高中数学苏教版 (2019)选择性必修第二册8.3 正态分布精品当堂达标检测题

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一、正态曲线及其性质
1、正态曲线：我们称，x∈R，其中μ∈R，σ>0时为参数，为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线．
2、正态分布：若随机变量X的概率分布密度函数为，则称随机变量X服从正态分布，记为．特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布．
3、正态分布的期望与方差：若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2.
4、正态曲线的特点：
（1）非负性：对∀x∈R，，它的图象在x轴的上方．
（2）定值性：曲线与x轴之间的面积为1.
（3）对称性：曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称．
（4）最大值：曲线在x＝μ处达到峰值.
（5）当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴．
（6）当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①.
（7）当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；σ较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图②.
5、正态分布的几何意义：若，如图所示，X取值不超过x的概率为图中区域A的面积，而为区域B的面积．
6、正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；P(u－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.
二、正态分布的应用（3σ原则）
解题时，应当注意零件尺寸应落在[μ－3σ，μ＋3σ]之内，否则可以认为该批产品不合格．判断的根据是小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的，而一旦发生了，就可以认为这批产品不合格．
题型一 正态曲线的图象与性质
【例1】（2023·江苏·高二专题练习）设随机变量的正态分布密度函数为，，则参数，的值分别是（ ）（人A7.5练习）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【解析】由正态分布密度函数表达式知，.故选：D.
【变式1-1】（2023·高二课时练习）某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（ ）（人A7.5练习）
A．越大，该物理量在一次测量中在的概率越大
B．越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C．越大，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D．越小，该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等
【答案】A
【解析】为数据的方差，所以越大，数据在均值附近越分散，
所以测量结果落在内的概率越小，故A错误;
由正态分布密度曲线对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5,故B正确；
由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量
结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C正确；
由正态分布密度曲线的对称性可知，
该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等,故D正确.故选：A.
【变式1-2】（2023·全国·高二专题练习）设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C．对任意正数， D．对任意正数，
【答案】C
【解析】由正态密度曲线的性质可知，
、的密度曲线分别关于、对称，
因此结合所给图像可得，；
又的密度曲线较的密度曲线“瘦高”，所以，
；故A、B错误．
由密度曲线与横轴所围成的图形的面积的意义可知：对任意正数，
．故C正确，D错误．故选：C．
【变式1-3】（2023·高二单元测试）已知三个正态密度函数（，）的图像如图所示，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解析】由题图中的对称轴知：，
与(一样)瘦高，而胖矮，所以.故选：C
题型二 利用正态分布的对称性求概率
【例2】（2023春·辽宁朝阳·高二北票市高级中学校考阶段练习）若服从正态分布，且，则的值为______.
【答案】8
【解析】由题意知，解得.
故答案为：8.
【变式2-1】（2023秋·山东德州·高二统考期末）已知随机变量X服从正态分布，且，，则______．
【答案】0.52/
【解析】由对称性可知，，故.
故答案为：0.52
【变式2-2】（2023春·山东青岛·高二校考期中）随机变量X服从正态分布，当，时，称随机变量X服从标准正态分布. 现已知随机变量Y服从正态分布. 若随机变量（a，b为正实数）服从标准正态分布，则________.
【答案】/
【解析】随机变量Y服从正态分布，所以，
因为随机变量（a，b为正实数）服从标准正态分布，
所以，
所以，.
即，解得，则.
故答案为：.
【变式2-3】（2023·全国·高二专题练习）重庆市奉节县所产脐橙果皮中厚、脆而易剥，酸甜适度，汁多爽口，余味清香，荣获农业部优质水果、中国国际农业博览会金奖等荣誉.据统计，奉节脐橙的果实横径X（单位：mm）服从正态分布，则果实横径在的概率为______.（附：若，则；.）
【答案】0.8185
【解析】由题得，，
所以，，
所以，
所以果实横径在的概率为.
题型三 正态分布的实际应用
【例3】（2023春·河南开封·高二统考期中）某市组织高二学生统一体检，其中男生有10000人，已知此次体检中高二男生身高h（cm）近似服从正态分布，统计结果显示高二男生中身高高于180cm的概率为0.32，则此次体检中，高二男生身高不低于170cm的人数约为（ ）
A．3200 B．6800 C．3400 D．6400
【答案】B
【解析】因为高二男生身高h（cm）近似服从正态分布，且，
于是，因此，
所以高二男生身高不低于170cm的人数约为.故选：B.
【变式3-1】（2023春·山东潍坊·高二山东省昌乐第一中学校考阶段练习）已知某地区有名同学参加某次数学模拟考试（满分分），其中考试成绩近似服从正态分布，则下列说法正确的是（ ）
（参考数据：①；②；③）
A．根据以上数据无法计算本次数学考试的平均分
B．的值越大，成绩不低于分的人数越少
C．若，则这次考试分数高于分的约有人
D．从参加考试的同学中任取人，至少有人的分数超过分的概率为
【答案】D
【解析】对A，根据正态分布知，数学考试成绩的平均值为，故A错误；
对B，根据中标准差的意义，
的值越大则高于分低于分的人数变小，
所以成绩不低分的人数增多，故B错误；
对于C，时，，
故这次考试分数高于分的约有人，故C错误；
对D，由数学考试成绩近似服从正态分布知，
由次独立重复试验可知，从参加考试的同学中任取人，
至少有人的分数超过分的概率为，故D正确，
故选：D.
【变式3-2】（2023·全国·高二专题练习）某车间生产一批零件，现从中随机抽取10个，测量其内径的数据如下（单位：）：192，192，193，197，200，202，203，204，208，209．设这10个数据的均值为，标准差为．
（1）求和；
（2）已知这批零件的内径（单位：）服从正态分布，若该车间又新购一台设备，安装调试后，试生产了5个零件，测量其内径（单位：）分别为：181，190，198，204，213，如果你是该车间的负责人，以原设备生产性能为标准，试根据原则判断这台设备是否需要进一步调试？并说明你的理由．
参考数据：若，则：，，
，．
【答案】（1），；（2）这台设备需要进一步调试，理由见解析
【解析】（1）,
，
故；
（2）由题意得：，
，即，
所以五个零件的内径中恰有1个不在的概率为
，
又试产的5个零件中内径出现了1个不在内，
所以小概率事件出现了，根据原则，这台设备需要进一步调试.
【变式3-3】（2023·高二课时练习）某食品厂生产一种零食，该种零食每袋的质量X（单位：）服从正态分布.
（1）当质检员随机抽检20袋该种零食时，测得1袋零食的质量为73，他立即要求停止生产，检查设备，请你根据所学知识，判断该质检员的决定是否有道理，并说明判断的依据.
（2）规定：这种零食的质量在62.8~69.4的为合格品.
①求这种零食的合格率；（结果精确到0.001）
②从该种零食中任意挑选n袋，合格品的袋数为Y，若Y的数学期望大于58，求n的最小值.
参考数据：若，则，，.
【答案】（1）该质检员的决定有道理，理由见解析；（2）① ；② 71
【解析】（1）因为，所以，，
所以，，
所以.
因为0.00135远小于，所以此事件应为小概率事件，
而质检员随机抽检20袋该种零食时，测得1袋零食的质量为73，
说明小概率事件确实发生了，因此他立即要求停止生产，
检查设备的决定有道理.
（2）①因为，，所以，，
由题意可知当零食质量X满足时为合格品，
所以这种零食的合格率为.
②由题意可知，
则，则，故n的最小值为71；
[注]在第（2）问第2小问中，若写为，则，
则，故n的最小值为71.
题型四 标准正态分布应用
【例4】（2023·高二课时练习）记（k，b为实常数），若，，则__________.
【答案】-3或3
【解析】由题知，，则随机变量（为实常数），
服从的分布为 ，
而又因为，所以有，解得或，
所以-3或3.
【变式4-1】（2022春·江苏盐城·高二滨海县五汛中学校考期中）（多选）若随机变量，，其中，下列等式成立的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】对于A选项，利用正态密度曲线的对称性可知，
所以，，A对；
对于B选项，，B错；
对于C选项，
，C对；
对于D选项，，D对.故选：ACD.
【变式4-2】（2023春·江苏常州·高二江苏省溧阳中学校考阶段练习）法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人，他每天都会到同一家面包店购买一个面包，该面包店的面包师声称自己所出售的面包的平均质量是1000g，上下浮动不超过50g，这句话用数学语言来表达就是：每个面包的质量服从期望为1000g，标准差为50g的正态分布.
（1）已知如下结论：若，从的取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量.利用该结论解决下面问题.
①假设面包师的说法是真实的，随机购买25个面包，记随机购买25个面包的平均值为，求；
②庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录，25天后，得到的数据都落在上并经计算25个面包质量的平均值为978.72g.庞加莱通过分析举报了该面包师，从概率角度说明庞加菜举报该面包师的理由；
（2）假设有两箱面包（面包除颜色外，其他都一样），已知第一箱中共装有6个面包，其中黑色面包有2个；第二箱中共装有8个面包，其中黑色面包有3个.现随机挑选一箱，然后从该箱中随机取出2个面包.求取出黑色面包个数的分布列及数学期望.
附：
①随机变量服从正态分布，则，，
②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生
【答案】（1）①；②答案见解析；（2）分布列见解析，
【解析】（1）（i）假设面包师说法是真实的，则每个面包的质量
由已知结论可知，
由附①数据知，
（ii），由附②知，事件“”为小概率事件，
由题25个面包质量的平均值，
小概率事件“”发生所以庞加莱认为面包师的说法不真实，进行了举报
（2）由题意，设随机挑选一箱，取出两个面包，其中黑色面包个数为，
则的取值为0，1，2
设“所取两个面包来自第箱”，所以
设“所取两个面包有各黑色面包”，由全概率公式
，
，
，
所以黑色面包个数的分布列为
所以
【变式4-3】（2023春·江苏南京·高二南京外国语学校校考期中）新高考改革后江苏省采用“”高考模式，“3”指的是语文、数学、外语，这三门科目是必选的；“1”指的是要在物理、历史里选一门；“2”指考生要在生物学、化学、思想政治、地理4门中选择2门.
（1）若按照“”模式选科，求甲乙两个学生恰有四门学科相同的选法种数；
（2）某教育部门为了调查学生语数外三科成绩，现从当地不同层次的学校中抽取高一学生4000名参加语数外的网络测试、满分450分，假设该次网络测试成绩服从正态分布.
①估计4000名学生中成绩介于180分到360分之间有多少人；
②某校对外宣传“我校200人参与此次网络测试，有10名同学获得425分以上的高分”，请结合统计学知识分析上述宣传语的可信度.
附：，，.
【答案】（1）；（2）①人；②不可信.
【解析】（1）甲乙两个学生必选语文、数学、外语，
若另一门相同的选择物理、历史中的一门，有种，
在生物学、化学、思想政治、地理4门中甲乙选择不同的2门，
则，即种；
若另一门相同的选择生物学、化学、思想政治、地理4门中的一门，
则有种，
所以甲乙两个学生恰有四门学科相同的选法种数共种方法.
（2）①设此次网络测试的成绩记为X，则，
由题知，，，，
则，
所以，
所以估计4000名学生中成绩介于180分到360分之间有人；②不可信.
，
则，
4000名学生中成绩大于420分的约有人，
这说明4000名考生中，也会出现约5人的成绩高于420分的“极端”样本，
所以说“某校200人参与此次网络测试，有10名同学获得425分以上的高分”，
说法错误，此宣传语不可信.0
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