苏教版 (2019)选择性必修第二册9.1线性回归分析优秀综合训练题

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一、变量的相关关系
1、相关关系：两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系；
2、散点图：将样本中n个数据点（）描在平面直角坐标系中得到的统计图叫做散点图，是描述成对数据之间关系的一种直观方法；
3、正相关与负相关：如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，我们就称这两个变量正相关；如果当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则称这两个变量负相关；
4、线性相关：一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们称这两个变量线性相关；
5、非线性相关与曲线相关：如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关；
二、相关关系与函数关系的异同
1、相同点：两者均是指两个变量之间的关系；
2、不同点：（1）函数关系是一种确定的关系，如匀速直线运动中时间t与路程s的关系；相关关系是一种不确定的关系，如一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系；事实上，函数是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系；
（2）函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系。
三、样本相关系数
1、样本相关系数：设由变量x和y获得的两组数据分别为和（i=1，2，…，n），其对应关系如下表所示：
两组数据和的线性相关系数是度量两个变量x与y之间线性相关程度的统计量，
其计算公式为，
其中，，，它们分别是这两组数据的算术平均数．
2、相关系数r的性质
（1）；
（2）时，与呈正相关关系；
时，与呈负相关关系
（3）越接近1，与的相关程度越强；
越接近0，与的相关程度越弱.
通常情况下，时，认为线性相关关系显著；
当时，认为几乎没有线性相关关系。
题型一 相关关系与函数关系
【例1】（2023·江苏·高二专题练习）对于给定的两个变量的统计数据，下列说法正确的是__________．（填序号）
①都可以分析出两个变量的关系；
②都可以用一条直线近似地表示两者的关系；
③都可以作出散点图；
④都可以用确定的表达式表示两者的关系．
【变式1-1】（2022春·甘肃兰州·高二统考期中）有下列关系：
①人的年龄与他（她）拥有的财富之间的关系；
②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；
③苹果的产量与气候之间的关系；
④森林中的同一种树木，其横断面直径与高度之间的关系，
其中有相关关系的是（ ）
A．①②③ B．①② C．②③ D．①③④
【变式1-2】（2023·江苏·高二专题练习）下列两个量之间的关系是相关关系的是（ ）
A．匀速直线运动中时间与位移的关系 B．学生的成绩和身高
C．儿童的年龄与体重 D．物体的体积和质量
【变式1-3】（2022·高二课时练习）下列语句表示的事件中的因素不具有相关关系的是（ ）
A．瑞雪兆丰年 B．名师出高徒
C．不积跬步，无以至千里 D．喜鹊叫喜，乌鸦叫丧
题型二 由散点图判断相关关系
【例2】（2022·高二课时练习）有五组变量：①汽车的重量和汽车每消耗升汽油所行驶的平均路程；②平均日学习时间和平均学习成绩；③某人每日吸烟量和身体健康情况；④圆的半径与面积；⑤汽车的重量和每千米耗油量.其中两个变量成正相关的是（ ）
A．①③ B．②④ C．②⑤ D．④⑤
【变式2-1】（2022·高二课时练习）某商家今年上半年各月的人均销售额（单位：千元）与利润率统计表如下：
根据表中数据，下列说法正确的是（ ）
A．利润率与人均销售额成正相关关系
B．利润率与人均销售额成负相关关系
C．利润率与人均销售额成正出例函数关系
D．利润率与人均销售额成反比例函数关系
【变式2-2】（2023春·陕西咸阳·高二校考阶段练习）对变量、由观测数据得散点图，对变量、由观测数据得散点图.由这两个散点图可以判断（ ）
A．变量与负相关，与正相关
B．变量与负相关，与负相关
C．变量与正相关，与正相关
D．变量与正相关，与负相关
【变式2-3】（2023·高二课时练习）如下四个散点图中，正相关的是（ ）
A． B．
C． D．
题型三 相关系数的理解与判断
【例3】（2023春·陕西咸阳·高二武功县普集高级中学校考阶段练习）对于样本相关系数，下列说法错误的是（ ）
A．样本相关系数可以用来判断成对样本数据相关的正负性
B．样本相关系数可以是正的，也可以是负的
C．样本相关系数
D．样本相关系数越大，成对样本数据的线性相关程度也越强
【变式3-1】（2023春·高二单元测试）对两个变量与进行回归分析，分别选择不同的模型，它们的相关系数如下，其中拟合效果最好的模型是（ ）
①模型Ⅰ的相关系数为； ②模型Ⅱ的相关系数为；
③模型Ⅲ的相关系数为； ④模型Ⅳ的相关系数为；
A．Ⅰ B．Ⅱ C．Ⅲ D．Ⅳ
【变式3-2】（2023·高二课时练习）在一次试验中，测得的五组数据分别为，，，，，去掉一组数据后，下列说法正确的是（ ）
A．样本数据由正相关变成负相关 B．样本的相关系数不变
C．样本的相关性变弱 D．样本的相关系数变大
【变式3-3】（2023·高二课时练习）对四组数据进行统计，依次获得如图所示的散点图．
关于其相关系数的大小比较，将0、、、、从小到大排列，应为______．
题型四 相关系数的计算与应用
【例4】（2022·高二课时练习）在一次试验中，测得的四组值分别为，则与的相关系数为（ ）
A． B． C．0 D．
【变式4-1】（2021春·陕西咸阳·高二校考阶段练习）若已知是的两倍，是的1.2倍，则相关系数r的值为（ ）
A． B． C．0.92 D．0.65
【变式4-2】（2023春·陕西西安·高二校联考阶段练习）已知某个样本点中的变量x、y线性相关，相关系数，则在以为坐标原点的坐标系下的散点图中，大多数的点都落在第_____象限．
【变式4-3】（2023春·高二课时练习）下表是弹簧伸长的长度x（cm）与拉力值y（N）的对应数据：
（1）求相关系数（保留两位小数）；
（2）通过相关系数说明y与x是否高度相关．（若，则认为y与x是高度相关的）
附：，，．变量x
…
变量y
…
月份
人均销售额
利润率
长度x（cm）
1
2
3
4
5
拉力值y（N）
3
7
8
10
12