数学选择性必修第二册第8章 概率本章综合与测试优秀课后练习题

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题型一 条件概率的性质及应用
【例1】（2023春·江苏无锡·高二江阴市华士高级中学校联考期中）在某地区进行流行病调查，随机调查了100名某种疾病患者的年龄，发现该100名患者中有30名的年龄位于区间内.已知该地区这种疾病的患病率为，年龄位于区间内人口占该地区总人口的.现从该地区任选一人，若此人年龄位于区间内，则此人患该疾病的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设此人年龄位于区间为事件A，此人患病为事件B.
则所求概率为.故选：C
【变式1-1】（2023春·云南曲靖·高二会泽县实验高级中学校校考阶段练习）2022年12月4日是第九个“国家宪法日”.某中学开展主题为“学习宪法知识，弘扬宪法精神”的知识竞赛活动，甲同学答对第一道题的概率为，连续答对两道题的概率为.用事件A表示“甲同学答对第一道题”，事件表示“甲同学答对第二道题”，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意，故选：
【变式1-2】（2023春·福建泉州·高二校考阶段练习）高二甲、乙两位同学计划端午假期从“韩阳十景”中挑个旅游景点：廉村孤树、龟湖夕照、南野桑、马屿香泉随机选择其中一个景点游玩，记事件甲和乙至少一人选择廉村孤树，事件甲和乙选择的景点不同，则条件概率__________．
【答案】
【解析】对于事件，甲和乙至少一人选择廉村孤树，
则其反面为“甲、乙两人均不选择廉村孤树”，所以，，
对于事件，甲和乙中只有一人选择廉村孤树，另一个人选择其它村，
所以，，
因此，所求概率为.
【变式1-3】（2023春·江苏南京·高二江苏省溧水高级中学校考期中）某学校高二1班有五名学生报名参加社团活动，社团活动共有“记者在线”、“机器人行动”、“音乐之声”三个项目，每人都要报名且限报其中一项．
（1）求“每个项目都有人报名”的报名情况种数；
（2）已知其中一项目恰只有三名学生报名，求只有甲同学一人报“记者在线”的概率.
【答案】（1）150；（2）
【解析】（1）“每个项目都有人报名”，则5名学生分三组，即人数分为3，1，1或2，2，1；
故此时报名情况有种.
（2）记事件为“其中一项目恰只有三名学生报名”，
事件为“只有甲同学一人报记者在线”，
事件为“其中一项目恰只有三名学生报名”，
报名情况有种，所以，
若同时发生，即其中一项目恰只有三名学生报名，
且只有甲同学一人报“记者在线”，则有种，
所以，所以.
【变式1-4】（2023春·山西太原·高二山西大附中校考期中）某校准备从报名的7位教师（其中男教师4人，女教师3人）中选3人去边区支教．
（1）设所选3人中女教师的人数为X，写出X的分布列，求X的数学期望及方差；
（2）若选派的三人依次到甲、乙、丙三个地方支教，求甲地是男教师的情况下，乙地为女教师的概率．
【答案】（1）分布列详见解析，，；（2）
【解析】（1）（1）X的所有可能取值为0，1，2，3，
且，，
，，
所以X的分布列为：
故，
（2）设事件A为“甲地是男教师”，事件B为“乙地是女教师”，
则，，
所以.
题型二 全概率公式与贝叶斯公式
【例2】（2023春·山西晋中·高二介休一中校考期中）假设有两箱零件，第一箱内装有10件，其中有2件次品：第二箱内装有20件，其中有3件次品，现从两箱中随意挑选一箱，然后从该箱中随机取1个零件，则取出的零件是次品的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设事件表示从第箱中取一个零件，事件B表示取出的零件是次品，
则，
即取出的零件是次品的概率为.故选：C.
【变式2-1】（2023春·北京·高二校考阶段练习）已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占，乙厂产品占，甲厂产品的合格率是，乙厂产品的合格率是，则从该地市场上买到一个合格产品的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】从某地市场上购买一个灯泡，设买到的灯泡是甲厂产品为事件，
买到的灯泡是乙厂产品为事件，记事件从该地市场上买到一个合格灯泡，
则，，，，
所以.故选：B.
【变式2-2】（2023春·河南开封·高二统考期中）某工厂有甲、乙两条生产线，甲生产线的优质品率为70%，乙生产线的优质品率为65%，两条生产线的产品统一进入包装车间进行包装.已知甲、乙两条生产线的产品数分别占总数的60%，40%.质检部门从包装好的产品中任取一个，则取到优质品的概率是______.
【答案】/
【解析】记任取一个产品为优质品为事件，
记产品由甲生产线生产为事件，产品由乙生产线生产为事件，
根据题意得，
因为，且互斥.
所以根据全概率公式可得，
.
故答案为：
【变式2-3】（2023春·高二课时练习）有甲、乙、丙三个厂家生产同种规格的产品，甲、乙、丙三个厂家生产的产品的合格率分别为、、，已知甲、乙、丙三个厂家生产的产品数所占比例为，将三个厂家生产的产品混放在一起，从混合产品中任取件．
（1）求这件产品为合格品的概率；
（2）已知取到的产品是合格品，问它是哪个厂生产的可能性最大？
【答案】（1）；（2）这件产品由丙厂生产的可能性最大
（2）计算出、、的值，比较大小后可得出结论.
【解析】（1）设事件表示取到的产品为合格品，
、、分别表示产品由甲、乙、丙厂生产．
则，且、、两两互斥，
由已知，，，
，，，
由全概率公式得.
（2）由贝叶斯公式得，
．
．
所以，，故这件产品由丙厂生产的可能性最大．
【变式2-4】（2023春·福建南平·高二校考阶段练习）某同学买了7个盲盒，每个盲盒中都有一个礼物，有4个装小兔和3个装小狗．
（1）依次不放回地从中取出2个盲盒，求第1次、第2次取到的都是小兔盲盒的概率；
（2）依次不放回地从中取出2个盲盒，求第2次取到的是小狗盲盒的概率．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）设事件“第次取到的是小兔盲盒”，．
∵，，
∴，
即第次、第次取到的都是小兔盲盒的概率为．
（2）设事件“第次取到的是小狗盲盒”，．
∵，，，
∴由全概率公式，可知第次取到的是小狗盲盒的概率为
．
【变式2-5】（2023春·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨德强学校校考阶段练习）三部机器生产同样的零件，其中机器甲生产的占，机器乙生产的占，机器丙生产的占.已知机器甲、乙、丙生产的零件分别有、和不合格，现从总产品中随机地抽取一个零件，求：
（1）它是不合格品的概率；
（2）若它是不合格品，则它是由哪一部机器生产出来的可能性大．（计算说明理由）
【答案】（1）；（2）它是由机器甲生产出来的可能性大，理由见解析
【解析】（1）设、、分别表示事件：任取的零件为甲、乙、丙机器生产的，
B表示事件：抽取的零件是不合格品，
由题意可知，，，
，，，
则
，
所以它是不合格品的概率为.
（2），
，
，
因为，
所以它是由机器甲生产出来的可能性大.
题型三 离散型随机变量的均值与方差
【例3】（2023春·河北邯郸·高二校考期中）甲､乙两人进行羽毛球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数，若的数学期望为，则（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【解析】随机变量可能的取值为2，3．
，
，
故的分布列为：
故，
由，解得或．故选：D．
【变式3-1】（2023春·湖北·高二校联考期中）已知随机变量的分布列如表，则的均值等于（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【解析】由，得，
则.故选：C
【变式3-2】（2023·江苏·高二专题练习）如果是离散型随机变量，，则下列结论中正确的是（ ）．
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【解析】因为，又，所以，，
则，.故选：D.
【变式3-3】（2023春·江苏无锡·高二江阴市华士高级中学校联考期中）（多选）已知随机变量的分布列如下表所示，且满足，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】依题意，解得，
所以的分布列为：
则，则；
所以的分布列为：
则，，
所以；故选：ACD.
【变式3-4】（2023·全国·高二专题练习）设离散型随机变量X的概率分布为，k=1，2，3，4，5．求，．
【答案】，
【解析】∵，
，
，
∴，
．
题型四 二项分布中的概率最值
【例4】（2023春·江苏南京·高二南京市雨花台中学校联考期中）某人投篮命中的概率为0.6，投篮14次，最有可能命中_______次．
【答案】8或9
【解析】投篮命中次数，
设最有可能命中次，则
，，或．
最有可能命中8或9次．
故答案为：8或9.
【变式4-1】（2023春·山东烟台·高二山东省招远第一中学校考期中）某人在次射击中击中目标的次数为，若，若最大，则__________
【答案】8
【解析】在次射击中击中目标的次数为，
当时对应的概率，
因为取值最大，所以，
即，
即，解得，
因为且，所以，即时概率最大．
故答案为：
【变式4-2】（2023春·山西太原·高二太原师范学院附属中学校考阶段练习）在一次以“二项分布的性质”为主题的数学探究活动中，金陵中学高二某小组的学生表现优异，发现的正确结论得到老师和同学们的一致好评．设随机变量，记，，1，2，…，n．在研究的最大值时，该小组同学发现：若为正整数，则时，，此时这两项概率均为最大值；若为非整数，当k取的整数部分，则是唯一的最大值．以此为理论基础，有同学重复投掷一枚质地均匀的骰子并实时记录点数1出现的次数，当投掷到第35次时，记录到此时点数1出现5次，若继续再进行65次投掷试验，则当投掷到第100次时，点数1一共出现的次数为______的概率最大．
【答案】15或16
【解析】继续再进行65次投掷实验，出现点数为1的次数X服从二项分布，
由，结合题中的结论可知，当或时概率最大．
即后面65次中出现11或10次点数1的概率最大，加上前面35次中的5次．
所以出现15或16次的概率最大．
故答案为：15或16
【变式4-3】（2023春·江西·高三校联考阶段练习）某医药企业使用新技术对某款血夜试剂进行试生产.
（1）在试产初期，该款血液试剂的I批次生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检.已知该款血夜试剂在生产中，前三道工序的次品率分别为.
①求批次I的血液试剂经过前三道工序后的次品率；
②第四道工序中智能自动检测为次品的血液试剂会被自动淘汰，合格的血液试剂进入流水线并由工人进行抽查检验.已知批次I的血液试剂智能自动检测显示合格率为，求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个血液试剂恰为合格品的概率（百分号前保留两位小数）；
（2）已知某批次血液试剂的次品率为，设100个血液试剂中恰有1个为不合格品的概率为，求的最大值点.
【答案】（1）①②；（2）
【解析】（1）①批次Ⅰ的血夜试剂经过前三道工序后的次品率为
②设批次Ⅰ的血夜试剂智能自动检测合格为事件A，人工抽检合格为事件B，
由已知得
则工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个血液试剂恰为合格品为事件，
.
（2）100个血液试剂中恰有1个不合格的概率
因此，
令，得，
当时，；当时.
所以的最大值为.
题型五 求二项分布的分布列
【例5】（2023春·山东烟台·高二统考期中）某精密仪器生产厂家计划对本厂工人进行技能考核，方案如下：每名工人连续生产出10件产品，若经检验后有不低于9件的合格产品，则将该工人技能考核评为合格等次，考核结束；否则，将不合格产品交回该工人，调试后经再次检验，若全部合格，则将该工人技能考核评为合格，考核结束，否则，将该工人技能考核评为不合格，需脱产进行培训．设工人甲生产或调试每件产品合格的概率均为，且生产或调试每件产品是否合格互不影响．
（1）求工人甲只生产10件产品即结束考核的概率；
（2）若X表示工人甲生产和调试的产品件数之和，求随机变量X的数学期望．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）设甲生产10件产品中合格品的件数为，则，
则，
所以甲只生产10件产品即结束考核的概率.
（2）由（1）可知：，，
可得随机变量的期望，
故，
由题意可得：，或，
则
，
故随机变量X的数学期望.
【变式5-1】（2023·云南昆明·昆明市第三中学校考模拟预测）某商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放10个大小相同的小球，其中5个为红色，5个为白色.抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球.如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖.
（1）若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求中奖次数的分布列和数学期望.
（2）若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，求中奖次数的分布列和数学期望.
（3）如果你是商场老板，如何在上述问两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由.
【答案】（1）分布列答案见解析，数学期望：；（2）分布列答案见解析，数学期望：
（3）答案见解析
【解析】（1）若第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，
则每次中奖的概率为，
因为两次抽奖相互独立，所以中奖次数服从二项分布，即，
所以的所有可能取值为，则
，
，
所以的分布列为
所以的数学期望为.
（2）若第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，
中奖次数的所有可能取值为，
则，
，
，
所以的分布列为
所以的数学期望为.
（3）因为（1）（2）两问的数学期望相等，
第（1）问中两次奖的概率比第（2）问的小，即，
第（1）不中奖的概率比第问小，即，
回答一：若商场老板希望中两次奖的顾客多，产生宣传效应，
则选择按第（2）问方式进行抽.
回答二：若商场老板希望中奖的顾客多，则选择按第（1）问方式进行抽奖.
【变式5-2】（2023春·江苏南京·高二南京市第十三中学校考阶段练习）一盒子中有8个大小完全相同的小球，其中3个红球，4个白球，1个黑球.
（1）若不放回地从盒中连续取两次球，每次取一个，求在第一次取到红球的条件下，第二次也取到红球的概率；
（2）若从盒中有放回的取球3次，求取出的3个球中白球个数的分布列和数学期望.
【答案】（1）；（2）分布列见解析，数学期望为.
【解析】（1）设事件A=“第一次取到红球”，事件B=“第二次取到红球”，
由于是不放回地从盒中连续取两次球，每次取一个，
所以第一次取球有8种方法，第二次取球是7种方法，一共的基本事件数是56，
由于第一次取到红球有3种方法，第二次取球是7种方法，，
一次取到红球有3种方法，第二次取到红球有2种方法，，
;
（2）由题可知白球个数，且有，
，
故的分布列为：
所以的数学期望为：.
【变式5-3】（2023·全国·高二专题练习）新疆棉以绒长、品质好、产量高著称于世．现有两类以新疆长绒棉为主要原材料的均码服装，A类服装为纯棉服饰，成本价为120元/件，总量中有30%将按照原价200元/件的价格销售给非会员顾客，有50%将按照8.5折的价格销售给会员顾客．B类服装为全棉服饰，成本价为160元/件，总量中有20%将按照原价300元/件的价格销售给非会员顾客，有40%将按照8.5折的价格销售给会员顾客．这两类服装剩余部分将会在换季促销时按照原价6折的价格销售给顾客，并能全部售完．
（1）设A类服装单件销售价格为元，B类服装单件销售价格为元，分别写出两类服装单件销售价格的分布列，并通过计算比较这两类服装单件收益的期望（收益=售价-成本）的大小；
（2）某服装专卖店店庆当天，全场A，B两类服装均以会员价销售，假设每位来店购买A，B两类服装的顾客只选其中一类购买，每位顾客限购1件，且购买了服装的顾客中购买A类服装的概率均为．已知该店店庆当天这两类服装共售出5件，设X为该店当天所售服装中B类服装的件数，若，求n的所有可能取值．
【答案】（1）分布列见解析，B类服装单件收益的期望大；（2）n可取的值为0，1，2．
【解析】（1）依题意，的可能值为200，170，120，
，
的分布列为：
的期望，
的可能值为300，255，180，
，
的分布列为：
的期望，
设A类服装、B类服装的单件收益分别为元，元，
则，，
（元），（元），，
所以B类服装单件收益的期望大.
（2）依题意，的可能值为0，1，2，3，4，5，显然，
，，，
，，，
因为，，
所以当时，n可取的值为0，1，2．
【变式5-4】（2023·高二课时练习）食品安全问题越来越受到人们的重视，某超市在某种蔬菜进货前，要求食品安检部门对每箱蔬菜进行三轮各项指标的综合检测，只有三轮检测都合格，蔬菜才能在该超市销售．已知每箱这种蔬菜第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，第三轮检测合格的概率为，每轮检测只有合格与不合格两种情况，且各轮检测是否合格相互之间没有影响．
（1）求每箱这种蔬菜不能在该超市销售的概率；
（2）如果这种蔬菜能在该超市销售，则每箱可获利400元，如果不能在该超市销售，则每箱亏损200元，现有4箱这种蔬菜，求这4箱蔬菜总收益的分布列．
【答案】（1）；（2）答案见解析
【解析】（1）记Ai(i＝1，2，3)分别为事件“第一、二、三轮检测合格”，
A为事件“每箱这种蔬菜不能在该超市销售”．
由题设知P(A1)＝1－＝，P(A2)＝1－＝，P(A3)＝，
所以P(A)＝1－P(A1)P(A2)P(A3)＝1－××＝．
（2）设这4箱蔬菜的总收益为随机变量X，
则X的所有可能取值为1600，1000，400，－200，－800，
且P(X＝1 600)＝，
P(X＝1 000)＝，P(X＝400)＝，
P(X＝－200)＝，P(X＝－800)＝．
故X的分布列为
题型六 求超几何分布的分布列
【例6】（2023春·山东烟台·高二莱州市第一中学校考阶段练习）在全民抗击新冠疫情期间，某校开展了“停课不停学”活动，一个星期后，某校随机抽取了100名居家学习的高二学生进行问卷调查，得到学生每天学习时间(单位：)的频率分布直方图如下，若被抽取的这100名学生中，每天学习时间不低于8小时有30人.
（1）求频率分布直方图中实数的值；
（2）每天学习时间在的7名学生中，有4名男生，3名女生，现从中抽2人进行电舌访谈，已知抽取的学生有男生，求抽取的2人恰好为一男一女的概率；
(3)依据所抽取的样本，从每天学习时间在和的学生中按比例分层抽样抽取8人，再从这8人中选3人进行电话访谈，求抽取的3人中每天学习时间在的人数分布和数学期望.
【答案】（1），；（2）；（3）分布列详见解析，数学期望为
【解析】（1）.
，解得.
（2）已知抽取的学生有男生，
则抽取的2人恰好为一男一女的概率为.
（3）每天学习时间在和的学生比例为，
所以在的学生中抽取人，在的学生中抽取人.
再从这8人中选3人进行电话访谈，
抽取的3人中每天学习时间在的人数的取值为，
，，，
所以的分布列如下：
数学期望.
【变式6-1】（2023春·黑龙江齐齐哈尔·高二齐齐哈尔市第八中学校校考期中）某产品按照产品质量标准分为1等品、2等品、3等品、4等品四个等级．某采购商从采购的产品中随机抽取100个，根据产品的等级分类标准得到下面柱状图：
（1）若将频率视为概率，从采购的产品中有放回地随机抽取3个，求恰好有1个4等品的概率；
（2）按分层抽样从这100个产品中抽取10个．现从这10个产品中随机抽取3个，记这3个产品中1等品的数量为，求的分布列及数学期望．
【答案】（1）；（2）分布列见解析；期望为
【解析】（1）从采购的产品中有放回地随机抽取3个，记4等品的数量为，
由已知取1个产品为4等品的概率为，
依题意，，则，
即恰好有1个4等品的概率为；
（2）分层抽样从这100个产品中抽取10个产品中，
1等品的有个，非1等品的有个，
依题意，0，1，2，3，
，，
，，
则的分布列为：
．
【变式6-2】（2023春·浙江·高二校联考期中）某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机的选择一家餐厅用餐.如果第一天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6，如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8.
（1）计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率；
（2）王同学某次在A餐厅就餐，该餐厅提供5种西式点心，n种中式点心，王同学从这些点心中选择三种点心，记选择西式点心的种数为，求n的值使得最大.
【答案】（1）；（2）或
【解析】（1）设“第1天去餐厅用餐”，“第1天去餐厅用餐”，
“第2天去餐厅用餐”，
根据题意得，，，
由全概率公式，得：，
所以，王同学第2天去餐厅用餐的概率为.
（2）由题意，的可能取值有：，
由超几何分布可知，
令，
又，所以，可得，解得，
易知当和时，的值相等，
所以当或时，有最大值为，
即当的值为或时，使得最大.
【变式6-3】（2023·全国·高二专题练习）2022年底，新冠病毒肆虐全国，很多高三同学也都加入羊羊行列．某校参加某次大型考试时采用了线上考试和线下考试两种形式．现随机抽取200名同学的数学成绩做分析，其中线上人数占40%，线下人数占60%，通过分别统计他们的数学成绩得到了如下两个频率分部直方图：
其中称为合格，称为中等，称为良好，称为优秀，称为优异．
（1）根据频率分布直方图，求这200名学生的数学平均分（同一组数据可取该组区间的中点值代替）；
（2）现从这200名学生中随机抽取一名同学的数学成绩为良好，试分析他是来自线上考试的可能性大，还是来自线下考试的可能性大．
（3）现从样本中线下考试的学生中随机抽取10名同学，且抽到k个学生的数学成绩为中等的可能性最大，试求k的值．
【答案】（1）分；（2）来自线下考试的可能性大，理由见解析；（3）.
【解析】（1）线上同学平均分分；
线下同学平均分分；
又200名同学，线上人数占40%，线下人数占60%，
所以所有200名同学的平均分分.
（2）线上同学成绩良好人数为人，
线下同学成绩良好人数为人，
所以抽取数学成绩为良好，且，故线下的可能性大.
（3）由线下成绩中等同学人数为人，其它同学人，
所以从线下学生中随机抽取10名同学，
抽到k个学生的成绩为中等的概率，且，
要使最大，则，
即，所以，
则，故.
题型七 正态分布对称性的应用
【例7】（2023春·河南郑州·高二郑州市第二高级中学校考阶段练习）在某项测试中，测量结果服从正态分布，若，则（ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
【答案】B
【解析】由题意可知，变量所作的正态曲线关于直线对称，
则，，
故.故选：B.
【变式7-1】（2023春·河北·高二校联考期中）（多选）在某次数学测试中，学生的成绩，则（ ）
A． B．若越大，则越大
C． D．
【答案】AC
【解析】因为，所以，A正确；
当时，，当时，，B不正确；
因为，所以，C正确；
根据正态曲线的对称性，D不正确.故选：AC.
【变式7-2】（2023春·山东滨州·高二统考期中）某超市热销的一种袋装面粉质量X（单位：kg）服从正态分布且满足，若从该超市中任意抽取一袋这种面粉，则其质量在kg之间的概率为_________.
【答案】/
【解析】由于袋装面粉质量X（单位：kg）服从正态分布且满足，
故，则，
故从该超市中任意抽取一袋这种面粉，
则其质量在kg之间的概率为，
故答案为：
【变式7-3】（2022·高二单元测试）“世界杂交水稻之父”袁隆平发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系．某水稻种植研究所调查某地杂交水稻的株高，得出株高（单位：cm）服从正态分布，其分布密度函数，，则（ ）
A．该地杂交水稻的平均株高为100cm
B．该地杂交水稻株高的方差为10
C．该地杂交水稻株高在120cm以上的数量和株高在80cm以下的数量一样多
D．随机测量该地的一株杂交水稻，其株高在和在的概率一样大
【答案】AC
【解析】因为正态分布密度函数为，
所以，，即均值为100，标准差为10，方差为100，故A正确，B错误；
根据正态曲线的特征可知函数关于轴对称，
故该地杂交水稻株高在120cm以上的数量和株高在80cm以下的数量一样多，C正确，
随机测量该地的一株杂交水稻，其株高在和在的概率一样大.故D错误．
故选：AC.
【变式7-4】（2021春·陕西渭南·高二统考期末）某校统计了高三年级全体学生利用假期参加社会实践活动的时间X（单位：小时）.根据统计发现X近似服从正态分布，且，该校高三年级学生利用假期参加社会实践活动的时间在的人数为1600，估计该校高三年级的学生人数为______.
【答案】2000
【解析】X近似服从正态分布，故，
，
估计该校高三年级的学生人数为.
【变式7-5】（2023·江苏·高二专题练习）已知随机变量，且正态分布密度函数在上是严格增函数，在上是严格减函数，．
（1）求参数、的值；
（2）求．（结果精确到0.01%）
【答案】（1），；（2）
【解析】（1）由题意得，正态曲线关于直线对称，即参数．
又，结合，可知．
（2）．
因为，
所以，可得．
又因为，
所以．
所以．
题型八 正态分布的综合应用
【例8】（2023春·山东烟台·高二统考期中）全面建设社会主义现代化国家，最艰巨最繁重的任务仍然在农村，强国必先强农，农强方能国强．某市为了解当地农村经济情况，随机抽取该地2000户农户家庭年收入x（单位：万元）进行调查，并绘制得到如下图所示的频率分布直方图．
（1）求这2000户农户家庭年收入的样本平均数和样本方差（同一组的数据用该组区间中点值代表）．
（2）由直方图可认为农户家庭年收入近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．
①估计这2000户农户家庭年收入超过9.52万元（含9.52）的户数？（结果保留整数）
②如果用该地区农户家庭年收入的情况来估计全市农户家庭年收入的情况，现从全市农户家庭中随机抽取4户，即年收入不超过9.52万元的农户家庭数为，求．（结果精确到0.001）
附：①；②若，则，；③．
【答案】（1），；（2）①317户；②
【解析】（1）这2000户农户家庭年收入的样本平均数.
这2000户农户家庭年收入的样本方差
.
（2）①农户家庭年收入近似服从正态分布.
因为，所以.
因为，
所以这2000户农户家庭年收入超过9.52万元（含9.52）的户数为317.
②年收入不超过9.52万元的农户家庭数服从二项分布.
所以.
【变式8-1】（2021春·江苏扬州·高二统考期末）2020年10月，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》，各地各校积极开展中小学健康促进行动，发挥以体育智、以体育心功能.某中学初三年级对全体男生进行了立定跳远测试，计分规则如下表：
该年级组为了了解学生的体质，随机抽取了100名男生立定跳远的成绩，得到如下频率分布直方图.
（1）现从这100名男生中，任意抽取2人，求两人得分之和不大于7.5分的概率（结果用最简分数表示）；
（2）若该校初三年级所有男生的立定跳远成绩服从正态分布.现在全年级所有初三男生中任取3人，记立定跳远成绩在215厘米以上（含215厘米）的人数为5，求随机变量5的分布列和数学期望；
（3）若本市25000名初三男生在某次测试中的立定跳远成绩服从正态分布.考生甲得知他的实际成绩为223厘米，而考生乙告诉考生甲：“这次测试平均成绩为210厘米，218厘米以上共有570人”，请结合统计学知识帮助考生甲辨别考生乙信息的真伪.
附：若随机变量服从正态分布，则，，.
【答案】（1）；（2）分布列见解析，；（3）答案见解析.
【解析】（1）现从样本的100名学生中，任意选取2人，两人得分之和不大于7.5分，
即两人得分均为3.5分，或两人中1人3.5分，1人4分，
由题意知：得3.5分的分数为6人，得4分的人数为9人，
所以两人得分之和不大于7.5分的概率为：.
（2）依题意，得
∴，∴
∴，
，
∴的分布列为：

（3）假设考生乙所说为真，则，
，
而，所以，
从而，
而，
所以为小概率事件，即甲同学的成绩为223厘米是小概率事件，
可为其不可能发生，但却又发生了，所以可认为乙同学所说为假
【变式8-2】（2023·全国·模拟预测）为了更好地做好个人卫生，某市卫生组织对该市市民进行了网络试卷竞答，制定奖励规则如下：试卷满分为100分，成绩在分内的市民获二等奖，成绩在分内的市民获一等奖，其他成绩不得奖．随机抽取了50名市民的答题成绩，并以此为样本绘制了如下样本频率分布直方图．
（1）现从该样本中随机抽取2名市民的成绩，求这2名市民中恰有1名市民获奖的概率．
（2）若该市所有市民的答题成绩X近似服从正态分布，其中，为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题：
①若该市某小区有3000名市民参加了试卷竞答，试估计成绩不低于93分的市民数（结果四舍五入到整数）；②若从该市所有参加了试卷竞答的市民中（参加试卷竞答市民数大于300000）随机抽取4名市民进行座谈，设其中竞答成绩不低于69分的市民数为，求随机变量的分布列和数学期望．
附：若随机变量X服从正态分布，则，，．
【答案】（1）；（2）①该市某小区参加试卷竞答成绩不低于93分的市民数约为68；
②分布列见解析，2
【解析】（1）由样本频率分布直方图，得样本中获一等奖的有（人），
获二等奖的有（人），所以有8人获奖，42人没有获奖．
从该样本中随机抽取2名市民的成绩，样本点总数为．
设抽取的2名市民中恰有1名市民获奖为事件A，
则事件A包含的样本点的个数为．
由古典概型概率计算公式，得，
所以抽取的2名市民中恰有1名市民获奖的概率为．
（2）由样本频率分布直方图，得样本平均数的估计值
．
故该市所有参加试卷竞答的市民成绩X近似服从正态分布．
①因为，所以．
，故该市某小区参加试卷竞答成绩不低于93分的市民数约为68．
②由，得，
即从该市所有参加试卷竞答的市民中随机抽取1名市民，
其成绩不低于69分的概率为，所以随机变量．
随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，4．
，，
，，
，
随机变量的分布列如下：
所以．
【变式8-3】（2023·山西朔州·统考二模）2022年河南､陕西､山西､四川､云南､宁夏､青海､内蒙古8省区公布新高考改革方案，这8省区的新高中生不再实行文理分科，今后将采用“3+1+2”高考模式.“3+1+2”高考模式是指考生总成绩由全国统一高考的语文､数学､外语3个科目成绩和考生选择的3科普通高中学业水平选择性考试科目成绩组成，满分为750分.“3”是三门主科，分别是语文､数学､外语，这三门科目是必选的；“1”指的是要在物理､历史里选一门，按原始分计入成绩；“2”指考生要在生物学､化学､思想政治､地理4门中选择2门，但是这几门科目不以原始分计入成绩，而是等级赋分.
（1）若按照“3+1+2”模式选科，求选出的六科中含有“语文，数学，外语，历史，地理”的概率；
（2）某教育部门为了调查学生语数外三科成绩与选科之间的关系，现从当地不同层次的学校中抽取高一学生4000名参加语数外的网络测试､满分450分，并给前640名颁发荣誉证书，假设该次网络测试成绩服从正态分布.
①考生甲得知他的成绩为260分，考试后不久了解到如下情况：“此次测试平均成绩为210分，290分以上共有91人”，问甲能否获得荣誉证书，请说明理由；
②考生丙得知他的实际成绩为425分，而考生乙告诉考生丙：“这次测试平均成绩为240分，360分以上共有91人”，请结合统计学知识帮助丙同学辨别乙同学信息的真伪.
附：，，.
【答案】（1）；（2）①甲同学能够获得荣誉证书，理由见解析；②答案见解析
【解析】（1）设事件：选出的六科中含有“语文，数学，外语，历史，地理”，
从物理､历史里选一门，生物学､化学､思想政治､地理4门中选择2门的方案
有种等可能情况，
事件即从剩余生物学､思想政治､化学三个科目中选择一个
有种等可能情况，
所以.
（2）设此次网络测试的成绩.
①由题意可知，
因为，且，
即，，
所以.而，
，
所以前640名学生成绩的最低分低于，
而考生甲的成绩为260分，所以甲同学能够获得荣誉证书.
②（结果是开放的，只要学生的统计理由充分，即可得分，以下两种理由供参考）
若考生乙所说为真，则，
，
而，所以，
从而.
理由1：根据统计学中的原则，即认为为小概率事件，
即丙同学的成绩为425分是小概率事件，可认为其不可能发生，
但却又发生了，所以可认为乙同学所说为假.
理由2：，
4000名学生中成绩大于420分的约有人，
这说明4000名考生中，也会出现约5人的成绩高于420分的“极端”样本，
由于样本的随机性，丙同学的成绩为425分也有可能发生，
所以可认为乙同学所说为真.
【变式8-4】（2023春·江苏南京·高三南京师范大学附属中学江宁分校校联考阶段练习）某学校为了了解高一学生安全知识水平，对高一年级学生进行“消防安全知识测试”，并且规定“体能达标”预测成绩小于60分的为“不合格”，否则为“合格”．若该校“不合格”的人数不超过总人数的，则该年级知识达标为“合格”；否则该年级知识达标为“不合格”，需要重新对该年级学生进行消防安全培训．现从全体高一学生中随机抽取10名，并将这10名学生随机分为甲、乙两个组，其中甲组有6名学生，乙组有4名学生．甲组的平均成绩为70，标准差为4；乙组的平均成绩为80，标准差为6（题中所有数据的最后结果都精确到整数）．
（1）求这10名学生测试成绩的平均分和标准差；
（2）假设高一学生的知识测试成绩服从正态分布．将上述10名学生的成绩作为样品，用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值．利用估计值估计：高一学生知识达标是否“合格”？
（3）已知知识测试中的多项选择题中，有4个选项．小明知道每道多项选择题均有两个或三个正确选项．但根据得分规则：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．这样，小明在做多项选择题时，可能选择一个选项，也可能选择两个或三个选项，但不会选择四个选项．假设小明在做该道多项选择题时，基于已有的解题经验，他选择一个选项的概率为，选择两个选项的概率为，选择三个选项的概率为．已知该道多项选择题只有两个正确选项，小明完全不知道四个选项的正误，只好根据自己的经验随机选择．记表示小明做完该道多项选择题后所得的分数．求的分布列及数学期望．
附：①个数的方差；
②若随机变量服从正态分布，则，，．
【答案】（1）；；（2）能；（3）分布列见解析；．
【解析】（1），
，解得，
，解得，
这40名学生的方差为
，
．
（2）由，，得的估计值，的估计值，
，
，
从而高三年级1000名学生中，不合格的有（人），
又，所以高三年级学生体能达标为“合格”．
（3）由题意得，的可能取值为0，2，5，
，，
，
的分布列为
．X
0
1
2
3
P
2
3
0
1
2
3
－1
0
2
P
0
2
P
0
1
2
0
1
2
0
1
2
3
200
170
120
P
0.3
0.5
0.2
300
255
180
P
0.2
0.4
0.4
X
1 600
1 000
400
－200
－800
P





0
1
2
3
立定跳远（厘米）
得分
3.5
4
4.5
5
5.5
6
0
1
2
3
0
1
2
3
4
P
0
2
5