第1章 解直角三角形 浙教版数学九年级下册单元自测题(含解析)

这是一份第1章 解直角三角形 浙教版数学九年级下册单元自测题(含解析)，共14页。
浙教版初中数学下册第一章解直角三角形 单元自测题一、单选题1．已知α是锐角，若sinα=12 ，则α的度数是（　　）A．30° B．45° C．60° D．75°2．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，BC＝10，则cosB的值是（　　） A．34 B．43 C．35 D．453．如图，滑雪场有一坡角为20°的滑道，滑雪道的长AC为100米，则BC的长为（　　）米．A．100cos20° B．100cos20° C．100sin20° D．100sin20°4．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：2，坝高BC=4m，则AB的长度为（　　）A．26m B．42m C．43m D．6m5．在Rt△ABC中，各边都扩大5倍，则角A的三角函数值（　　） A．不变 B．扩大5倍 C．缩小5倍 D．不能确定6．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为a，AC=7米，则树高BC为（） A．7sina米 B．7cosa米 C．7tana米 D．7tana 米7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12，则∠A的正弦值为（　　） A．512 B．1213 C．125 D．5138．如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，已知cos∠CDB＝45，BD＝5，则OH的长为（　　）A．23 B．56 C．1 D．769．如图是大坝的横断面，斜坡AB的坡度 i1 =1：2，背水坡CD的坡度i2=1：1，若坡面CD的长度为62 米，则斜坡AB的长度为（　　）A．43 B．63 C．65 D．2410．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D.设BD＝x，tan∠ACB＝y，则x与y满足关系式（　　）A．x﹣y2＝3 B．2x﹣y2＝6 C．3x﹣y2＝9 D．4x﹣y2＝12二、填空题11．若cosα=0.5，则锐角α为　 　度．12．计算： |3-2|+(12)-1+2sin60°=　 　. 13．如图，在一次测绘活动中，小华同学站在点A的位置观测停泊于B、C两处的小船，测得船B在点A北偏东75°方向900米处，船C在点A南偏东15°方向1200米处，则船B与船C之间的距离为　 　米．14．如图，正方形ABCD的边长为4，P是边CD上的一动点，EF⊥BP交BP于G，且EF平分正方形ABCD的面积，则线段GC的最小值是　 　.三、计算题15．计算： |-5|+sin30∘-(π-1)016．计算： 8-4cos45°+(12)-1+|-2|17．观察下列等式： ①sin30°= 12 ，cos60°= 12 ；②sin45°= 22 ，cos45°= 22 ；③sin60°= 32 ，cos30°= 32 ．（1）根据上述规律，计算sin2α+sin2（90°﹣α）=　 　． （2）计算：sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°． 18．（1）18 + |-2| -（2012﹣π）0-4sin45°（2）解方程：x2-10x＋9＝0．四、解答题19．如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的 长为12米，求大厅两层之间的距离BC的长．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin31°=0.515，cos31°=0.857，tan31°=0.60）20．如图，锐角△ABC中，AB=10cm，BC=9cm，△ABC的面积为27cm2．求tanB的值．21．已知 sinα+cosα=1713 ，且0°＜α＜45°，求sinα的值．22．已知：在Rt△ABC 中，∠C=90°，sinA=23，AC=10，求△ABC的面积。 五、综合题23．如图，在矩形ABCD中，点E为边AB上的一动点（点E不与点A，B重合），连接DE，过点C作CF⊥DE，垂足为F．（1）求证：△ADE∽△FCD；（2）若AD=6，tan∠DCF=13，求AE的长．答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：∵a是锐角，sina=12，∴a=30°. 故答案为：A.  【分析】根据特殊角的锐角三角函数值可知，sin30°= 12，即可判断a的度数.2．【答案】D【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，BC＝10，∴cosB＝ ABBC ＝ 810 ＝ 45 ，故答案为：D.【分析】利用在直角三角形中，∠B的余弦=∠B的邻边：斜边，代入计算可求出结果.3．【答案】B【解析】【解答】解：∵滑道坡角为20°，∴∠C=20°，∵AC为100米，∠B=90°，∴cos∠C=BCAC，∴BC=AC·cos∠C=100cos20°．故答案为：B.【分析】根据坡角可得∠C=20°，然后根据∠C的余弦函数进行计算即可.4．【答案】C【解析】【解答】解：∵迎水坡AB的坡比为1：2，∴BCAC=12，即4AC=12，解得，AC＝42，由勾股定理得，AB＝BC2+AC2=43（m），故答案为：C.【分析】坡比等于坡角的正切函数值，据此结合BC的值可得AC，然后根据勾股定理求解即可.5．【答案】A【解析】【解答】解：∵各边都扩大5倍，∴新三角形与原三角形的对应边的比为5：1，∴两三角形相似，∴∠A的三角函数值不变，故答案为：A.【分析】易得边长扩大后的三角形与原三角形相似，那么对应角相等，相应的三角函数值不变.6．【答案】C【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠A=a，∴tana=BCAC=BC7∴BC=7tana故答案为：C【分析】利用∠A的正切等于∠A的对边与邻边的比，就可求出树高BC。7．【答案】D【解析】【解答】在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12，∴BC= AB2-AC2 =5，∴sinA= BCAB = 513 ，故答案为：D.【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理求出BC=15，根据锐角三角函数的定义可得sinA= BCAB，由此计算即可.8．【答案】D【解析】【解答】解：连接OD. ∵AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，∴AB⊥CD，∴∠OHD＝∠BHD＝90°.∵cos∠CDB＝DHBD＝45，BD＝5，∴DH＝4，∴BH＝DB2-DH2＝3.设OH＝x，则OD＝OB＝x＋3.在Rt△ODH中，由勾股定理得x2＋42＝（x＋3）2，解得x＝76，∴OH＝76.故答案为：D. 【分析】连接OD，利用垂径定理可证得AB⊥CD，利用垂直的定义可证得∠OHD＝∠BHD＝90°，利用解直角三角形求出DH的长，利用勾股定理求出BH的长；设OH＝x，可表示出OD的长，在Rt△ODH中，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到OH的长.9．【答案】C【解析】【解答】解：如图，过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD于F，∵tanA=BEAE=1：2，tanB=CFFD=1：2，∴AE=2BE，CF=DF，∵CF2+DF2=CD2，∴CF2+CF2=（62）2，∴CF=6米，∵DC∥AB，∴四边形EFCD为矩形，∴BE=CF=6米，∴AE=12米，∴AB=AE2+BE2=122+62=65米.故答案为：C.【分析】过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD于F，根据题意求出CF=BE=6米，AE=12米，再根据勾股定理即可得出AB的长.10．【答案】C【解析】【解答】解：过A作AQ⊥BC于Q，过E作EM⊥BC于M，连接DE，∵BE的垂直平分线交BC于D，BD=x，∴BD=DE=x，∵AB=AC，BC=8，tan∠ACB=y，∴EMMC=AQCQ=y，BQ=CQ=4，∴AQ=4y，∵AQ⊥BC，EM⊥BC，∴AQ∥EM，∵E为AC中点，∴CM=QM=12CQ=2，∴EM=2y，∴DM=8-2-x=6-x，在Rt△EDM中，由勾股定理得：x2=（2y）2+（6-x）2，即3x-y2=9.故答案为：C.【分析】过A作AQ⊥BC于Q，过E作EM⊥BC于M，连接DE，根据垂直平分线的性质可得BD=DE=x，根据等腰三角形的性质可得BQ=CQ=4，根据三角函数的概念可得AQ=4y，易得AQ∥EM，结合E为AC的中点可得CM=QM=2，则EM=2y，DM=6-x，然后在Rt△EDM中，由勾股定理就可得到x与y的关系式.11．【答案】60【解析】【解答】解：∵cosα=0.5=12， ∴锐角α =60°  故答案为：60.  【分析】根据特殊角三角函数值直接得出答案.12．【答案】4【解析】【解答】解： |3-2|+(12)-1+2sin60°= 2-3+2+2×32= 2-3+2+3= 4故答案为:4.【分析】先去绝对值、进行负整数指数幂的运算、代入三角函数的特殊值，再合并同类根式和进行有理数的加减运算即得结果.13．【答案】1500【解析】【解答】解：∵∠NAB=75°，∠SAC=15°，∴∠BAC=180°-75°-15°=90°，在Rt△ABC中，∵AB=900，AC=1200，∴BC=AB2+AC2=9002+12002=1500.故答案为：1500.【分析】根据已知条件及角的和差，得到∠BAC=90°，在Rt△ABC中利用勾股定理求出BC的长即可.14．【答案】10-2【解析】【解答】解：正方形ABCD中，BC=CD=4，∠ABC=∠BCD=90° ，连接BD，交EF于点O，如图所示： 则 ∠ABD=∠CBD=12∠ABC=12×90°=45° ，在 Rt△BCD 中，由勾股定理，得： BD=BC2+CD2=42+42=42 ，∵EF平分正方形ABCD的面积，∴EF一定经过正方形得中心，即点O是正方形的中心，∴OB=OD=12BD=12×42=22 ，∵EF⊥BP交BP于G，∴∠OGB=90° ，∴以OB为直径作 ⊙M ，如上图，则点G在 ⊙M 上， BM=GM=12OB=12×22=2 ，∴连接CM，如上图，则点G在CM与 ⊙M 的交点处时，CG的值最小，此时， MG=BM=2 ，过点M 作MN⊥BC于点N，如上图，则 ∠BNM=∠CNM=90° ，在 Rt△BMN 中， BN=BM⋅cos∠CBD=2×22=1 ，MN=BM⋅sin∠CBD=2×22=1 ，∴CN=BC-BN=4-1=3 ，在 Rt△CMN 中，由勾股定理，得： CM=CN2+MN2=32+12=10 ，∴CG=CM-MG=10-2 ，即 CG 的最小值是 10-2 .故答案为： 10-2. 【分析】连接BD，交EF于点O，则∠ABD=∠CBD=45°，由勾股定理求出BD，由题意可得EF一定经过正方形的中心，据此可得OB=OD，以OB为直径作 ⊙M，则点G在⊙M上， 可得BM=GM=2，连接CM，则点G在CM与⊙M的交点处时，CG的值最小，此时MG=BM=2，过点M 作MN⊥BC于点N，利用三角函数的概念可得BN、MN，进而求出CN，由勾股定理求出CM，然后根据CG=CM-MG进行计算.15．【答案】解：原式＝ 5+12-1＝ 412【解析】【分析】先计算绝对值、特殊角的三角函数值、0指数幂，再合并同类项即可.16．【答案】解：原式=22-4×22+2+2=4【解析】【分析】cos45°=22，负数的绝对值去掉负号，运算即可。17．【答案】（1）1（2）sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289° =（sin21°+sin289）+（sin22°+sin288°）+…+sin245°=1+1+…1+ 12=44+ 12= 892 ．【解析】【解答】解：（1）∵根据已知的式子可以得到sin（90°﹣α）=cosα，∴sin2α+sin2（90°﹣α）=1；（2）sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°=（sin21°+sin289）+（sin22°+sin288°）+…+sin245°=1+1+…1+ 12 =44+ 12 = 892 ． 【分析】（1）根据已知的式子可以得到sin（90°﹣α）=cosα，根据同角的正弦和余弦之间的关系即可求解；（2）利用（1）的结论即可直接求解．18．【答案】（1）解：原式=32+2-1-4×22=42-1-22=22-1（2）解：将方程化为（x-1）（x-9）=0∴x-1=0或x-9=0 解之：x1=1 ， x2=9.【解析】【分析】（1）先算乘方和开方运算，同时代入特殊角的三角函数值，再合并同类二次根式.（2）观察方程特点：右边为0，方程的左边可以分解因式，因此利用因式分解法解方程.19．【答案】解：过B作地平面的垂线段BC，垂足为C，在Rt△ABC中， ∵∠ACB=90°， ∴BC=AB•sin∠BAC=12×0.515≈6.2（米）， 答：大厅两层之间的距离BC的长约为6.2米．【解析】【分析】 过B作地平面的垂线段BC，垂足为C， 根据正弦函数的定义由 BC=AB•sin∠BAC 即可算出答案。20．【答案】解：过点A作AH⊥BC于H，∵S△ABC=27，∴12×9×AH=27 ，∴AH=6，∵AB=10，∴BH= AB2-AH2 = 102-62 =8，∴tanB= AHBH = 68 = 34 ．【解析】【分析】 过点A作AH⊥BC于H，根据△ABC的面积为27可求出AH的长，在直角三角形ABH中用勾股定理求出BH的长，则tanB的值可求。21．【答案】解：∵sinα+cosα=1713 ，∴（sinα+cosα）2= 289169 ，即sin2α+cos2α+2sinα•cosα= 289169 ，而sin2α+cos2α=1，∴2sinα•cosα= 120169 ，∴1﹣2sinα•cosα= 49169 ，即sin2α+cos2α﹣2sinα•cosα= 49169 ，∴（sinα﹣cosα）2= 49169 ，∵0°＜α＜45°，∴sinα＜cosα，∴sinα﹣cosα=﹣ 713 ，而 sinα+cosα=1713 ，∴2sinα= 1013 ，∴sinα= 513 ．【解析】【分析】把已知条件两边平方得到sin2α+cos2α+2sinα•cosα= 289169 ，再利用sin2α+cos2α=1，则2sinα•cosα= 120169 ，所以sin2α+cos2α﹣2sinα•cosα= 49169 ，即（sinα﹣cosα）2= 49169 ，当0°＜α＜45°，sinα＜cosα，于是sinα﹣cosα=﹣ 713 ，加上 sinα+cosα=1713 ，利用加减法即可求得sinα．22．【答案】解：∵∠C=90°，sinA=23设BC=2x，AB=3x∴(3x)2-(2x)2=102 解得x1= -25（舍去），x2=25∴BC=45 AB=65∴S△ABC=12BC⋅AC=12⋅45⋅10=205【解析】【分析】 设BC=2x，AB=3x，根据勾股定理列出方程，解方程求出x的值，从而得出BC的长，再根据三角形的面积公式进行计算，即可得出答案.23．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，∴∠A=∠ADC=90°．∵CF⊥DE，垂足为F，∴∠CFD=90°=∠D．∵∠AED+∠ADE=90°，∠ADE+∠FDC=∠ADC=90°， ∴∠AED=∠FDC．∴△ADE∽△FCD．（2）解：∵△ADE∽△FCD，∴∠ADE=∠FCD，∴tan∠ADE=tan∠FCD=13．在Rt△ADE中，∠A=90°，AD=6，∴AE=AD⋅tan∠ADE=6×13=2，即AE的长为2．【解析】【分析】（1）根据四边形ABCD为矩形，得出∠A=∠ADC=90°，再推出∠CFD=90°=∠D，则∠AED=∠FDC，即可得出结论； （2）由三角形相似得出△ADE∽△FCD，得出∠ADE=∠FCD，在Rt△ADE中，∠A=90°，AD=6，求出AE的值，即可得解。