专题28.12 解直角三角形的应用（基础篇）（专项练习）-2023-2024学年九年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）

这是一份专题28.12 解直角三角形的应用（基础篇）（专项练习）-2023-2024学年九年级数学下册基础知识专项讲练（人教版），共32页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．如图，为了测量某建筑物AB的高度，在平地上C处测得建筑物顶端A的仰角为30°，沿CB方向前进12m到达D处，在D处测得建筑物顶端A的仰角为45°，则建筑物AB的高度等于（ ）
A．B．C．D．
2．如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为36°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为100m．则这栋楼的高度为（ ）（参考数据：，，，，结果保留整数）
A．246mB．250mC．254mD．310m
3．如图，AB是垂直于水平面的建筑物，沿建筑物底端B沿水平方向向左走8米到达点C，沿坡度i=1：2（坡度i=坡面铅直高度与水平宽度的比）斜坡走到点D，再继续沿水平方向向左走40米到达点E（A、B、C、D、E在同一平面内），在E处测得建筑物顶端A的仰角为34°，已知建筑物底端B与水平面DE的距离为2米，则建筑物AB的高度约是（ ）（参考数据：sin34°≈0.56，cs34°≈0.83，tan34°≈0.67）
A．27.1米B．30.8米C．32.8米D．49.2米
4．A，B，C三地两两的距离如图所示，B地在A地的正西方向，下面说法不正确的是（ ）
C地在B地的正北方向上B．A地在B地的正东方向上
C．C地在A地的北偏西60°方向上D．A地在C地的南偏东30°方向上
5．从观测点A测得海岛B在其北偏东60°方向上，测得海岛C在其北偏东80°方向上，若一艘小船从海岛B出发沿南偏西40°方向以每小时40海里的速度，行驶2小时到C海岛，则C海岛到观测点A的距离是（ ）
A．20海里B．40海里C．60海里D．80海里
6．如图，一艘测量船在A处测得灯塔S在它的南偏东60°方向，测量船继续向正东航行30海里后到达B处，这时测得灯塔S在它的南偏西75°方向，则灯塔S离观测点A的距离是（ ）
A．15海里B．（15﹣15）海里
C．（15﹣15）海里D．15海里
7．如图，一个人从山脚下的A点出发，沿山坡小路AB走到山顶B点．已知坡角为20°，山高千米．用科学计算器计算小路AB的长度，下列按键顺序正确的是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，其中，迎水坡AB的坡角，背水坡CD的坡比为，斜坡AB长8m，则背水坡CD的长为（ ）
A．mB．mC．mD．m
9．如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯AB的倾斜角为，大厅两层之间的距离为3米，则自动扶梯AB的长约为（ ）（，，）
A．5米B．米C．4米D．米
10．如图，某学校准备改善原有楼梯的安全性能，把倾斜角由40°改为35°，已知原来楼梯AB长4m，调整后的楼梯多占用了一段地面，这段地面BD的长为（ ）m（参考数据：，，，，精确到0.01m）
A．0.48B．0.61C．1.10D．1.42
二、填空题
11．某兴趣小组为测量一峡谷的宽度，并将实际地形抽象绘制成如图所示的图形，AB，MN分别表示峡谷正对面的两座山的垂直高度，从N处测得B处的俯角为45°，沿着N向下53米到达P处，在P处测得B处的俯角为33°，则峡谷的宽度AM约为______米．（结果精确到1米，，，．）
12．如图，某数学活动小组为测量学校旗杆AE的高度，沿旗杆正前方2米处的点B出发，沿斜面坡度i=1:的斜坡BC前进4米到达点C，在点C处安置测角仪，测得旗杆顶部E的仰角为37°，量得仪器的高CD为1.5米，已知A、B、C、D、E在同平面内，AE⊥AB，AE∥CD，则旗杆AE的高度是_________米．（参考数据：，，，，计算结果精确到1米）
13．如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为______海里；AB＝______海里（结果保留根号）．
14．如图，我国的一艘海监船在钓鱼岛A附近沿正东方向航行，船在B点时测得钓鱼岛A在船的北偏东60°方向，船以50海里/时的速度继续航行2小时后到达C点，此时钓鱼岛A在船的北偏东30°方向．请问船继续航行______海里与钓鱼岛A的距离最近．
15．某仓储中心有一斜坡，其坡比：，顶部A处的高为米，、在同一水平面上．则斜坡的水平宽度为______米．
16．如图是某水库大坝的横截面示意图，已知AD∥BC，且AD、BC之间的距离为15米，背水坡CD的坡度，现对大坝进行加固，加固后大坝顶端AE比原来的顶端AD加宽了2米，背水坡EF的坡度，则大坝底端增加的长度CF是______米．
17．图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图，是可以伸缩的起重臂，转动点离地面的高度为米，当，时，起重臂端点离地面的高度为______米（结果精确到米）【参考数据：，，】
18．如图1，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点E在AB的延长线上，在∠CBE的角平分线上取一点F（含端点B），连接AF并过点C作AF所在直线的垂线，垂足为G．设线段AF的长为x，CG的长为y，y关于x的函数图象及有关数据如图2所示，点Q为图象的端点，则时，BF＝______．
三、解答题
19．如图，某无人机兴趣小组在操场上开展活动，此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者A的俯角为30°，测得教学楼BC顶端点C处的俯角为45°．又经过人工测量测得操控者A和教学楼BC之间的距离为57米．求教学楼BC的高度．（点A，B，C，D都在同一平面上，结果保留根号）
20．如图所示，小芳楼房AB的对面有一大厦CD，大厦顶端有一高为DE的大型电子广告屏幕．为测量DE的高度，小芳在B处测得点D的仰角为45°，在A处测得点D的仰角为37°、测得点E的仰角为30°．已知AB高为15米，求DE的高度．（参考数据：，，结果精确到0.1米）
21．如图，m，n为河流南北两岸的平行道路，北岸道路A，B和南岸道路D点处各有一株古树．已知B，D两株古树间的距离为200米，为了测量A，B两株古树之间的距离，在南岸道路C点处测得古树A位于北偏西42°方向，在D处测得古树B位于北偏西30°方向．已知CD=280米，求A，B两株古树之间的距离．（结果保留整数）
参考数据：≈1.41，≈1.73，sin42°，cs42°≈，tan42°≈．
22．如图，某天然气公司的主输气管道途经A小区，继续沿A小区的北偏东60°方向往前铺设．测绘员在A处测得另一个需要安装天然气的P小区位于北偏东30°方向，测绘员从A处出发，沿主输气管道方向前行2000米到达B处，此时测得P小区位于北偏西75°方向．
(1)∠PAB＝ 度，∠PBA＝ 度；
(2)现要在主输气管道AB上选择一个支管道连接点Q，使从Q处到P小区铺设的管道最短，求A小区与支管道连接点Q的距离．（结果保留根号）
23．如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，然后他们沿着坡度为i=1：2.4的斜坡AP攀行了26米到达点A，在坡顶A处又测得该塔的塔顶B的仰角为76°．
(1)求坡顶A到地面PQ的距离；
(2)计算古塔BC的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cs76°≈0.24，tan76°≈4）
24．如图，是一垂直于水平面的建筑物，一位同学从建筑物底端出发，沿水平方向向左行走11.6米到达点，再经过一段坡路，米，坡面的坡度（即），然后再沿水平方向向左行走4米到达点，在处测得建筑物顶端的仰角37°．
(1)求点到建筑物的水平距离；
(2)求建筑物的高度．（参考数据：，，，，，，，，均在同一平面内．）
25．小明家住深圳某小区一楼，家里开了一间小卖部，小明的爸爸想把囤积的商品打折促销7天，因为考虑到疫情期间的安全问题，小明爸爸把一楼朝南的窗户改造成了营业窗口，如下图1，因为天气渐渐回暖，小明的爸爸想让小明帮忙设计一个可以伸缩的遮阳棚，如图2，AB表示窗户，高度为2米，宽度为3米，BCD表示直角遮阳篷，他打算选择的支架BC的高度为0．5米．小明为了最大限度地阻挡正午最强的阳光，为了测量太阳与地面的最大夹角，小明选择一个晴朗的天气，正午12点时在地面上竖立了一个长4米的木杆，测得落在地面的影子长为2．31米．参考数据（tan60°=≈1．73）
(1)正午12点时，太阳光线与地面的夹角约为________度，请你帮忙估算出没有遮阳棚时，正午12点时太阳照射到室内区域面积为___________．（结果保留根号）
(2)正午12点时，太阳刚好没有射入室内此时的CD，并求此时CD的长．（结果保留根号）
26．如图①是某中型挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成，图②是其侧面结构示意图（MN是基座，AB是主臂，BC是伸展臂），若主臂AB长为4米，主臂伸展角的范围是：，伸展臂伸展角的范围是：．
(1)如图③，当，伸展臂BC恰好垂直并接触地面时，求伸展臂BC的长（结果保留根号）；
(2)若（1）中BC长度不变，当时，求该挖掘机最远（即伸展臂伸展角最大时）能挖掘到距A水平正前方多少米的土石，（结果保留根号）
参考答案
1．C
【分析】设，先分别在和中，解直角三角形求出的长，再根据建立方程，解方程即可得．
解：由题意得：，
设，
则在中，，
在中，，
，
，
解得，
即建筑物的高度等于，
故选：C．
【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．
2．A
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，则AD=100m，再利用锐角三角函数，分别求得BD和CD的长从而可以得到BC的长．
解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，则AD=100m，
根据题意得：∠BAD=36°，∠CAD=60°，
∴，，
∴BC=BD+CD=246m．
故选：A
【点拨】本题考查解直角三角形的应用一仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，准确构造直角三角形．
3．C
【分析】延长AB交ED的延长线于F，作CG⊥EF于G，首先解直角三角形Rt△CDG，求出DG，再根据锐角三角函数构建方程即可解决问题．
解：如图，延长AB交ED的延长线于F，作CG⊥EF于G，
由题意得：FG=BC=8米，DE=40米，BF=CG=2米，
在Rt△CDG中，i=1：2，CG=2米，
∴GD=4米，
在Rt△AFE中，∠AFE=90°，FE=FG+GD+DE=52(米)，∠E=34°，
∴AF=FE•tan34°≈52×0.67=34.8（米），
∴AB=AF-BF=34.8-2=32.8（米）；
即建筑物AB的高度为32.8米；
故选：C．
【点拨】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角、坡度坡角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
4．D
【分析】先根据勾股定理的逆定理求得AB⊥BC，由此可判断A、B两个选项，再利用锐角三角函数求得∠A＝30°，∠C＝60°，由此可判断C、D两个选项．
解：∵AB＝6，BC＝6，AC＝12，
∴AB2＋BC2＝AC2，
∴∠B＝90°，
∴AB⊥BC，
∴C地在B地的正北方向上，A地在B地的正东方向上，
故选项A，选项B都是正确的，不符合题意；
∵在Rt△ABC中，sinA＝＝＝，
∴∠A＝30°，
∴∠C＝90°－∠A＝60°，
∴C地在A地的北偏西60°方向上，A地在C地的南偏东60°方向上，
故选项C是正确的，不符合题意，选项D是不正确的，符合题意，
故选：D．
【点拨】本题主要考查了勾股定理的逆定理、锐角三角函数以及方位角的应用，熟练掌握锐角三角函数是解决本题的关键．
5．D
【分析】利用平行线性质得出：∠ABD=∠EAB=60°，进而得出∠ABC=∠BAC=20°，得出BC=AC，进而得出答案．
解：由题意可得出：∠EAC=80°，∠EAB=60°，∠DBC=40°，BC=40×2=80（海里），
∴∠BAC=80°-60°=20°，∠BCA=60°，
∵AE∥BD，
∴∠ABD=∠EAB=60°，
∵∠DBC=40°，
∴∠ABC=60°-40°=20°，
∴∠ABC=∠BAC=20°，
∴BC=AC=80（海里）．
∴C海岛到观测点A的距离是80海里．
故选D
.
【点拨】本题主要考查了解直角三角形的应用，利用方向角得出BC=AC是解题的关键．
6．B
【分析】题中利用特殊角度，做辅助线过S作SC⊥AB于C，在AB上截取CD＝AC，设CS＝x海里，则x+x+2x＝AB，可得：x＝，可知AS＝（15﹣15）海里．
解：过S作SC⊥AB于C，在AB上截取CD＝AC，
∴AS＝DS，
∴∠CDS＝∠CAS＝30°，
∵∠ABS＝15°，
∴∠DSB＝15°，
∴SD＝BD，
设CS＝x海里，
在Rt△ASC中，∠CAS＝30°，
∴AC＝x（海里），AS＝DS＝BD＝2x（海里），
∵AB＝30海里，
∴x+x+2x＝30，
解得：x＝，
∴AS＝（15﹣15）海里．
故选：B．
【点拨】本题主要考查方位角问题，熟练运用特殊角三角函数是解题的关键．
7．A
【分析】在△ABC中，通过解直角三角形可得出sinA= ，则，即可得出结论．
解：在△ABC中，sinA=sin20°= ，
∴，
∴按键顺序为：2÷sin20=
故选：A．
【点拨】本题主要考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题以及计算器，熟练应用计算器是解题关键．
8．D
【分析】过点、分别作，，垂足分别为、，可得四边形是矩形，根据正弦的定义求出，进而求出，根据坡度的概念求出，再根据角所对的直角边等于斜边的一半即可求解．
解：过点，垂足为，过点作，垂足为，
∵，，AD∥BC，
∴，，
∴四边形是矩形，
∴，
在中，
，米，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【点拨】此题主要考查了解直角三角形的应用——坡度坡角问题，正确得出的度数是解题关键．
9．A
【分析】结合题意，根据三角函数的性质计算，即可得到答案．
解：根据题意，得：，
∵米，
∴米，
故选：A．
【点拨】本题考查了三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握三角函数的性质，从而完成求解．
10．B
【分析】根据正弦的定义求出AC，根据余弦的定义求出BC，根据正切的定义求出CD，结合图形计算，得到答案．
解：在Rt△ABC中，AB=4m，∠ABC=40°，
则AC=AB•sin∠ABC≈4×0.643≈2.57（m），
BC=AB•cs∠ABC≈4×0.766≈3.06（m），
在Rt△ADC中，∠ADC=35°，
则CD=≈≈3.67（m），
∴BD=CD-BC=3.67-3.06=0.61（m），
答：BD的长约为0.61m．
故选：B．
【点拨】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
11．
【分析】设出，构造直角三角形，过点作，垂足为，则，，，分别在，中，求得， ，利用，列出方程即可求解．
解：设，
过点作，垂足为，则，，，
在中，，
则，
在中，，
则，即，
∴ ，
∵，
∴，
解得（米）
∴峡谷的宽度AM约为米，
故答案为：
【点拨】考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
12．8.7
【分析】过点D作DF⊥AE于点F，延长DC交AB于点G，则DF=AG，AF=GD，求出CG=BC=2（米），BG=2（米），则AF=GD=CG+CD=3.5（米），DF=AG=AB+BG=4（米），再由锐角三角函数定义求出EF的长，即可解决问题．
解：过点D作DF⊥AE于点F，延长DC交AB于点G，
则DF=AG，AF=GD，
在Rt△CDG中，tan∠CBG=i=1：=，
∴∠CBG=30°，
∴CG=BC=2（米），BG=CD•cs∠CBG=4×=2（米），
∴AF=GD=CG+CD=2+1.5=3.5（米），DF=AG=AB+BG=2+2=4（米），
在Rt△DFE中，EF=DF•tan∠EAF≈4×=3（米），
∴AE=EF+AF≈3+3.5≈8.7（米），
即旗杆AE的高度约为8.7米，
故答案为：8.7．
【点拨】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题、仰角俯角问题，掌握仰角俯角的定义、坡度坡角的定义，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
13． ##
【分析】设点C在P点正东方且在AB上，解Rt△PAC可得AC，PC，解Rt△PCB可得BC，BP，便可解答；
解：如图，设点C在P点正东方且在AB上，
Rt△PAC中，PA=50海里，∠APC=90°-60°=30°，则AC=25海里，
PC=PA•cs∠APC=50×=海里，
Rt△PCB中，∠BPC=90°-45°=45°，则∠B=45°，
BC=PC=海里，
PB=PC÷cs∠BPC=÷=海里，
∴AB=AC+BC=（海里），
故答案为：，；
【点拨】本题考查了方位角，解直角三角形的实际应用，掌握余弦三角函数的计算方法是解题关键．
14．50
【分析】过点A作AD⊥BC于D，则垂线段AD的长度为与钓鱼岛A最近的距离，线段CD的长度即为所求．先由方位角的定义得出∠ABC=30°，∠ACD=60°，由三角形外角的性质得出∠BAC=30°，则CA=CB=100海里，然后解直角△ADC，得出CD=AC=50海里．
解：过点A作AD⊥BC于D，
根据题意得，∠ABC=30°，∠ACD=60°，
∴∠BAC=∠ACD﹣∠ABC=30°=∠ABC．
∴CA=CB．
∵CB=50×2=100（海里），
∴CA=100（海里）．
在Rt△ADC中，∠ACD=60°，
∴（海里）．
故船继续航行50海里与钓鱼岛A的距离最近．
故答案为：50
【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，解直角三角形的实际应用，点到直线的距离垂线段最短等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，
15．8
【分析】根据坡度定乙直接解答即可．
解：坡度为：，米，
米，
故答案为：．
【点拨】本题考查了解直角三角形的应用—坡度坡角问题，解决本题的关键是熟悉坡度坡角的定义（通常把坡面的垂直高度h和水平方向的距离l的比叫做坡度用字母i表示，即坡角的正切值）．
16．13
【分析】分别过点D，E作DG，EH垂直BC，垂足则分别为G，H，则GH=ED=2米，可得DG=EH=15米，再由背水坡CD的坡度，背水坡EF的坡度，可得CG=9米，HF=20米，即可求解．
解：如图，分别过点D，E作DG，EH垂直BC，垂足则分别为G，H，则GH=ED=2米，
∵AD∥BC，AD、BC之间的距离为15米，
∴DG=EH=15米，
∵背水坡CD的坡度，
∴，
∴CG=9米，
∵背水坡EF的坡度，
∴，
∴HF=20米，
∴CF=GF-CG=GH+HF-CG=13米．
故答案为：13
【点拨】本题主要考查了解直角三角形，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．
17．7.6
【分析】先作出C点的高CE，过A点向CE作垂线AF，可以发现四边形AHEF是矩形，根据已知条件可求出∠CAF，利用三角函数解出CF，最后可求出C点离地面的高度CE．
解：作CE⊥BD于点E，AF⊥CE于点F，则CE即为点C离地面的高，如图，
∵AH⊥BD，CE⊥BD，AF⊥CE，
∴四边形AHEF是矩形，
∴EF=AH=3.4m，∠HAF=90°，
∵∠HAC=118°，
∴∠CAF=∠HAC-∠HAF=118°-90°=28°，
∵AC=9m，
∴CF=AC×sin∠CAF=9×sin28°=9×0.47≈4.2m，
∴CE=CF+EF=4.2+3.4=7.6m，
故答案为：7.6．
【点拨】本题考查了三角函数解三角形，关键在于作辅助线将高CE分解成两部分，并且将118°角分解出给出三角函数值的角度加以利用．
18．
【分析】根据点Q为图象的端点，得出点F与点B重合，AB=4，求出点Q（4, ），得出y关于x的函数为（x≥4），当时，，过F作FH⊥AE与H，根据BF是∠CBE的平分线，∠FBH=∠FBC=30°，设BF为2m，利用勾股定理求出BH=，利用勾股定理列方程，解方程即可．
解：∵点Q为图象的端点，
∴点F与点B重合，AB=4，
∵四边形ABCD为菱形，∠BAD＝60°，
∴AD∥BC，AB=BC=4，
∴∠CBE=60°，
∵CG⊥AE，
∴CG=BCsin60°=，
∴点Q（4, ），
∴y关于x的函数为（x≥4），
当时，，
∴AF=8，
过F作FH⊥AE与H，
∵BF是∠CBE的平分线，
∴∠FBH=∠FBC=30°，
设BF为2m，
∴FH=m，
∴BH=，
∴AH=AB+BH=4+，
在Rt△AFH中，，
即，
整理得，
∴，
∴BF=2m=，
故答案为：．
【点拨】本题考查菱形性质，锐角三角函数，反比例函数解析式，勾股定理，配方法解一元二次方程，掌握菱形性质，反比例函数解析式，勾股定理，配方法解一元二次方程是解题关键．
19．教学楼BC的高度为米
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F，由题意得AB=57米，DE=30米，∠DAE=30°，∠DCF=45°，再由锐角三角函数定义求出AE的长，然后求出米，进而可得教学楼BC的高度．
解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F，如图所示：
则四边形BCFE是矩形，
由题意得：AB＝57米，DE＝30米，∠DAE＝30°，∠DCF＝45°，
在Rt△ADE中，∠AED＝90°，
∴tan∠DAE＝，
∴AE＝＝＝（米），
∴BE＝AB﹣AE＝米，
∵四边形BCFE是矩形，
∴CF＝BE＝米，
在Rt△DCF中，∠DFC＝90°，
∴∠CDF＝∠DCF＝45°，
∴DF＝CF＝米，
∴BC＝EF＝30﹣57+30＝米，
答：教学楼BC的高度为米．
【点拨】本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题、矩形的判定与性质等知识；掌握仰角俯角定义是解题的关键．
20．约为10.4米
【分析】由题意知，，，，四边形ABCH是矩形，△DBC是等腰直角三角形，BC＝CD＝AH，设米，米，在中，求得，则BC＝CD＝AH＝60米，在中求得米，进一步即可求得DE的高度．
解：作AH⊥CD，由题意知，，，，
由题意得∠ABC＝∠BCH＝∠AHC＝90°，
∴四边形ABCH是矩形，
∴，AH＝BC，
∵，∠BCD＝90°，
∴△DBC是等腰直角三角形，
∴BC＝CD＝AH，
设米，则米，
在中，
∵，
∴．
解得，
即米．
∴BC＝CD＝AH＝60米，
在中，
∵
∴．
∴（米）．
答：DE的高度约为10.4米．
【点拨】此题考查了解直角三角形的实际应用仰角俯角问题，借助仰角俯角构造直角三角形是基础，熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键．
21．A，B两株古树之间的距离为336米
【分析】由题意可知四边形CDFE是矩形，在Rt△BDF中，分别求出BF=100米，DF=100米，在Rt△ACE中，再利用三角函数求出AE即可．
解：如图，由题意可知：四边形CDFE是矩形，
∴CE=DF，CD=EF，
在Rt△BDF中，∠BDF=30°，BD=200米，
∴BF=BD=100米，
由勾股定理得：
DF==100米，
在Rt△ACE中，∠ACE=42°，CE=DF=100米，
∴AE=tan42°×CE=×100≈155.7（米），
∴AB=AE+BE=AE+CD-BF=155.7+280-100≈336米，
∴A，B两株古树之间的距离为336米．
【点拨】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，将实际问题转化为数学问题，利用数形结合的思想解答问题．
22．(1)30；45(2)米
【分析】（1）根据方位角的定义计算即可．
（2）过点P作PQ⊥AB于Q．设PQ=x米，根据直角三角形的边角关系求出AQ和BQ的长度，进而列出方程求出x的值，再代入计算即可求解．
（1）解：∵B小区位于A小区的北偏东60°方向，P小区位于A小区的北偏东30°方向，
∴∠PAB=60°-30°=30°，A小区位于B小区的南偏西60°方向．
∵P小区位于B小区的北偏西75°方向，
∴∠PBA=180°-60°-75°=45°．
故答案为：30；45．
（2）解：如下图所示，过点P作PQ⊥AB于Q，则此时从Q处到P小区铺设的管道最短，设PQ=x米．
∵PQ⊥AB，
∴米，米．
∴米．
∵AB=2000米，
∴．
∴．
∴米．
答：A小区与支管道连接点Q的距离是米．
【点拨】本题考查方位角，解直角三角形的实际应用，熟练掌握这些知识点是解题关键．
23．(1)米(2)约19米
【分析】（1）过点A作AH⊥PQ于H，根据斜坡AP的坡度为i=1：2.4，得出，设AH=5k，则PH=12k，，求出k值即可求解．
（2）延长BC交PQ于D，根据，AC∥PQ可得，从而得出四边形AHDC是矩形，再根据，得出，利用中，即可求解．
（1）解：过点A作AH⊥PQ于H，如图所示：
∵斜坡AP的坡度为i=1：2.4，
∴，
设AH=5k，则PH=12k，
则，
，解得，
，
坡顶A到地面PQ的距离为米．
（2）延长BC交PQ于D，如图所示：
，，
，
四边形AHDC是矩形，CD=AH=10，AC=DH，
，
，
设BC=x，则，
，
在中，，
即，解得，
古塔BC的高度约19米．
【点拨】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理、锐角三角函数、坡角与坡度、矩形的判定及性质，解题的关键根据题意作出辅助线，构造直角三角形，利用锐角三角函数求解．
24．(1)18米；(2)约为14.5米．
【分析】（1）延长EC交直线AB于M，则EM⊥AB，过C作CN⊥BF于N，则四边形BMCN是矩形，首先根据CD的坡度求出CN和ND，进而可得EM的值；
（2）在Rt△AEM中，根据37°的正切可得AM，再根据AB＝AM+BM可得答案．
（1）解：延长EC交直线AB于M，则EM⊥AB，过C作CN⊥BF于N，
如图所示：
则四边形BMCN是矩形，
在Rt△CDN中，∵tan∠CDF＝，
∴设CN＝5a，则ND＝12a，
∴CD＝＝13a＝2.6，
解得a＝0.2，
∴CN＝1米，ND＝2.4米，
∴EM＝EC+ND+BN＝4+2.4+11.6＝18（米），
答：点E到建筑物AB的水平距离是18米；
（2）解：在Rt△AEM中，
∵AM＝EM•tan37°≈18×0.75=13.5（米），
∴AB＝AM+BM＝13.5+1≈14.5（米）．
答：建筑物AB的高度约为14.5米．
【点拨】本题考查的是矩形的性质、解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
25．(1)60°，(2)
【分析】（1）设正午 12 点时， 太阳光线与地面的夹角为 ，由题意可知，没有遮阳棚时，正午 12 点时太阳照射到室内区域面积为：
（2）根据，求得，，根据，即可求解．
解：（1）设正午 12 点时， 太阳光线与地面的夹角为 ，由题意可知：
，
，
正午12点时，太阳光线与地面的夹角约为
由题意可知：没有遮阳棚时，正午 12 点时太阳照射到室内区域面积为∶

没有遮阳棚时，正午 12 点时太阳照射到室内区域面积为 ，
故答案为： ；
（2）由题意可知：
，
，
，
，
，
此时 的长为 ．
【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．
26．(1)米．(2)该挖掘机最远能挖掘到距A水平正前方米的土石．
【分析】（1）根据题意画出图形，可得△ABC是等腰直角三角形，即可得出BC的长；
（2）根据主臂伸展角∠MAB和伸展臂伸展角∠ABC的范围求出伸展到最远时AC的长度即可得出结果．
解：（1）如图：
由题意得：米，
（米）．
（2）如图：
由题意得，时，伸展臂伸展的最远，
过点B作交NM的延长线于D，
在中，，
，
，
，
在中，，，
，
（米）．
【点拨】本题考查了解直角三角形的应用、含30°角的直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质等知识，正确解直角三角形是解题的关键．