙一中校考开学考试）某社区为了做好疫情防控工作，安排6名志愿者进行核酸检测，需要完成队伍组织､信息录入､采集核酸三项任务，每项任务至少安排一人但至多三人，则不同的安排方法有（ ）
A．450种 B．72种 C．90种 D．360种
【答案】A
【解析】6名志愿者分成三组，每组至少一人至多三人，
可分两种情况考虑：
第一种：人数为的三组，共有种；
第二种：人数为的三组，共有种.
所以不同的安排方法共有种，故选：.
【变式3-1】（2023秋·山东潍坊·高二统考期末）某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊、己六位同学参加A，B，C三个企业的调研工作，每个企业去2人，且甲去B企业，乙不去C企业，则不同的派遣方案共有（ ）
A．42种 B．30种 C．24种 D．18种
【答案】D
【解析】若甲乙去同一企业，则甲乙只能去B企业，剩下的4人平均分去两个企业，
共有种；
若甲乙不去同一企业，分两步，第一步：先给甲乙两人选同伴，有种，
第二步：将这三组分去三个企业，因为甲去B企业，乙不去C企业，
所以共有1种分法，由分步乘法计数原理可得：共有种；
所以不同的派遣方案共有种，故选：.
【变式3-2】（2023·高二单元测试）某校高三年级进行校际模拟联考，某班级考试科目为语文，数学，英语，物理，化学，生物，已知考试分为三天进行，且数学与物理不得安排在同一天进行，每天至少进行一科考试.则不同的考试安排方案共有（ ）
A．720种 B．3168种 C．1296种 D．5040种
【答案】D
【解析】若三天考试科目数量为，则安排方法数为：.
若三天考试科目数量为，则安排方法数为：
，
若三天考试科目数量为，则安排方法数为：，
所以不同的考试安排方案共有种.故选：D
【变式3-3】（2023春·江苏南京·高二校考开学考试）有5人参加某会议，现将参会人安排到酒店住宿，要在a、b、c三家酒店选择一家，且每家酒店至少有一个参会人入住，则这样的安排方法共有（ ）
A．96种 B．124种 C．150种 D．130种
【答案】C
【解析】根据题意：分2步进行：
①5人在a、b、c三家酒店选择一家，且每家酒店至少有一个参会人入住，
可以把5人分成三组，一种是按照1,1,3；另一种是按照1,2,2；
当按照1,1,3来分时共有种分组方法；
当按照1,2,2来分时共有种分组方法；
则一共有种分组方法；
②将分好的三组对应三家酒店，有种对应方法；
则安排方法共有种，故选：.
【变式3-4】（2022秋·福建漳州·高二统考期末）（多选）在中共二十大代表“燃灯校长”张桂梅老师的不懈努力下，云南华坪山区的2000多名女孩圆了大学梦，她扎根基层教育默默奉献的精神感动了无数人.受她的影响，有甲，乙，丙，丁四名志愿者主动到三所山区学校参加支教活动，要求每个学校至少安排一名志愿者，下列结论正确的是（ ）
A．共有18种安排方法
B．若甲、乙被安排在同一所学校，则有6种安排方法
C．若学校需要两名志愿者，则有24种安排方法
D．若甲被安排在学校，则有12安排方法
【答案】BD
【解析】所有安排方法有，A错误；
若甲、乙被安排在同一所学校，则有种安排方法，B正确；
若学校需要两名志愿者，则有种安排方法，C错误；
若甲被安排在学校，则有种安排方法，D正确.故选：BD.
题型四 隔板法的应用
【例4】（2022·全国·高二专题练习）学校有个优秀学生名额，要求分配到高一、高二、高三，每个年级至少个名额，则有（ ）种分配方案.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】问题等价于将个完全相同的小球，放入个不同的盒子，每个盒子至少个球，
由隔板法可知，不同的分配方案种数为.故选：C.
【变式4-1】（2022秋·福建·高三福建师大附中校考阶段练习）各数位数字之和等于8(数字可以重复) 的四位数个数为_____．
【答案】120
【解析】设对应个位到千位上的数字，则，且，
相当于将3个表示0的球与8个表示1的球排成一排，
即10个空用3个隔板将其分开，故共种.
【变式4-2】（2022春·重庆·高二校联考阶段练习）已知关于的三元一次方程，且，则该方程有__________组正整数解.
【答案】
【解析】方程，且的正整数解的组数等价于
将个相同小球分成三组而每组至少有一个小球的分法总数
则所求的正整数解的组数有
【变式4-3】（2023·高三课时练习）某市拟成立一个由6名中学生组成的调查小组，并准备将这6个名额分配给本市的4所实验中学，要求每所实验中学都有学生参加，那么不同的名额分配方法的种数是_________.
【答案】10
【解析】将6个名额排成一排，6个名额之间有5个空，
用3块隔板插入到这5个空中，每一种插空方法就是一种名额分配方法，
共有种分配方法.
【变式4-4】（2022春·河北邯郸·高二大名县第一中学校考阶段练习）将20个完全相同的球放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子中．
（1）若要求每个盒子至少放一个球，则一共有多少种放法？
（2）若每个盒子可放任意个球，则一共有多少种放法？
（3）若要求每个盒子放的球的个数不小于其编号数，则一共有多少种放法？
【答案】（1）3876 ；（2）；（3）126 ．
【解析】（1）把20个球摆好，在中间19个空隙中选择放4个板子，所以一共有种；
（2）由题意可知，可以出现空盒子，
所以把20个球和5个虚拟的球摆好，在中间24个空隙中选择放4个板子，
所以一共有种；
（3）先在编号为1，2，3，4，5的五个盒子中依次放入0，1，2，3，4个球，
再只要保证余下的10个球每个盒子至少放一个，把10个球摆好，
在中间9个空隙中选择放4个板子，所以一共有种.
题型五 多面手问题
【例5】（2022·高二课时练习）有8名学生，其中2名学生会下象棋但不会下围棋，3名学生会下围棋但不会下象棋，3名学生既会下象棋又会下围棋.现从这8名学生中选出2名学生，其中一名学生参加象棋比赛，另一名学生参加围棋比赛，则不同的选派方法有（ ）
A．18 B．24 C．27 D．30
【答案】C
【解析】3名学生既会下象棋又会下围棋的学生中选取人时，方法数有种.
3名学生既会下象棋又会下围棋的学生中选取人时，方法数种.
3名学生既会下象棋又会下围棋的学生中选取人时方法数种.
故总的方法数有种.故选：C
【变式5-1】（2022·北京·统考模拟预测）“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，某单位龙舟队欲参加端午节龙舟赛，参加训练的8名队员中有3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨．现要选派3人划左桨、3人划右桨共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（ ）．
A．26种 B．31种 C．36种 D．37种
【答案】D
【解析】根据题意，设只会划左桨的人，只会划右桨的人，
既会划左桨又会划右桨的人，
据此分3种情况讨论：
①从中选3人划左桨，划右桨的在中剩下的人中选取，有种选法；
②从中选2人划左桨，中选1人划左桨，划右桨的在中剩下的人中选取，
有种选法；
③从中选1人划左桨，中2人划左桨，中3人划右桨，有种选法，
则有种不同的选法.故选：D．
【变式5-2】（2022·高二课时练习）某出版社的7名工人中，有3人只会排版，2人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从7人中安排2人排版，2人印刷，有几种不同的安排方法．
【答案】37
【解析】首先分类的标准要正确，
可以选择“只会排版”、“只会印刷”、“既会排版又会印刷”中的一个作为分类的标准．下
面选择“既会排版又会印刷”作为分类的标准，按照被选出的人数，可将问题分为三类：
第一类：2人全不被选出，即从只会排版的3人中选2人，有3种选法；
只会印刷的2人全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有3×1=3种选法．
第二类：2人中被选出一人，有2种选法．
若此人去排版，则再从会排版的3人中选1人，有3种选法
只会印刷的2人全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有2×3×1=6种选法；
若此人去印刷，则再从会印刷的2人中选1人，有2种选法，
从会排版的3人中选2人，有3种选法，
由分步计数原理知共有2×3×2=12种选法；
再由分类计数原理知共有6+12=18种选法．
第三类：2人全被选出，同理共有16种选法．所以共有3+18+16=37种选法．
【变式5-3】（2023·全国·高三专题练习）我校去年11月份，高二年级有10人参加了赴日本交流访问团，其中3人只会唱歌，2人只会跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞．现要从中选6人上台表演，3人唱歌，3人跳舞，有（ ）种不同的选法．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意可按照只会跳舞的人中入选的人数分类处理．
第一类个只会跳舞的都不选，
则从既能唱歌又能跳舞的5人中选择3人来跳舞，接着从剩余的5人中选择3人唱歌，
故有种；
第二类个只会跳舞的有人入选，有种，
再从从既能唱歌又能跳舞的5人中选择2人来跳舞，有种，
再从剩余的6人中选择3人唱歌，有种，故有种；
第三类个只会跳舞的全入选，有种，
再从从既能唱歌又能跳舞的5人中选择1人来跳舞，有种，
再从剩余的7人中选择3人唱歌，有种，有种，
所以共有种不同的选法，故选：A．
【变式5-4】（2022·全国·高二课时练习）在名工人中,有人只当钳工, 人只当车工,另外人既会钳工又会车工，现从人中选出人当钳工, 人当车工,则共有（ ）种不同的选法.
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】按即会钳工又会车工的2人分类：
2人都不选的情况有种，
只选1人且当钳工的情况有种，
只选1人且当车工的情况有种，
选2人其中1人钳工1人车工的情况有种，
选2人都当钳工的情况有种，
选2人都当车工的情况有种，
由分类加法原理得选法有种.故选：D.
题型六 几何组合计数问题
【例6】（2023春·江西·高二校联考开学考试）如图，在正三角形的12个点中任取三个点构成三角形，能构成三角形的数量为（ ）
A．220 B．200 C．190 D．170
【答案】C
【解析】任取三个点有种，其中三点共线的有种，
故能构成三角形个，故选：C.
【变式6-1】（2022·全国·高三专题练习）个点将半圆分成段弧，以个点（包括个端点）为顶点的三角形中钝角三角形有（ ）个
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意，如图：
在10个点中，任意三点不共线，
在其中任取3个点，可以组成个三角形，
其中没有锐角三角形，
直角三角形是包含点和余下的8点任意取一个构成的三角形，
有8个，则钝角三角形有个．故选：B．
【变式6-2】（2022·全国·高三专题练习）图中的矩形的个数为（ ）
A．12 B．30 C．60 D．120
【答案】C
【解析】由题意，矩形的两条邻边确定，矩形就确定，第一步先确定“横边”，
从5个点任选2个点可以组成一条“横边”，共有种情况；
第二步再确定“竖边”，共有种情况，
所以图中矩形共有.故选：C.
【变式6-3】（2022春·重庆·高二校联考期中）2022年2月4日，第24届冬季奥林匹克运动会隆重开幕，双奥之城北京成功谱写了精彩、非凡、卓越的奥林匹克新篇章，镌刻下这个冬天的美好记忆．奥林匹克标志由五个互扣的环圈组成，五环象征五大洲的团结．五个奥林匹克环总共有8个交点，从中任取4个点，则这4个点恰好位于同一个奥林匹克环上的概率为______．
【答案】
【解析】从8个点中任取4个点，共有种取法，
事件所取4个点恰好位于同一个奥林匹克环上包含3个基本事件，
所以事件所取4个点恰好位于同一个奥林匹克环上的概率，
【变式6-4】（2023·高二课时练习）（1）以正方体的顶点为顶点的三棱锥有多少个？
（2）以正方体的顶点为顶点的四棱锥有多少个？
（3）以正方体的顶点为顶点的棱锥有多少个？
【答案】（1）58；（2）48；（3）106．
【解析】（1）正方体顶点任取个点，共有种选法，
其中四点共面的共有6个面和6个对角面共12种，故三棱锥共有个.
（2）四点共面的共有6个面和6个对角面共12种，每一种情况，
剩余4个点对应4个四棱锥，故共有个.
（3）正方体的顶点为顶点的棱锥只有三棱锥和四棱锥，共有个
一、组合
1、定义：一般地，从个不同元素中取出个元素作为一组，叫做个不同元素中取出个元素的一个组合。
2、两个组合相同的条件：两个组合只要元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的。
3、对组合概念的两点说明：
（1）组合的特点：组合要求个元素是不同的，被取出的个元素也是不同的，即从个不同元素中进行次不放回地取出；
（2）组合的特性：元素是无序的，即取出的个元素不讲究顺序，亦即元素没有位置的要求。
二、组合数与组合数公式
1、组合数：从个不同元素中取出个元素所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示。
2、组合数公式：（，且）
3、组合数的性质：
（1）； （2）； （3）规定
三、解答有限制条件的组合应用题的基本方法
1、直接法：用直接法求解时，应坚持“特殊元素优先选取”“特殊位置优先安排”的原则，优先选取特殊元素，再选取其他元素。
2、间接法：选择间接法的原则是“正难则反”，若正面问题的分类较多、较复杂或计算量较大时，可以考虑从反面问题入手，特别是涉及“至多”“至少”等组合问题时更是如此，此时，正确理解“都不是”“不都是”“至多”“至少”等词语的确切含义是解决这些组合问题的关键。
四、排列与组合的相同点与不同点
1、相同点：组合与排列都是“从不同的元素中取出个元素”
2、不同点：组合中要求元素“不管元素的顺序合成一组”，而排雷中要求元素“按照一定的顺序排成一列”，因此区分某一个问题是组合问题还是排列问题，关键是看选出的元素是否与顺序有关，即交换某两个元素的位置对结果没有影响，若有影响，则是排雷问题，若无影响，则是组合问题。
题型一 组合的概念及判断
【例1】（2022·高二课时练习）下列问题中，组合问题的个数是（ ）
①从全班50人中选出5人组成班委会；
②从全班50人中选出5人分别担任班长、副班长、团支部书记、学习委员、生活委员；
③从1，2，3，…，9中任取出两个数求积；
④从1，2，3，…，9中任取出两个数求差或商.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】对于①，从50人中选出5人组成班委会，不考虑顺序是组合问题.②为排列问题.
对于③，从1，2，3，…，9中任取两个数求积是组合问题.
因为乘法满足交换律，而减法和除法不满足，故④为排列问题.
所以组合问题的个数是2个.故选：B.
【变式1-1】（2021·高二课时练习）从10个不同的非零的数中任取2个数，求其和、差、积、商这四个问题中，属于组合的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】因为减法和除法运算中交换两个数的位置对计算结果有影响，
而加法和乘法运算满足交换律，交换两个数的位置对计算结果没有影响.
所以属于组合的有加法和乘法，共2个.故选：B
【变式1-2】（2022春·浙江嘉兴·高二校考阶段练习）（多选）下列问题是组合问题的是（ ）
A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次
B．平面上有2015个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段
C．集合含有三个元素的子集有多少个
D．从高三（19）班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法
【答案】ABC
【解析】A. 10个朋友聚会，每两人握手一次，与次序无关，故是组合问题；
B.平面上有2015个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点，
与次序无关，故是组合问题；
C. 集合含有三个元素的子集，与次序无关，故是组合问题；
D.选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱节目、
乙参加独舞节目”与“乙参加独唱节目、甲参加独舞节目”是两个不同的选法，
与次序无关，因此是排列问题，不是组合问题．故选：ABC
【变式1-3】（2022·全国·高二专题练习）（多选）下列问题中，属于组合问题的是（ ）
A．10支战队以单循环进行比赛（每两队比赛一次），共进行多少次比赛
B．10支战队以单循环进行比赛，这次比赛的冠、亚军获得者有多少种可能
C．从10名员工中选出3名参加同一种的娱乐活动，有多少种选派方法
D．从10名员工中选出3名分别参加不同的娱乐活动，有多少种选派方法
【答案】AC
【解析】A是组合问题，因为每两个队进行一次比赛，并没有谁先谁后，没有顺序的区别.；
B是排列问题，因为甲队获得冠军、乙队获得亚军和甲队获得亚军、
乙队获得冠军是不一样的，存在顺序区别；
C是组合问题，因为3名员工参加相同的活动，没有顺序区别；
D是排列问题，因为选的3名员工参加的活动不相同，存在顺序区别，.故选：AC.
题型二 组合数公式的应用
【例2】（2022秋·河南南阳·高二校考阶段练习）已知，则方程的解是___________．
【答案】1或2
【解析】因为，，
所以由组合数的性质得或，解得或，
故答案为：1或2
【变式2-1】（2022·高二课时练习）（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意， .故选：B．
【变式2-2】（2022春·江苏连云港·高二统考期中）对于m∈N*，n∈N*，m≤n，关于下列排列组合数，结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】对于A，
，A错误；
对于B，由组合数的性质知，成立，B正确；
对于C，因为，因此成立，C正确；
对于D，因为， ，
所以不成立，D错误.故选： BC.
【变式2-3】（2022春·江苏连云港·高二江苏省灌云高级中学校考阶段练习）解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因为，所以，
整理得，
所以，所以．
（2）因为，所以，所以，
即．
因为，，所以．
题型三 分组分配问题
【例3】（2023春·湖南长沙·高二长沙一中校考开学考试）某社区为了做好疫情防控工作，安排6名志愿者进行核酸检测，需要完成队伍组织､信息录入､采集核酸三项任务，每项任务至少安排一人但至多三人，则不同的安排方法有（ ）
A．450种 B．72种 C．90种 D．360种
【答案】A
【解析】6名志愿者分成三组，每组至少一人至多三人，
可分两种情况考虑：
第一种：人数为的三组，共有种；
第二种：人数为的三组，共有种.
所以不同的安排方法共有种，故选：.
【变式3-1】（2023秋·山东潍坊·高二统考期末）某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊、己六位同学参加A，B，C三个企业的调研工作，每个企业去2人，且甲去B企业，乙不去C企业，则不同的派遣方案共有（ ）
A．42种 B．30种 C．24种 D．18种
【答案】D
【解析】若甲乙去同一企业，则甲乙只能去B企业，剩下的4人平均分去两个企业，
共有种；
若甲乙不去同一企业，分两步，第一步：先给甲乙两人选同伴，有种，
第二步：将这三组分去三个企业，因为甲去B企业，乙不去C企业，
所以共有1种分法，由分步乘法计数原理可得：共有种；
所以不同的派遣方案共有种，故选：.
【变式3-2】（2023·高二单元测试）某校高三年级进行校际模拟联考，某班级考试科目为语文，数学，英语，物理，化学，生物，已知考试分为三天进行，且数学与物理不得安排在同一天进行，每天至少进行一科考试.则不同的考试安排方案共有（ ）
A．720种 B．3168种 C．1296种 D．5040种
【答案】D
【解析】若三天考试科目数量为，则安排方法数为：.
若三天考试科目数量为，则安排方法数为：
，
若三天考试科目数量为，则安排方法数为：，
所以不同的考试安排方案共有种.故选：D
【变式3-3】（2023春·江苏南京·高二校考开学考试）有5人参加某会议，现将参会人安排到酒店住宿，要在a、b、c三家酒店选择一家，且每家酒店至少有一个参会人入住，则这样的安排方法共有（ ）
A．96种 B．124种 C．150种 D．130种
【答案】C
【解析】根据题意：分2步进行：
①5人在a、b、c三家酒店选择一家，且每家酒店至少有一个参会人入住，
可以把5人分成三组，一种是按照1,1,3；另一种是按照1,2,2；
当按照1,1,3来分时共有种分组方法；
当按照1,2,2来分时共有种分组方法；
则一共有种分组方法；
②将分好的三组对应三家酒店，有种对应方法；
则安排方法共有种，故选：.
【变式3-4】（2022秋·福建漳州·高二统考期末）（多选）在中共二十大代表“燃灯校长”张桂梅老师的不懈努力下，云南华坪山区的2000多名女孩圆了大学梦，她扎根基层教育默默奉献的精神感动了无数人.受她的影响，有甲，乙，丙，丁四名志愿者主动到三所山区学校参加支教活动，要求每个学校至少安排一名志愿者，下列结论正确的是（ ）
A．共有18种安排方法
B．若甲、乙被安排在同一所学校，则有6种安排方法
C．若学校需要两名志愿者，则有24种安排方法
D．若甲被安排在学校，则有12安排方法
【答案】BD
【解析】所有安排方法有，A错误；
若甲、乙被安排在同一所学校，则有种安排方法，B正确；
若学校需要两名志愿者，则有种安排方法，C错误；
若甲被安排在学校，则有种安排方法，D正确.故选：BD.
题型四 隔板法的应用
【例4】（2022·全国·高二专题练习）学校有个优秀学生名额，要求分配到高一、高二、高三，每个年级至少个名额，则有（ ）种分配方案.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】问题等价于将个完全相同的小球，放入个不同的盒子，每个盒子至少个球，
由隔板法可知，不同的分配方案种数为.故选：C.
【变式4-1】（2022秋·福建·高三福建师大附中校考阶段练习）各数位数字之和等于8(数字可以重复) 的四位数个数为_____．
【答案】120
【解析】设对应个位到千位上的数字，则，且，
相当于将3个表示0的球与8个表示1的球排成一排，
即10个空用3个隔板将其分开，故共种.
【变式4-2】（2022春·重庆·高二校联考阶段练习）已知关于的三元一次方程，且，则该方程有__________组正整数解.
【答案】
【解析】方程，且的正整数解的组数等价于
将个相同小球分成三组而每组至少有一个小球的分法总数
则所求的正整数解的组数有
【变式4-3】（2023·高三课时练习）某市拟成立一个由6名中学生组成的调查小组，并准备将这6个名额分配给本市的4所实验中学，要求每所实验中学都有学生参加，那么不同的名额分配方法的种数是_________.
【答案】10
【解析】将6个名额排成一排，6个名额之间有5个空，
用3块隔板插入到这5个空中，每一种插空方法就是一种名额分配方法，
共有种分配方法.
【变式4-4】（2022春·河北邯郸·高二大名县第一中学校考阶段练习）将20个完全相同的球放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子中．
（1）若要求每个盒子至少放一个球，则一共有多少种放法？
（2）若每个盒子可放任意个球，则一共有多少种放法？
（3）若要求每个盒子放的球的个数不小于其编号数，则一共有多少种放法？
【答案】（1）3876 ；（2）；（3）126 ．
【解析】（1）把20个球摆好，在中间19个空隙中选择放4个板子，所以一共有种；
（2）由题意可知，可以出现空盒子，
所以把20个球和5个虚拟的球摆好，在中间24个空隙中选择放4个板子，
所以一共有种；
（3）先在编号为1，2，3，4，5的五个盒子中依次放入0，1，2，3，4个球，
再只要保证余下的10个球每个盒子至少放一个，把10个球摆好，
在中间9个空隙中选择放4个板子，所以一共有种.
题型五 多面手问题
【例5】（2022·高二课时练习）有8名学生，其中2名学生会下象棋但不会下围棋，3名学生会下围棋但不会下象棋，3名学生既会下象棋又会下围棋.现从这8名学生中选出2名学生，其中一名学生参加象棋比赛，另一名学生参加围棋比赛，则不同的选派方法有（ ）
A．18 B．24 C．27 D．30
【答案】C
【解析】3名学生既会下象棋又会下围棋的学生中选取人时，方法数有种.
3名学生既会下象棋又会下围棋的学生中选取人时，方法数种.
3名学生既会下象棋又会下围棋的学生中选取人时方法数种.
故总的方法数有种.故选：C
【变式5-1】（2022·北京·统考模拟预测）“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，某单位龙舟队欲参加端午节龙舟赛，参加训练的8名队员中有3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨．现要选派3人划左桨、3人划右桨共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（ ）．
A．26种 B．31种 C．36种 D．37种
【答案】D
【解析】根据题意，设只会划左桨的人，只会划右桨的人，
既会划左桨又会划右桨的人，
据此分3种情况讨论：
①从中选3人划左桨，划右桨的在中剩下的人中选取，有种选法；
②从中选2人划左桨，中选1人划左桨，划右桨的在中剩下的人中选取，
有种选法；
③从中选1人划左桨，中2人划左桨，中3人划右桨，有种选法，
则有种不同的选法.故选：D．
【变式5-2】（2022·高二课时练习）某出版社的7名工人中，有3人只会排版，2人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从7人中安排2人排版，2人印刷，有几种不同的安排方法．
【答案】37
【解析】首先分类的标准要正确，
可以选择“只会排版”、“只会印刷”、“既会排版又会印刷”中的一个作为分类的标准．下
面选择“既会排版又会印刷”作为分类的标准，按照被选出的人数，可将问题分为三类：
第一类：2人全不被选出，即从只会排版的3人中选2人，有3种选法；
只会印刷的2人全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有3×1=3种选法．
第二类：2人中被选出一人，有2种选法．
若此人去排版，则再从会排版的3人中选1人，有3种选法
只会印刷的2人全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有2×3×1=6种选法；
若此人去印刷，则再从会印刷的2人中选1人，有2种选法，
从会排版的3人中选2人，有3种选法，
由分步计数原理知共有2×3×2=12种选法；
再由分类计数原理知共有6+12=18种选法．
第三类：2人全被选出，同理共有16种选法．所以共有3+18+16=37种选法．
【变式5-3】（2023·全国·高三专题练习）我校去年11月份，高二年级有10人参加了赴日本交流访问团，其中3人只会唱歌，2人只会跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞．现要从中选6人上台表演，3人唱歌，3人跳舞，有（ ）种不同的选法．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意可按照只会跳舞的人中入选的人数分类处理．
第一类个只会跳舞的都不选，
则从既能唱歌又能跳舞的5人中选择3人来跳舞，接着从剩余的5人中选择3人唱歌，
故有种；
第二类个只会跳舞的有人入选，有种，
再从从既能唱歌又能跳舞的5人中选择2人来跳舞，有种，
再从剩余的6人中选择3人唱歌，有种，故有种；
第三类个只会跳舞的全入选，有种，
再从从既能唱歌又能跳舞的5人中选择1人来跳舞，有种，
再从剩余的7人中选择3人唱歌，有种，有种，
所以共有种不同的选法，故选：A．
【变式5-4】（2022·全国·高二课时练习）在名工人中,有人只当钳工, 人只当车工,另外人既会钳工又会车工，现从人中选出人当钳工, 人当车工,则共有（ ）种不同的选法.
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】按即会钳工又会车工的2人分类：
2人都不选的情况有种，
只选1人且当钳工的情况有种，
只选1人且当车工的情况有种，
选2人其中1人钳工1人车工的情况有种，
选2人都当钳工的情况有种，
选2人都当车工的情况有种，
由分类加法原理得选法有种.故选：D.
题型六 几何组合计数问题
【例6】（2023春·江西·高二校联考开学考试）如图，在正三角形的12个点中任取三个点构成三角形，能构成三角形的数量为（ ）
A．220 B．200 C．190 D．170
【答案】C
【解析】任取三个点有种，其中三点共线的有种，
故能构成三角形个，故选：C.
【变式6-1】（2022·全国·高三专题练习）个点将半圆分成段弧，以个点（包括个端点）为顶点的三角形中钝角三角形有（ ）个
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意，如图：
在10个点中，任意三点不共线，
在其中任取3个点，可以组成个三角形，
其中没有锐角三角形，
直角三角形是包含点和余下的8点任意取一个构成的三角形，
有8个，则钝角三角形有个．故选：B．
【变式6-2】（2022·全国·高三专题练习）图中的矩形的个数为（ ）
A．12 B．30 C．60 D．120
【答案】C
【解析】由题意，矩形的两条邻边确定，矩形就确定，第一步先确定“横边”，
从5个点任选2个点可以组成一条“横边”，共有种情况；
第二步再确定“竖边”，共有种情况，
所以图中矩形共有.故选：C.
【变式6-3】（2022春·重庆·高二校联考期中）2022年2月4日，第24届冬季奥林匹克运动会隆重开幕，双奥之城北京成功谱写了精彩、非凡、卓越的奥林匹克新篇章，镌刻下这个冬天的美好记忆．奥林匹克标志由五个互扣的环圈组成，五环象征五大洲的团结．五个奥林匹克环总共有8个交点，从中任取4个点，则这4个点恰好位于同一个奥林匹克环上的概率为______．
【答案】
【解析】从8个点中任取4个点，共有种取法，
事件所取4个点恰好位于同一个奥林匹克环上包含3个基本事件，
所以事件所取4个点恰好位于同一个奥林匹克环上的概率，
【变式6-4】（2023·高二课时练习）（1）以正方体的顶点为顶点的三棱锥有多少个？
（2）以正方体的顶点为顶点的四棱锥有多少个？
（3）以正方体的顶点为顶点的棱锥有多少个？
【答案】（1）58；（2）48；（3）106．
【解析】（1）正方体顶点任取个点，共有种选法，
其中四点共面的共有6个面和6个对角面共12种，故三棱锥共有个.
（2）四点共面的共有6个面和6个对角面共12种，每一种情况，
剩余4个点对应4个四棱锥，故共有个.
（3）正方体的顶点为顶点的棱锥只有三棱锥和四棱锥，共有个
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