湖南省长沙市重点中学2023-2024学年九年级上学期第三次月考数学试题(含答案)

这是一份湖南省长沙市重点中学2023-2024学年九年级上学期第三次月考数学试题(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答，考试结束后，将答题卡上交，若二次函数，关于的一元二次方程的根的情况为，反比例函数与二次函数等内容，欢迎下载使用。
（本试卷共6页，25题，全卷满分：120分，考试用时：120分钟）
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，将答题卡上交.
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1.下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A.等边三角形B.平行四边形C.正方形D.圆
2.在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ）
A.B.C.D.
3.下列说法正确的是（ ）
A.三点确定一个圆
B.平分弦的直径垂直于弦，并平分弦所对的弧
C.三角形的内心到三角形三条边的距离相等
D.相等的圆心角所对的弧也相等
4.对于的性质，下列叙述正确的是（ ）
A.顶点坐标为B.对称轴为直线
C.当时，有最大值2D.当时，随增大而减小
5.若，是一元二次方程的两根，则的值是（ ）
A.13B.C.14D.
6.若二次函数（）中，函数与自变量的部分对应值如表，则方程的一个解的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
7.关于的一元二次方程的根的情况为（ ）
A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根
C.无实数根D.无法确定根的情况
8.如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线；分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线.直线与相交于点，若以点为圆心，为半径作圆，则下列说法错误的是（ ）
A.点在上B.是的外心
C.是的弦D.是的切线
9.反比例函数与二次函数（）在同一平面直角坐标系中的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
10.如图，在正方形中，是上一动点，是的中点，绕点顺时针旋转90°得，连接，，.下列结论：①；②；③；④；⑤若正方形的边长为4，则点在射线上运动时，有最小值.其中正确的结论有（ ）
A.2个B.3个C.4个D.5个
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11.一个正多边形的中心角为36°，则这个正多边形的边数是______.
12.如图，中，，，，于点，以点为圆心，5为半径作，则点在______.（填“外”“内”或“上”）.
13.某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强是气球体积的反比例函数，且当时，.当气球内的气体压强大于时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于______.
14.如图，是的直径，，，则的度数是______..
15.如图，是的直径，点是外一点，过点的两条直线分别与圆相切于点，，点是圆周上任意一点，连接，，若，则______.
16.如图，已知为四边形的外接圆，为圆心，若，，则的半径长为______.
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（6分）计算：.
18.（6分）解方程.
（1）
（2）
19.（6分）如图，在中，为上一点，且，，.
（1）求证：；
（2）若的面积为18，求的面积.
20.（8分）湘江是湖南最大的河流，湖南的简称“湘”因此而来，她流经永州、衡阳、株洲、湘潭、长沙等市，至岳阳注入洞庭湖，干流全长844公里，流域面积94660平方公里.在一次数学活动课上，老师带领学生去测量湘江某段的宽度（假设两岸是平行的），如图，某学生在河东岸点处观测河对岸的点，测得在北偏西30°的方向上，沿河岸向北前行500米到达处，测得在北偏西60°的方向上.
（1）求的长；
（2）求此段湘江的宽度.（参考数据：，）
21.（8分）某学校准备开设篮球、足球、排球、游泳等4项体育特色课程，为了解学生的参与情况，该校随机抽取了部分学生的报名情况（每人选报一个项目），小颖根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图中信息，解答下列问题：
（1）请将图形补充完整；
（2）若该学校共有学生1000名，请估计参加“游泳”的有多少人？
（3）有4名优秀同学（两男两女）通过初选顺利进入了游泳选拔赛，学校将推荐2名同学参加市级新一轮比赛.请用画树状图或列表法求出参加市级比赛的两人恰为一男一女的概率.
22.（9分）如图，为的直径，点，都在上，，交于点，点在的延长线上，且.
（1）若的半径为4，求的长；
（2）求证：为的切线；
（3）若且，求的半径.
23.（9分）兴农农场准备利用如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形家禽养殖场（篱笆只围，两边），并在，两边上各开一个宽的门，设，养殖场的面积为.
（1）求关于的函数表达式；
（2）求的最大值；
（3）若在直角墙角内点处有一水池，且与墙，的距离分别是，，要将这个水池围在矩形养殖场内（含边界，不考虑水池的尺寸），则养殖场的面积能否为？若能，求出的值；若不能，请说明理由.
24.（10分）如图，抛物线交轴负、正半轴于，两点，交轴于点，连接，，的外接圆的圆心为.
备用图
（1）求该二次函数的解析式；
（2）在段的抛物线上是否存在一点，使，若存在请求出点坐标，若不存在，说明理由；
（3）圆上是否存在点，使与相似？若存在，直接写出点坐标；若不存在，说明理由.
25.（10分）定义：在平面直角坐标系中，我们把经过抛物线（）与轴的交点且平行于轴的直线称为这条抛物线的平割线.
（1）抛物线的平割线与这条抛物线的交点坐标为______；
（2）经过点和（）的抛物线与轴交于点，它的平割线与该抛物线另一个交点为，请用含的代数式表示点的坐标；
（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为，直线垂直平分，垂足为，交该抛物线的对称轴于点.
①当时，求点的坐标；
②若直线与直线关于平割线对称，是否存在使点到直线的距离与点到直线的距离相等的的值？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由.
2023—2024学年九年级上学期12月份质量监测
数学参考答案
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1. A 2. D 3. C 4. B 5. A 6. C 7. A 8. D 9. C 10. B
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11. 10 12.内 13. 0.5 14. 71 15. 36 16.
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.【答案】原式………………（4分）（每计算对一个计1分）
………………（6分）
18.【答案】
（1）………………（1分）
或………………（2分）
，………………（3分）（少或错一个，扣1分）
（2）………………（4分）
或………………（5分）
，………………（6分）（少或错一个，扣1分）
19.【答案】（1）解：，，
，，………………（1分）
又，；………………（3分）
（2），，………………（4分）
，，………………（5分）
.………………（6分）
20.【答案】（1）过点作，交的延长线于点，
由题意得，，，（米），
，………………（2分）
，（米）
即的长为500米. ………………（4分）
（2）由（1）得，（米），
在中，，………………（6分）
解得：（米）.
此段湘江的宽度约为433米. ………………（8分）（不作答扣1分）
21.【答案】（1）本次抽样调查的总人数为（人）.
参加排球项目的学生人数为（人）.
条形统计图如图所示：
………………（2分）
（2）（人）
参加“游泳”的人数大约为350人. ………………（4分）
（3）将两名男生分别记为，，两名女生分别记为，，画树状图如下：
………………（6分）
共有12种等可能的结果，其中参加市级比赛的两人恰为一男一女的结果有：
，，，，，，，，共8种，
参加市级比赛的两人恰为一男一女的概率为.………………（8分）
22.【答案】（1）解：，为的直径，
，，………………（1分）
的长为，………………（3分）
（2）证明：如图，连接，
，，
，，
，，
，即，
，
是半径，为的切线；………………（6分）
（3）设的半径，则，
，
在中，由勾股定理得，，
，………………（8分）
解得，或（舍去），
的半径为6. ………………（9分）
23.【答案】（1）依题意得，，………………（1分）
，
关于的函数表达式为；………………（3分）
（2），………………（4分）
，.………………（6分）
（3）若养殖场的面积为，则，
解得，或，………………（8分）
根据题意，，且，
，
当时，养殖场的面积为.………………（9分）（未舍去，扣1分）
24.【答案】（1）抛物线交轴于点，，………………（1分）
，
，，，………………（2分）
代入解析式得，，解得，
该二次函数的解析式为；………………（3分）
（2）存在；二次函数的解析式为，，
，设，
点在段的抛物线上，，
如图，过作轴于，
则：
，………………（5分）
，解得，或（舍去），
点坐标为；………………（6分）
（3）存在；如图，
抛物线，，
，，
的垂直平分线是抛物线的对称轴，
是直角三角形，与相似，
是直角三角形，
不是直径，点是的直径的一个端点，
①当是直角，则是直径，，
，，
，，，
设点，，解得，或（舍去），，
，直线的式为，
设点，
，解得，或（舍去），；
②当时，同①的方法即可得出；
综上，满足条件的，.………………（10分）（每个结果2分）
25.【答案】（1）和；………………（2分）（每个结果1分）
抛物线的对称轴为直线，与轴交点为，
平割线为；
平割线与这条抛物线的一个交点坐标为，则另一个交点坐标为.
（2）抛物线经过点，
，，
，
对称轴为直线，点的坐标为.………………（4分）
（3）①设与对称轴交于点，若，则，
，或，
当时，，点的坐标为，
当时，，
点的坐标为，
点的坐标为或；………………（7分）（对1个且无错得2分）
②存在，的值为0，或.………………（10分）（每个结果1分）
如图，设与对称轴的交点为，
由（2）知，，，
，
抛物线的平割线：，
直线垂直平分，直线：，
点到直线的距离为，
直线与直线关于平割线对称，
直线：，
，
点到直线的距离为，
点到直线的距离与点到直线的距离相等，
，
或.
…
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
…
…
1.49
0.91
0.41
…