高二数学下学期期中模拟试卷（第6章-第8章，含数列和导数）-2023-2024学年高二数学同步讲练测(苏教版选择性必修第二册)

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（试卷满分150分，考试用时120分钟）
姓名___________ 班级_________ 考号_______________________
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1．（2022秋·山西阳泉·高二阳泉市第一中学校校考期中） 设，向量，，，且，，则的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】A
【解析】由于，所以，所以.故选：A
2．（2022春·重庆·高二校联考期中）设，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由可得，
所以,
所以，故选：C
3．（2022春·福建泉州·高二泉州五中校考期中）在二项式的展开式中，含的项的二项式系数为（ ）
A．28 B．56 C．70 D．112
【答案】A
【解析】∵二项式的展开式中，通项公式为，
令，求得，可得含的项的二项式系数为，故选：A.
4．（2022春·四川成都·高二四川师范大学附属中学校考期中）四川师大附中某停车场某处并排连续有6个停车位，现有三辆汽车需要停放，为了方便司机上下车，规定：任何两辆汽车都不得相邻停放，则不同的停车方法有（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】任何两辆汽车都不得相邻，即相当于把3辆车插入到3个停车位产生的4个空里，
故有种不同的停车方法.故选：C.
5．（2022春·江苏盐城·高二江苏省阜宁中学校联考期中）随机变量的分布列如下：
其中，，成等差数列，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，，成等差数列，
，
.
则的最大值为
6．（2022春·江苏苏州·高二苏州中学校考期中）某班有名学生，一次数学考试的成绩近似地服从正态分布，平均分为，标准差为，理论上说在分到分的人数约为（ ）
附：若随机变量，则，，.
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为数学成绩服从正态分布，所以，，
所以，，
因此，理论上说在分到分的人数约为.故选：B.
7．（2022春·江苏宿迁·高二统考期中）被9除所得的余数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】,
因为能被9整除，
所以被9除所得的余数等于被9除的余数，
因为除以9余2，
所以被9除所得的余数是2，故选：C
8．（2022春·江苏苏州·高二校考期中）已知函数在区间内存在极值点，且在R上恰好有唯一整数解，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵，∴，
当时，恒成立，∴在上单调递增，不存在极值点，不合题意；
当时，令，解得，
当时，；当时，；
∴在上单调递减，在上单调递增；
∴的极小值点为，无极大值点；
在上存在极值点，∴，
当，即时，，则在R上无解，不合题意；
当时，∵f(0)=0，故要使恰有唯一整数解，则该整数解为，
，，，解得；
当时，∵f(0)=0，故要使恰有唯一整数解，则该整数解为，
，，，解得；
综上所述，实数a的取值范围为．故选：D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2022春·江苏南京·高二江苏省江浦高级中学校联考期中）下列命题正确的有（ ）
A．若，则 B．若，则
C． D．
【答案】BCD
【解析】A：若，则或，故A错误；
B：，则，故B正确；
C：，故C正确；
D：，故D正确；故选：BCD.
10．（2022春·江苏苏州·高二昆山震川高级中学校考期中）若，则（ ）
A．展开式中所有的二项式系数之和为 B．展开式中二项式系数最大的项为第1012项
C． D．
【答案】ABD
【解析】展开式中所有项的二项式系数和为,故A正确；
展开式中第1012项的二项式系数为，是所有项的二项式系数中的最大值，故B正确；
在二项式展开式中，令可得，故C错误；
令可得,∴,故D正确.故选：ABD
11．（2022春·江苏宿迁·高二统考期中）现有6个志愿者排队进入社区服务，下列说法正确的是（ ）
A．若甲乙丙顺序固定，共有种站法
B．若甲乙必须站在一起，共有种站法
C．若甲乙不站在一起，共有种站法
D．若6个人平均分成A、B、C三组分别进入社区，共有种分法
【答案】ABC
【解析】对于A，对于某些元素顺序固定的排列问题，可将所有元素全排列，
然后除以顺序固定的几个元素的全排列，甲乙丙顺序固定，
即先对6个志愿者全排列，再除以顺序固定的甲乙丙3个志愿者，
所以，共有种站法，所以，A正确；
对于B，某些元素要求必须相邻时，可将这些元素看成一个，然后与其他元素排列；
所以，若甲乙必须站在一起，共有种站法，所以，B正确；
对于C，某些元素要求必须相离时，可将其他元素全排列，
再将相离元素排入已排好的元素的左右空隙中；
若甲乙不站在一起，共有种站法，所以，C正确；
对于D，若6个人平均分成A、B、C三组分别进入社区，共有种分法，所以，D错误.
故选：ABC
12．（2021春·江苏盐城·高二江苏省滨海中学校联考期中）已知四棱锥的底面为直角梯形，,底面，且,是的中点，则下列正确的有（ ）
A．平面平面
B．与平面所成的角的余弦值为
C．点到平面的距离为
D．平面与平面所成二面角的余弦值为
【答案】AC
【解析】对于A，由题意, 底面, 可得 ,
又四棱锥的底面为直角梯形, 且，则,
又平面，平面
所以平面, 又平面，所以平面平面, 故A正确
建立如图所示的坐标系, 可得, ,
可得，，
设平面的法向量，
则即，令，则，，所以
又，设与平面所成的角大小为
则，所以，故B错误
点到平面的距离，故C正确
设平面AMC的法向量 , 平面BMC的法向量,

由 得令 , 得 ,所以 ,
同理可求 ,
设平面AMC与平面BMC所成二面角的大小为，为钝角
所以
所以平面AMC与平面BMC所成二面角的余弦值为.故D错误，故选：AC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．（2022秋·广东江门·高二台山市第一中学校考期中）若，，则___________．
【答案】
【解析】，故.
故答案为：
14．（2022春·江苏南京·高二师大附中校考期中）________．
【答案】
【解析】
.故答案为：.
15．（2022春·江苏扬州·高二统考期中）某病毒会造成“持续的人传人”，即存在传，又传，又传的传染现象，那么，， 就被称为第一代、第二代、第三代传播者．假设一个身体健康的人被第一代、第二代、第三代传播者感染的概率分别为，，．已知健康的小明参加了一次多人宴会，参加宴会的人中有名第一代传播者，名第二代传播者，名第三代传播者，若小明参加宴会仅和感染的个人中的一个有所接触，则被感染的概率为______．
【答案】0.81
【解析】设事件“小明与第一代传播者接触”，事件“小明与第二代传播者接触”，
事件“小明与第三代传播者接触”，事件“小明被感染”，
则，，，，，，
所以，
所以所求概率为0.81．
16．（2022春·江苏盐城·高二校考期中）数列的前n项和为，且，，则_____；若恒成立，则k的最小值为_____．
【答案】；1
【解析】因为，，则，
故为首项，公比为的等比数列，
则，则；所以
又，
则，即，也就是，
又，故只需，即，又，故的最小值为.
四．解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2022春·江苏南京·高二江苏省江浦高级中学校联考期中）已知等差数列的前n项和为，等比数列{bn}，且，，.
（1）若，求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q(q≠0)，
依题意，，即，即，
又，所以
所以{bn}的通项公式为：．
（2）当S3＝6时，则即d＝3.
又由（1）知，所以q＝4.
则，
所以.
18．（2022春·山西大同·高二山西省浑源中学校考期中）如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，ADBD，AB＝2AD，且PD⊥底面ABCD．
（1）证明：平面PBD⊥平面PBC；
（2）若二面角P－BC－D为，求AP与平面PBC所成角的正弦值．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）在平行四边形中，，，，
平面，平面，，
，平面，平面，
平面，平面平面.
（2）由题意，建立空间直角坐标系，如下图所示：
设，则，在中，，
平面，平面，，
，平面，平面，
在二面角的平面角，即，
在中，，
在平行四边形中，，
则，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则，即，化简可得，
令，，解得平面的一个法向量，
设与平面的夹角为，.
19．（2022春·江苏南京·高二校考期中）近两年肆虐全球的新型冠状病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株.人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状､发热､咳嗽､气促和呼吸困难等.在较严重病例中，感染可导致肺炎､严重急性呼吸综合征､肾衰竭，甚至死亡.核酸检测是诊断新冠肺炎的重要依据，首先取病人的唾液或咽拭子的样本，再提取唾液或咽拭子样本里的遗传物质，若有病毒，样本检测会呈现阳性，否则为阴性.根据统计发现，疑似病例核酸检测呈阳性的概率为.现有4例疑似病例，分别对其取样､检测，多个样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验.混合样本中只要有病毒，则混合样本化验结果就会呈阳性，若混合样本呈阳性，则将该组中备份的样本再逐个化验；若混合样本呈阴性，则判定该组各个样本均为阴性，无需再检验.现有以下三种方案：
方案一：逐个化验；
方案二：四个样本混合在一起化验；
方案三：平均分成两组，分别混合在一起化验.
在新冠肺炎爆发初期，由于检查能力不足，化检次数的期望值越小，则方案越“优”.
（1）若按方案一，求4个疑似病例中恰有2例呈阳性的概率；
（2）现将该4例疑似病例样本进行化验，请问：方案一､二､三中哪个最“优”？并说明理由.
【答案】（1）；（2）选择方案一最“优”，理由见解析
【解析】（1）用表示4个疑似病例中化验呈阳性的人数，则
由题意可知，.
（2）方案一：逐个检验，检验次数为4；
方案二：混合在一起检测，记检测次数为，则随机变量的可能取值为1，5
，
所以随机变量的分布列为
所以
方案三：每组两个样本检测时，若呈阴性则检测次数为1次，其概率为；
若呈阳性则检测次数为3次，其概率为.
设方案三的检测次数为随机变量，则的可能取值为，
所以随机变量的分布列为
所以.
由上可知，
故选择方案一最“优”.
20．（2022秋·山东潍坊·高二统考期中）如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，分别是线段的中点，二面角为直二面角.
（1）求证：平面；
（2）若点为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）连接，由题设知四边形为菱形，，
分别为中点，；
又为中点，，
因为二面角为直二面角，
即平面平面，平面平面平面
平面，又平面；
又平面平面.
（2），
为等边三角形，，
平面平面，平面平面，平面
平面，
则以为坐标原点，所在直线为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，
设，则，
；
由（1）知：平面平面的一个法向量；
设平面的法向量，
则，令，则；
，
令，则；
，
即锐二面角的余弦值的取值范围为.
21．（2021春·江苏苏州·高二校考期中）按照下列要求，分别求有多少种不同的方法？（列式并用数字作答）
（1）5个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少放一个小球；
（2）6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；
（3）6个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；
（4）6个不同的小球放入4个不同的盒子，恰有1个空盒．
【答案】（1）种（2）种（3）种（4）种
【解析】（1）从5个不同的小球中任取个小球当成一个元素，连同其余3个元素作全排，
共有种；
（2）若四个盒子中小球的个数为：，则共有种，
若四个盒子中小球的个数为：，则共有种，
所以共有种.
（3）等价于个相同的元素填入四个不同的空位，共有种；
（4）从4个不同的盒子中选一个盒子空着，有种，
另外三个盒子中，小球的个数可能为：①，②，③，
若为①，则共有种；
若为②，则共有种；
若为③，则共有种，
所以一共有种.
22．（2022春·江苏苏州·高二南京航空航天大学苏州附属中学校考期中）已知函数.
（1）判断函数在区间上的单调性，并说明理由；
（2）求证：函数在内有且只有一个极值点；
（3）求函数在区间上的最小值.
【答案】（1）在区间上为增函数；（2）证明见解析；（3）
【解析】（1）因为，所以，
又，所以，所以函数在区间上为增函数.
（2）设，则，
当时，，所以在上为减函数，
又，，
所以存在唯一，使得，
即存在唯一，使得，
与在区间内的变化情况如下：
所以函数在内有且只有一个极值点.
（2）由（1）（2）知，在内单调递增，在内单调递减，
又因为，，所以当时，，
又因为当时，，
所以，当且仅当时等号成立，
所以在上的最小值为.-1
0
1
1
5
2
4
6
+
0
增函数
极大值
减函数