数学选择性必修第二册第7章 计数原理本章综合与测试优秀课时作业

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1．（2023·全国·高二专题练习）若，则（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【解析】由题意，得，
化简可得，解得．故选:B
2．（2023·辽宁阜新·校考模拟预测）马路上有编号为1，2，3，…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】先将亮的6盏灯排成一列，根据题意，
因为关掉3盏路灯不能是两端2盏，也不能相邻，则有5个符合条件的空位，
在5个空位中，任选3个，安排熄灭的灯，有种情况，即有10种关灯方法.
故选：A.
3．（2023·全国·高二专题练习）小王同学家3楼与4楼之间有8个台阶，已知小王一步可走一个或两个台阶，那么他从3楼到4楼不同的走法总数为（ ）
A．28种 B．32种 C．34种 D．40种
【答案】C
【解析】①8步走完楼梯，走8步走一个台阶，有1种；
②7步走完楼梯，走1步两个台阶6步一个台阶，有种；
③6步走完楼梯，走2步两个台阶4步一个台阶，有种；
④5步走完楼梯，走3步两个台阶2步一个台阶，有种；
⑤4步走完楼梯，走4步两个台阶，有1种，
共计34种．故选：C．
4．（2023春·安徽亳州·高二统考开学考试）已知点的横纵坐标均是集合中的元素，若点在第二象限内的情况共有种，则的展开式中的第5项为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知，，的展开式的通项为，
则展开式中的第5项为.故选：A
5．（2023秋·辽宁丹东·高二统考期末）学校组织社团活动，要求每名同学必须且只能参加一个社团，现仅剩的3个社团供4名同学选择，则不同的选择方法有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】D
【解析】由题意可得，每名同学共有3种选择，故不同的选择方法有种故选：D
6．（2023秋·辽宁锦州·高二统考期末）的展开式中的系数为（ ）
A． B． C．5 D．25
【答案】D
【解析】展开式中项是
与展开式中项相乘加上与展开式中项相乘的和，
于是，所以所求系数为25.故选：D
7．（2023春·江苏南京·高二校考开学考试）已知，则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
【解析】因为，
展开式第项，
当时，，当时，，
故，即.故选：B
8．（2021春·江苏扬州·高二扬州中学校考阶段练习）“杨辉三角”是中国古代数学杰出的研究成果之一.如图所示，由杨辉三角的左腰上的各数出发，引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为1，1，2，3，5，8，13，，则下列选项不正确的是（ ）
A．在第9条斜线上，各数之和为55
B．在第条斜线上，各数自左往右先增大后减小
C．在第条斜线上，共有个数
D．在第11条斜线上，最大的数是
【答案】A
【解析】从上往下每条线上各数之和依次为：1，1，2，3，5，8，13，，
其规律是，
所以第9条斜线上各数之和为13+21=34，故A错误；
第1条斜线上的数：，
第2条斜线上的数：；
第3条斜线上的数：，
第4条斜线上的数：，
第5条斜线上的数：，
第6条斜线的数：，
……，
依此规律，第n条斜线上的数为：，
在第11条斜线上的数为，最大的数是，
由上面的规律可知：n为奇数时，第n条斜线上共有个数；
n为偶数时，第n条斜线上共有共有个数，
所以第n条斜线上共，故C正确；
由上述每条斜线的变化规律可知：在第条斜线上，各数自左往右先增大后减小，
故B正确.故选：A.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2022春·山东青岛·高二青岛大学附属中学校考期中）对于，，，关于下列排列组合数，结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】A. 由组合数公式知：，故错误；
B. 由组合数公式知：，，则，故正确；
C. 由组合数公式知：，，，
所以，故正确；
D. 由排列数公式知：，所以，故错误；故选：BC
10．（2023春·江苏南京·高二校考开学考试）若二项式的展开式中二项式系数之和为64，则下列结论正确的是（ ）
A．二项展开式中各项系数之和为 B．二项展开式中二项式系数最大的项为
C．二项展开式中无常数项 D．二项展开式中系数最大的项为
【答案】BD
【解析】因为二项式的展开式中二项式系数之和为64，
所以，得，所以二项式为，
则二项式展开式的通项，
对于A，令，可得二项展开式中各项系数之和为，故A错误；
对于B，第4项的二项式系数最大，此时，
则二项展开式中二项式系数最大的项为，故B正确；
对于C，令，则，
所以二项展开式中的常数项为，故C错误；
对于D，令第项的系数最大，则，解得，
因为，所以，则二项展开式中系数最大的项为，
所以D正确，故选：BD．
11．（2022春·河北唐山·高二校考期末）已知的展开式中第3项与第5项的系数之比为，则下列结论成立的是（ ）
A． B．展开式中的常数项为45
C．含的项的系数为210 D．展开式中的有理项有5项
【答案】ABC
【解析】二项式的展开式的通项为，
由于第3项与第5项的系数之比为，
则，故，得.
∴(n＋5)(n－10)＝0，解得n＝10，故A正确；
则，令，解得，
则展开式中的常数项为，故B正确；
令，解得，则含的项的系数为，故C正确；
令，则r为偶数，此时，故6项有理项．故选：ABC
12．（2022春·湖北十堰·高二十堰东风高级中学校考阶段练习）某医院派出甲、乙、丙、丁4名医生到，，三家企业开展“新冠肺炎”防护排查工作，每名医生只能到一家企业工作，则下列结论正确的是（ ）
A．所有不同分派方案共种
B．若每家企业至少分派1名医生，则所有不同分派方案共36种
C．若每家企业至少派1名医生，且医生甲必须到企业，则所有不同分派方案共12种
D．若企业最多派1名医生，则所有不同分派方案共48种
【答案】BCD
【解析】选项A：所有不同分派方案共种.判断错误；
选项B：若每家企业至少分派1名医生，
先把4名医生分成3组（2人，1人，1人）再分配.
则所有不同分派方案共（种）.判断正确；
选项C：若每家企业至少派1名医生，且医生甲必须到企业，
则企业可以只有医生甲，也可以有医生甲和另一名医生，
则所有不同分派方案共（种）.判断正确；
选项D：若企业最多派1名医生，则企业可以有1名医生和没有医生两种情况,
则不同分派方案共（种）.判断正确.故选：BCD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．（2021春·湖南常德·高二校考阶段练习）已知的二项展开式中，所有二项式系数的和为256，则展开式中的常数项为___________.
【答案】1120
【解析】所有二项式系数的和为256,,,
则展开式的通项公式为，
令可得，展开式的常数项为.
14．（2022春·河北邯郸·高二大名县第一中学校考阶段练习）为了保障疫情期间广大市民基本生活需求，市政府准备了茄子、辣椒、白菜、角瓜、菜花、萝卜、黄瓜、土豆八种蔬菜，并从中任选五种，以“蔬菜包”的形式发给市民．若一个“蔬菜包”中不同时含有土豆和萝卜，且角瓜、黄瓜、辣椒最多只含有两种，则可以组成___________种不同的“蔬菜包”．
【答案】27
【解析】当土豆和萝卜都不含有时，蔬菜包的种数为；
当土豆和萝卜中只含有一种时，蔬菜包的种数为，
所以可以组成种不同“蔬菜包”种数为.
15．（2022春·广东佛山·高二校考阶段练习）已知的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则__________.
【答案】
【解析】由题意可得，在的展开式中，取，
即得.
16．（2022春·江苏·高二校联考期中）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种___________．（以数字作答）
【答案】72
【解析】按照使用颜色的种类分类，
第一类：使用了4种颜色，2,4同色，或3,5同色，则共有(种)，
第二类：使用了三种颜色，2,4同色且3,5同色，则共有(种)
所以共有48+24=72(种)
四、解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2022秋·广东深圳·高二深圳中学校考期末）（1）计算：；
（2）计算：．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）；
（2）因为，
所以
．
18．（2022秋·福建莆田·高二校考期末）在的展开式中，求：
（1）含的项；
（2）展开式中的常数项.
【答案】（1）；（2）240
【解析】（1）展开式中的第项为，
其中，令，可得，
故含的项为；
（2）令，可得，故展开式中常数项为.
19．（2022春·湖北十堰·高二十堰东风高级中学校考期中）如图，已知图形ABCDEF，内部连有线段.（列出过程，用数字作答）
（1）由点A沿着图中的线段到达点E的最近路线有多少条？
（2）由点A沿着图中的线段到达点C的最近路线有多少条？
（3）求出图中总计有多少个矩形？
【答案】（1）20；（2）175；（3）102
【解析】（1）由题意得A沿着图中的线段到达点E的最近路线需要移动6次,
向右移动3次,向上移动3次,
所以 A沿着图中的线段到达点E的最近路线有条.
（2）设点G、H、P的位置如图所示：
则点A沿着图中的线段到达点C的最近路线可分为4种情况：
①沿着A→E→C，共有条最近路线；
②沿着A→G→C，共有条最近路线；
③沿着A→H→C，共有条最近路线；
④沿着A→P→C，共有条最近路线；
故由点A沿着图中的线段到达点C的最近路线有条；
（3）由题意，要组成矩形则应从竖线中选出两条、横线中选出两条，可分为两种情况：
①矩形的边不在CD上，共有个矩形；
②矩形的一条边在CD上，共有个矩形；故图中共有个矩形.
20．（2022春·山东菏泽·高二菏泽一中校考阶段练习）名同学简记为、、、、、到甲、乙、丙三个场馆做志愿者
（1）一天上午有个相同的口罩全部发给这名同学，每名同学至少发两个口罩，则不同的发放方法种数？
（2）每名同学只去一个场馆，甲场馆安排名，乙场馆安排名，丙场馆安排名，则不同的安排方法种数？
（3）每名同学只去一个场馆，每个场馆至少要去一名，且、两人约定去同一个场馆，、不想去一个场馆，则满足同学要求的不同的安排方法种数？
【答案】（1）126种；（2）60种；（3）114种.
【解析】（1）个相同的口罩，每位同学先拿一个，剩下的个口罩排成一排有个间隙，
插入块板子分成6份，每一种分法所得6份给到6个人即可，
所以不同的发放方法种.
（2）求不同的安排方法分三步：人中选一人去甲场馆，
剩下的人中选人去乙场馆，最后剩下人去丙场馆，
所以不同的安排方法有 种.
（3）把视为一人，相当于把个人先分成三组，再分配给三个场馆，
分组方法有两类：
第一类，，，去掉在一组的情况，有()种分组方法，
再分配给三个场馆，有种方法，
第二类，，，去掉在一组的情况，有()种分组方法，
再分配给三个场馆，有种方法，
所以不同的安排方法有种方法.
21．（2023秋·辽宁营口·高二统考期末）在下面两个条件中任选一个，补充在问题中，并对其求解.
条件1：展开式第二项与第六项的二项式系数相等；
条件2：所有项的系数和为4096.
问题：在的展开式中，______.
（1）.求n的值及二项式系数最大的项；
（2）.若，求.
【答案】（1）选择条件见解析，；；（2）64
【解析】（1）设展开式的通项为：.
若选条件1，有；
若选条件2，令，有.
因展开式一共有7项，则二项式系数最大项为第4项，则.
（2）令，得.
22．（2023·全国·高三专题练习）6男4女站成一排，求满足下列条件的排法各有多少种？（用式子表达）
（1）男甲必排在首位；
（2）男甲、男乙必排在正中间；
（3）男甲不在首位，男乙不在末位；
（4）男甲、男乙必排在一起；
（5）4名女生排在一起；
（6）任何两个女生都不得相邻；
（7）男生甲、乙、丙顺序一定．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7），
【解析】（1）男甲必排在首位，则其他人任意排，故有种，
（2）男甲、男乙必排在正中间，则其他人任意排，故有种，
（3）男甲不在首位，男乙不在末位，利用间接法，故有种，
（4）男甲、男乙必排在一起，利用捆绑法，
把甲乙两人捆绑在一起看作一个复合元素和另外全排，故有种，
（5）4名女生排在一起，利用捆绑法，
把4名女生捆绑在一起看作一个复合元素和另外全排，故有种，
（6）任何两个女生都不得相邻，利用插空法，故有种，
（7）男生甲、乙、丙顺序一定，利用定序法，种.