高中数学苏教版 (2019)选择性必修第二册9.1线性回归分析优秀习题

这是一份高中数学苏教版 (2019)选择性必修第二册9.1线性回归分析优秀习题，文件包含912线性回归方程原卷版docx、912线性回归方程解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共29页， 欢迎下载使用。

一、线性回归方程
1、随机误差
具有线性相关关系的两个变量的取值，，的值不能由完全确定，它们之间是统计相关关系，可将，之间的关系表示为，其中是确定性函数，称为随机误差。
2、随机误差产生的主要原因
（1）所用的确定性函数不恰当引起的误差；
（2）忽略了某些因素的影响；
（3）存在观测误差。
3、线性回归模型中，的求法
称为线性回归模型，，，的估计值为，，则
其中，
4、回归直线和线性回归方程
直线称为回归直线，此直线方程称为线性回归方程，称为回归截距，称为回归斜率，称为回归值。
二、常见的非线性函数转换方法
1、幂型函数y＝axm(a为正数，x，y取正值)
对y＝axm两边取常用对数，有lg y＝lg a＋mlg x，
令u＝lg y，v＝lg x，则原式可变为u＝mv＋lg a，其中m，lg a为常数，
该式表示u，v的线性函数.
2、指数型函数y＝c·ax(a，c>0，且a≠1):
对y＝cax两边取常用对数，则有lg y＝lg c＋xlg a，
令u＝lg y，则原式可变为u＝xlg a＋lg c，其中lg a和lg c为常数，
该式表示u，x的线性函数.与幂函数不同的是x保持不变，用y的对数lg y代替了y.
3、反比例函数y＝ (k>0)：令u＝，则y＝ku，该式表示y，u的线性函数.
4、二次函数y＝ax2＋c：令u＝x2，则原函数可变为y＝au＋c，该式表示y，u的线性函数.
5、对数型函数y＝clgax：令x＝au，则原函数可变为y＝cu，该式表示y，u的线性函数.
题型一 线性回归方程的意义
【例1】（2023·高二课时练习）如图是某地区2012年至2021年的空气污染天数Y（单位：天）与年份X的折线图．根据2012年至2016年的数据，2017年至2021年的数据，2012年至2021年的数据分别建立线性回归模型，，，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解析】记三条回归直线分别为，，，
画出这三条回归直线的大致图象，如图所示，
由图可知这三条回归直线的斜率大小关系为，
截距大小关系为．故选：C.
【变式1-1】（2023·高二课时练习）根据如下样本数据，得到的线性回归方程为，则（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【解析】由表格可以得出随增大而减小，故，
又
故过点，代入可得.故选：B.
【变式1-2】（2023·高二课时练习）根据如下样本数据，得到线性回归方程为，若样本点的中心为，则当X每增加1个单位时，Y平均（ ）
A．增加1.4个单位 B．减少1.4个单位
C．增加7.9个单位 D．减少7.9个单位
【答案】B
【解析】样本点的中心为，则，
故，且，解得，，则，
可知当X每增加1个单位时，Y平均减少1.4个单位．故选：B．
【变式1-3】（2023·高二课时练习）（多选）关于回归分析，下列说法正确的是（ ）
A．回归分析是研究两个具有相关关系的变量的方法
B．运用最小二乘法求得的回归直线一定经过样本中心
C．回归模型中一定存在随机误差
D．散点图能明确反映变量问的关系
【答案】ABC
【解析】对于A，回归分析是研究两个具有相关关系的变量的方法，所以A正确，
对于B，运用最小二乘法求得的回归直线一定经过样本中心，所以B正确，
对于C，因为相关关系是一种非确定关系，所以回归模型中一定存在随机误差，
所以C正确，
对于D，散点图反映的是两个变量间的关系，存在误差，所以D错误，故选：ABC
【变式1-4】（2023·高二课时练习）已知由样本数据点集合，求得的回归直线方程为，且，现发现两个数据点和的误差较大，去除后重新求得的回归直线 l 的斜率为1.2，则下列说法正确的是______.
①变量x与y呈正相关关系；
②去除后y的估计值增加速度变快；
③去除后与去除前样本点的中心不变；
④去除后的回归直线方程为.
【答案】①③④
【解析】因为回归直线方程为，
所以变量 x 与 y 呈正相关关系，故①正确；
因为，所以去除后y的估计值增加速度变慢，故②错误；
当时，，所以去除前样本点的中心为，
又因为，，
所以去掉两个数据点和后，样本点的中心还是，故③正确；
因为去除后重新求得的回归直线的斜率为1.2，所以可设，
将点代入直线，得，解得，
所以去除后的回归直线方程为，故④正确.
故答案为：①③④.
题型二 样本中心点的应用
【例2】（2022春·江苏·高二校联考阶段练习）某产品的营销费用（万元）与净利润额（万元）的统计数据如下表：
根据上表可得回归方程中的为，据此预预营销费用为7万元时的净利润额为（ ）万元.
A．52 B． C．53 D．
【答案】D
【解析】，
因为回归直线过数据中心点，
所以，解得.
回归方程，
当时，.故选：D.
【变式2-1】（2023春·广西钦州·高二钦州一中校考期中）根据变量与的对应关系（如表），求得关于的线性回归方程为，则表中的值为（ ）
A．60 B．55 C．50 D．45
【答案】A
【解析】由表中数据，计算，
，
因为回归直线方程过样本中心，
，解得，故选：A
【变式2-2】（2023春·河南南阳·高二校考阶段练习）某单位为了了解办公楼用电量y（度）与气温x（）之间的关系，随机统计了四个工作日的用电量与当天平均气温，并制作了对照表：由表中数据得到线性回归方程，当气温为时，预测用电量为（ ）
A．68度 B．66度 C．28度 D．12度
【答案】B
【解析】由表中数据可知，，
所以回归方程过，得，即，
则回归方程为，
当时，，故选：B.
【变式2-3】（2023春·高二课时练习）由变量与相对应的一组数据得到的线性回归方程为，根据样本中心满足线性回归方程，则（ ）
A．45 B．51 C．67 D．63
【答案】B
【解析】由题意得，
因为线性回归方程为，所以，故选：B.
题型三 求线性回归方程
【例3】（2023春·四川德阳·高二德阳五中校考阶段练习）某学校为学生开设了一门模具加工课，经过一段时间的学习，拟举行一次模具加工大赛，学生小明､小红打算报名参加大赛.赛前，小明､小红分别进行了为期一周的封闭强化训练，下表记录了两人在封闭强化训练期问每天加工模具成功的次数，其中小明第7天的成功次数忘了记录，但知道，.
（1）求这7天内小明成功的总次数不少于小红成功的总次数的概率；
（2）根据小明这7天内前6天的成功次数，求其成功次数关于序号的线性回归方程，并估计小明第七天成功次数的值.
参考公式：回归方程中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为
参考数据：.
【答案】（1）；（2），小明第七天成功次数为
【解析】（1）因为，且，所以的取值共有25种情况，
、分别表示小明、小红第i天成功次数，
又当小明成功的总次数不少于小红成功的总次数时，在，
即，得，
所以小明成功的总次数不少于小红成功的总次数时，的取值共有17情况，
所以这7天内小明成功的总次数不少于小红成功的总次数的概率为；
（2）由题设可知
，
，
所以，
所以关于序号的线性回旧方程为.
当时，，
估计小明第7天成功次数的值为38.
【变式3-1】（2023春·吉林长春·高二长春市第十七中学校考阶段练习）对于数据组：
（1）你能直观上得到什么结论，两个变量之间是否呈现线性关系？如果能，求线性回归方程．
（2）当时，求y的预测值.
参考公式：，
【答案】（1）呈现线性关系，；（2）10.
【解析】（1）在坐标平面内作出点，
观察散点图得，两个变量之间呈现线性关系，
，
，，
，，
所以y关于x的线性回归方程为.
（2）由（1）知，，当时，，
所以y的预测值是10.
【变式3-2】（2023春·宁夏固原·高二校考阶段练习）某种产品的广告费用支出（万元）与销售额（万元）之间有如下的对应数据：
（1）求回归直线方程；（参考公式：）
（2）据此估计广告费用为10万元时，销售收入的值.
【答案】（1）；（2）万元
【解析】（1）因为，
，，
所以，，
故回归方程为
（2）由（1）知，
所以当时，代入得到，
即销售收入的值为万元.
【变式3-3】（2023春·河南焦作·高二统考期中）研究表明，过量的碳排放会导致全球气候变暖等环境问题，减少碳排放具有深远的意义．中国明确提出节能减排的目标与各项措施，工业和信息化部在2022年新能源汽车推广应用中提出了财政补贴政策后，某新能源汽车公司的销售量逐步提高，如图是该新能源汽车公司在2022年1~5月份的销售量y（单位：万辆）与月份x的折线图．
（1）依据折线图计算x，y的相关系数r，并据此说明可用线性回归模型拟合y与x的关系；（若，则线性相关程度很强，可用线性回归模型拟合）
（2）请建立y关于x的线性回归方程，并预测2022年8月份的销售量．
参考数据及公式：，相关系数，
在线性回归方程中，．
【答案】（1），说明见解析；（2），9.25万辆
【解析】（1）由该新能源汽车公司在2022年1~5月份的
销售量y与月份x的折线图中的数据，
可得，，
，，
所以，
故可用线性回归模型拟合y与x的关系．
（2）由（1）中的数据，可得，
则，
故y关于x的线性回归方程为，
当时，．
故可以预测2022年8月份的销售量为万辆．
【变式3-4】（2023春·山东潍坊·高二山东省昌乐第一中学校考阶段练习）近年来，新能源产业蓬勃发展，已成为一大支柱产业.据统计，某市一家新能源企业近5个月的产值如下表，由散点图知，该企业产值（亿元）与月份代码线性相关.
（1）求出关于的线性回归方程；
（2）根据（1）中的结果，预测明年2月份该企业的产值.
参考公式：.
参考数据：.
【答案】（1）；（2）57.2亿元.
【解析】（1）因为，所以，
所以，
所以关于的线性回归方程为，
（2）明年2月份的月份代码为9，
当时，，
所以明年2月份该企业的产值约为57.2亿元.
题型四 非线性回归分析
【例4】（2023春·江苏连云港·高二校考期中）设两个相关变量和分别满足下表：
若相关变量和可拟合为非线性回归方程，则当时，的估计值为（ ）
（参考公式：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，；）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为非线性回归方程为：，则有，
令，即，列出相关变量关系如下：
所以，，
，，
所以，
所以，所以，
即，即，因为，所以，
当时，.故选：B
【变式4-1】（2023·高二课时练习）某企业推出了一款新食品，为了解每单位该食品中所含某种营养成分x（单位：克）与顾客的满意率y的关系，通过调查研究发现可选择函数模型来拟合y与x的关系，根据以下数据：
可求得y关于x的回归方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由得，两边同时取对数，得；
由表中数据可知，
的平均数=.
对于A，化简变形可得，
两边同时取对数可得，
将代入可得，，
与题中数据吻合；故选项A正确；
对于B，化简变形可得，
两边同时取对数可得，，
将代入可得，所以选项B错误；
对于C，，两边同时取对数可得，
而表中所给数据为的相关量，所以C错误；
对于D，，两边同时取对数可得，
而表中所给数据为的相关量，所以D错误．故选：A.
【变式4-2】（2023·江苏·高二专题练习）有一个开房门的游戏，其玩法为:
盒中先放入两把钥匙和两把钥匙，能够打开房门，不能打开房门.
每次从盒中随机取一把试开，试开后不放回钥匙.第一次打开房门后，关上门继续试开，第二次打开房门后停止抽取，称为进行了一轮游戏.
若每一轮取钥匙不超过三次，则该轮“成功”，否则为“失败”，如果某一轮“成功”，则游戏终止；若“失败”，则将所有钥匙重新放入盒中，并再放入一把钥匙，继续下一轮抽取，直至“成功”.
（1）有名爱好者独立参与这个游戏，记表示“成功”时抽取钥匙的轮次数，表示对应的人数，部分统计数据如下表:
若将作为关于的经验回归方程，估计抽取轮才“成功”的人数（人数精确到个位）；
（2）由于时间关系，规定：进行游戏时，最多进行三轮，若均未“成功”也要终止游戏.求游戏要进行三轮的概率.
参考公式：最小二乘估计，.
参考数据：取，，其中，.
【答案】（1）人；（2）
【解析】（1）令，设，
由条件知，，
所以，
，从而，
故所求的回归方程为.
所以，估计当时，，即抽取轮才“成功”的人数约为人.
（2）由条件知，游戏要进行三轮，即前两轮均失败.
设事件为“第一轮成功”，事件为“第二轮成功”，则、相互独立.
因为，，
所以，前两轮均失败的概率为.
故游戏要进行三轮的概率为.
【变式4-3】（2023春·高二单元测试）在国家大力发展新能源汽车产业的政策下，我国新能源汽车的产销量高速增长. 已知某地区2014年底到2021年底新能源汽车保有量的数据统计表如下：
参考数据：，，其中
（1）根据统计表中的数据画出散点图（如图），请判断与哪一个更适合作为y关于x的经验回归方程（给出判断即可，不必说明理由），并根据你的判断结果建立y关于x的经验回归方程：
（2）假设每年新能源汽车保有量按（1）中求得的函数模型增长，且传统能源汽车保有量每年下降的百分比相同.若2021年底该地区传统能源汽车保有量为500千辆，预计到2026年底传统能源汽车保有量将下降10%.试估计到哪一年底新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量.
参考公式：对于一组数据，v1），），…，，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，；
【答案】（1）作图见解析，选择的函数模型是，；（2）2028年.
【解析】（1）根据该地区新能源汽车保有量的增长趋势知，
应选择的函数模型是，令，则
因为，
所以，，
，所以；
（2）设传统能源汽车保有量每年下降的百分比为r，
依题意得，），解得，
设从2021年底起经过x年后的传统能源汽车保有量为y千辆，
则有x，
设从2021年底起经过x年后新能源汽车的数量将超过传统能源汽车，
则有，
所以，解得，
故从2021年底起经过7年后，
即2028年底新能源汽车的数量将超过传统能源汽车.x
2
3
4
5
6
y
4
2.5
X
3
4
5
6
7
Y
4.0
-0.5
0.5
3
4
5
6
40
42
45
51
2
4
5
6
8
30
40
50
70
气温x（）
18
13
10
－1
用电量y（度）
24
34
38
64
第一天
第二天
第三天
第四天
第五天
第六天
第七天
序号
1
2
3
4
5
6
7
小明成功次数
16
20
20
25
30
36
小红成功次数
16
22
25
26
32
35
35
x
2
3
4
5
y
1.9
4.1
6.1
7.9
2
4
5
6
8
10
20
40
30
50
月份
6月
7月
8月
9月
10月
月份代码
1
2
3
4
5
产值（亿元
16
20
27
30
37
0
1
3
3
4
营养成分含量x/克
1
2
3
4
5

4.34
4.36
4.44
4.45
4.51
年份（年）
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
2021
年份代码x
1
2
3
4
5
6
7
8
保有量y/千辆
1.95
2.92
4.38
6.58
9.87
15.00
22.50
33.70