2023-2024学年吉林省松原市扶余市八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年吉林省松原市扶余市八年级（上）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知三角形两边的长分别是5和9，则此三角形第三边的长可能是( )
A. 1B. 4C. 8D. 14
2.下列图形中，不是轴对称图形的是( )
A. ①⑤B. ②⑤C. ④⑤D. ①②
3.若多项式乘法(x+2y)(2x−ky−1)的结果中不含xy项，则k的值为( )
A. 4B. −4C. 2D. −2
4.如图，在△ABC与△DEF中，已有条件AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEF，不能添加的一组条件是( )
A. ∠B=∠E，BC=EFB. BC=EF，AC=DF
C. ∠A=∠D，∠B=∠ED. ∠A=∠D，BC=EF
5.下列计算正确的是( )
A. 3a2−a2=2B. a2⋅a3=a6
C. (a2)3=a6D. (a−2b)2=a2−4b2
6.下列说法正确的是
( )
A. 三角形的三条中线交于一点
B. 三角形的三条高都在三角形内部
C. 三角形不一定具有稳定性
D. 三角形的角平分线可能在三角形的内部或外部
7.在课外活动跳绳时，相同时间内小季跳100下，小范比小季多跳20下.已知小范每分钟比小季多跳30下，设小季每分钟跳x下，下列方程正确的是( )
A. 100x=100−20x−30B. 100x=100+20x+30C. 100x=100+20x−30D. 100x=100−20x+30
8.如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，垂足为点E，CD平分∠ACB，若∠A=50°，则∠B的度数为( )
A. 25°B. 30°C. 35°D. 40°
9.如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是( )
A. 甲和乙B. 乙和丙C. 只有乙D. 只有丙
10.把分式xyx2−y2中的x、y的值都扩大到原来的2倍，则分式的值( )
A. 不变B. 扩大到原来的2倍C. 扩大到原来的4倍D. 缩小到原来的12
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.计算：(2+3x)(−2+3x)= ______ ．
12.如图，点D在BC上，DE⊥AB于点E，DF⊥BC交AC于点F，BD=CF，BE=CD.若∠AFD=145°，则∠EDF=______．
13.已知A，B两地相距160km，一辆汽车从A地到B地的速度比原来提高了25%，结果比原来提前0.4h到达，这辆汽车原来的速度是_____km/h．
14.如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面积是28cm2，AB=20cm，AC=8cm，则DE的长为______．
15.如图所示，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点G，下列结论：
①BE=DE；②AE=AF；③EG=AG；④AD⊥EF；⑤∠EDA=∠FDA，其中正确的结论是______ (只填序号)．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
16.先化简再求值：
(1)4(m+1)2−(2m+5)(2m−5)，其中m=−3．
(2)化简：x2−1x2+2x÷x−1x，其中x=2．
四、解答题：本题共7小题，共67分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
解方程
(1)3x−2=9x；
(2)xx+1=2x3x+3−1．
18.(本小题9分)
如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E．
(1)求证：△ACD≌△CBE；
(2)若AD=12，DE=7，求BE的长．
19.(本小题9分)
先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：(x+y)2+2(x+y)+1．
解：将“x+y”看成整体，设x+y=m，则原式=m2+2m+1=(m+1)2．
再将x+y=m代入，得原式=(x+y+1)2．
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法.请你写出下列因式分解的结果：
(1)因式分解：1−2(x−y)+(x−y)2= ______ ；
(2)因式分解：25(a−1)2−10(a−1)+1= ______ ；
(3)因式分解：(y2−4y)(y2−4y+8)+16= ______ ．
20.(本小题10分)
如图，在四边形ABCD中，AD//BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.求证：
(1)FC=AD；
(2)AB=BC+AD．
21.(本小题10分)
某校利用暑假进行田径场的改造维修，项目承包单位派遣一号施工队进场施工，计划用30天时间完成整个工程.当一号施工队工作10天后，承包单位接到通知，有一大型活动要在该田径场举行，要求比原计划提前8天完成整个工程，于是承包单位派遣二号与一号施工队共同完成剩余工程，结果按通知要求如期完成整个工程．
(1)若二号施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？
(2)若此项工程一号、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要多少天？
22.(本小题10分)
如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．

(1)如图1，若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°，求证：AD=BE；
(2)如图2，若∠ACB=∠DCE=90°，CF为△DCE中DE边上的高，试猜想AE，CF，BE之间的关系，并证明你的结论．
23.(本小题11分)
如图，在△ABC中，AB=AC，BF⊥AE于点E，交AF于点F，∠EAF=12∠BAC，连接CF．
(1)如图1，当∠EAF在∠BAC内部时，求证：EF=BE+CF；
(2)如图2，当∠EAF的边AE，AF分别在∠BAC外部和内部时，求证：CF=BF+2BE．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查的是三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
先根据三角形的三边关系求出x的取值范围，再求出符合条件的x的值即可．
【解答】
解：此三角形第三边的长为x，则
9−5只有选项C符合题意．
故选：C．
2.【答案】A
【解析】解：①⑤的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
②③④的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：A．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3.【答案】A
【解析】解：(x+2y)(2x−ky−1)
=2x2−kxy−x+4xy−2ky2−2y
=2x2+(4−k)xy−x−2ky2−2y，
∵结果中不含xy项，
∴4−k=0，
解得，k=4，
故选：A．
根据多项式乘多项式的运算法则计算出结果，根据不含xy项即xy项的系数为0求出k的值即可．
本题主要考查了多项式乘多项式的运算，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0．
4.【答案】D
【解析】解：(1)在△ABC和△DEF中，
AB=DE∠B=∠EBC=EF，
∴△ABC≌△DEF(SAS)；故A正确；
(2)在△ABC和△DEF中，
AB=DEBC=EFAC=DF，
∴△ABC≌△DEF(SSS)；故B正确；
(3)在△ABC和△DEF中，
∠A=∠DAB=DE∠B=∠E，
∴△ABC≌△DEF(ASA)；故C正确；
(4)无法证明△ABC≌△DEF，故D错误；
故选：D．
分别对各选项中给出条件证明△ABC≌△DEF，进行一一验证即可解题．
本题考查了全等三角形的判定，常用判定三角形全等方法有SSS，SAS，ASA，AAS，本题中对各选项进行验证是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】根据合并同类项法则，同底数幂的乘法，幂的乘方和完全平方公式逐个判断即可．
解：A.3a2−a2=2a2，故本选项不符合题意；
B.a2⋅a3=a5，故本选项不符合题意；
C.(a2)3=a6，故本选项符合题意；
D.(a−2b)2=a2−4ab+4b2，故本选项不符合题意；
故选：C．
本题考查了合并同类项法则，同底数幂的乘法，幂的乘方和完全平方公式等知识点，能熟记知识点是解此题的关键．
6.【答案】A
【解析】【解答】
解：A.三角形的三条中线交于一点，正确；
B.只有锐角三角形的三条高都在三角形内部，错误；
C.三角形一定具有稳定性，错误；
D.三角形的角平分线一定在三角形的内部，错误；
故选A．
【分析】
本题主要考查了三角形角平分线、中线以及高线的概念，锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
依据三角形角平分线、中线以及高线的概念，即可得到正确结论．
7.【答案】B
【解析】解：由于小季每分钟跳x下，所以小群每分钟跳(x+20)下．
根据题意，得100x=100+20x+30．
故选：B．
如果设小季每分钟跳x下，那么小范每分钟跳(x+30)下．题中有等量关系：小季跳100下所用的时间=小范跳120下所用的时间，据此可列出方程．
本题考查了分式方程在实际生活中的应用．注意认真审题是前提，找出等量关系是关键．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了角平分线定义、线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解题的关键．
依据线段垂直平分线的性质，即可得到AD=CD，进而得到∠A=∠ACD，再根据角平分线的定义，即可得出∠ACB的度数，根据三角形内角和定理，即可得到∠B的度数．
【解答】
解：∵DE垂直平分AC，
∴AD=CD，
∴∠ACD=∠A=50°，
又∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB=2∠ACD=100°，
∴∠B=180°−∠A−∠ACB=180°−50°−100°=30°．
故选B
9.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL．
根据定理逐个判断即可．
【解答】
解：图甲不符合三角形全等的判定定理，即图甲和△ABC不全等；
图乙符合SAS定理，即图乙和△ABC全等；
图丙符合AAS定理，即图丙和△ABC全等；
故选B．
10.【答案】A
【解析】解：x、y都扩大2倍，2x⋅2y(2x)2−(2y)2=4xy4(x2−y2)=xyx2−y2，
所以，分式的值不改变．
故选：A．
把分式中的x换成2x，y换成2y，然后根据分式的基本性质进行化简即可．
本题考查了分式的基本性质，熟记性质是解题的关键．
11.【答案】9x2−4
【解析】【分析】
此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
原式利用平方差公式化简即可．
【解答】
解：原式=(3x+2)(3x−2)=9x2−4．
故答案为：9x2−4．
12.【答案】55°
【解析】解：如图，
∵∠DFC+∠AFD=180°，∠AFD=145°，
∴∠CFD=35°．
又∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠BED=∠CDF=90°，
在Rt△BDE与△Rt△CFD中，
BE=CDBD=CF，
∴Rt△BDE≌△Rt△CFD(HL)，
∴∠BDE=∠CFD=35°，
∴∠EDF=90°−∠BDE=55°．
故答案是：55°．
由图示知：∠DFC+∠AFD=180°，则∠CFD=35°.通过全等三角形Rt△BDE≌△Rt△CFD(HL)的对应角相等推知∠BDE=∠CFD=35°，结合直角的定义得解．
本题考查了全等三角形的判定与性质及直角三角形的性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
13.【答案】80
【解析】【分析】
本题考查分式方程的应用，分析题意，掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度=路程时间；工作量问题：工作效率=工作量工作时间等等，是解决问题的关键．
设这辆汽车原来的速度是xkm/h，由题意列出分式方程，解方程求出x的值即可．
【解答】
解：设这辆汽车原来的速度是xkm/h，由题意列方程得：
160x−0.4=160x(1+25%)，
解得：x=80
经检验，x=80是原方程的解，
所以这辆汽车原来的速度是80km/h．
故答案为80．
14.【答案】2cm
【解析】解：∵在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE=DF，
∴S△ABC=S△ABD+S△ACD=12AB⋅DE+12AC⋅DF，
∵△ABC面积是28cm2，AB=20cm，AC=8cm，
∴12×20DE+12×8DF=10DE+4DF=14DE=28，解得DE=2cm．
故答案为：2cm．
先根据角平分线的性质得出DE=DF，再根据三角形的面积公式即可得出结论．
本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．
15.【答案】②④⑤
【解析】解：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∴∠AED=∠AFD=90°，
在△ADE和△ADF中，
∠DAE=∠DAF∠AED=∠AFDAD=AD，
∴△ADE≌△ADF(AAS)，
∴AE=AF，DE=DF，∠EDA=∠FDA，故②⑤正确，
∴AD垂直平分线段EF，
∴EG=FG，AD⊥EF，故④正确，
无法判断①③正确，
故答案为：②④⑤．
证明△ADE≌△ADF(AAS)，利用全等三角形的性质以及线段的垂直平分线的判定一一判断即可．
本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
16.【答案】解(1)原式=4(m2+2m+1)−(4m2−25)
=4m2+8m+4−4m2+25
=8m+29，
当m=−3时，8m+29=8×(−3)+29=5；
(2)原式=(x+1)(x−1)x(x+2)×xx−1
=x+1x+2，
当x=2时，x+1x+2=34；
【解析】本题考查了整式的混合运算和分式的混合运算，化简后代入值求解即可．
17.【答案】解：(1)方程两边同乘x(x−2)，得3x=9(x−2)，
解得：x=3，
检验：当x=3时，x(x−2)≠0，
所以，原分式方程的解为x=3；
(2)方程两边同乘以最简公分母3(x+1)，得
3x=2x−(3x+3)，
解得x=−34，
检验：当x=−34时，3(x+1)=3×(−34+1)=34≠0．
∴x=−34是原分式方程的解．
【解析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
本题主要考查分式方程的解法，解题的关键是找准最简公分母，将原分式方程化为整式方程．
18.【答案】解：(1)∵∠ACB=90°，BE⊥CE，
∴∠ECB+∠ACD=90°，∠ECB+∠CBE=90°，
∴∠ACD=∠CBE，
∵AD⊥CE，BE⊥CE，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∵AC=BC，
∴△ACD≌△CBE；
(2)∵△ACD≌△CBE，
∴AD=CE，CD=BE，
∵AD=12，DE=7，
∴BE=CD=CE−DE=12−7=5．
【解析】(1)根据垂直定义求出∠BEC=∠ACB=∠ADC，根据等式性质求出∠ACD=∠CBE，根据AAS证明△BCE≌△CAD；
(2)根据全等三角形的对应边相等得到AD=CE，CD=BE，再根据AD=12，DE=7，即可解答．
本题考查了全等三角形的性质和判定，垂线的定义等知识点的应用，解此题的关键是推出证明△ADC和△CEB全等的三个条件．
19.【答案】(1−x+y)2 (5a−6)2 (y−2)4
【解析】解：(1)设x−y=a，
原式=1−2a+a2=(1−a)2；
将x−y=a代入，原式=(1−x+y)2；
(2)设a−1=m，
原式=25m2−10m+1=(5m−1)2；
a−1=m代入，原式=(5a−6)2；
(3)设y2−4y=a，
原式=a(a+8)+16
=a2+8a+16
=(a+4)2，
将y2−4y=a代入，原式=(y2−4y+4)2=(y−2)4．
故答案分别为：(1−x+y)2；(5a−6)2；(y−2)4．
(1)设x−y=a，原式变形为1−2a+a2，用完全平方公式分解因式，再把x−y=a代入原式；
(2)设a−1=m，原式变形为25m2−10m+1，用完全平方公式分解因式，再把a−1=m代入原式；
(3)设y2−4y=a，原式变形为a(a+8)+16，去括号后用完全平方公式分解因式，再把y2−4y=a代入原式．
本题主要考查了因式分解−分组分解法、提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，整体思想在因式分解中的应用是解题关键．
20.【答案】证明：(1)∵AD/​/BC(已知)，
∴∠ADC=∠ECF(两直线平行，内错角相等)，
∵E是CD的中点(已知)，
∴DE=EC(中点的定义)．
∵在△ADE与△FCE中，
∠ADE=∠FCEDE=CE∠AED=∠FEC,
∴△ADE≌△FCE(ASA)，
∴AD=FC．
(2)∵△ADE≌△FCE，
∴AE=FE，AD=FC(全等三角形的对应边相等)，
∵BE⊥AE，
∴BE是线段AF的垂直平分线，
∴AB=BF=BC+CF，
∵AD=CF(已证)，
∴AB=BC+AD(等量代换)．
【解析】此题主要考查线段的垂直平分线的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
(1)根据AD//BC可知∠ADC=∠ECF，再根据E是CD的中点利用ASA可证明△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质即可解答；
(2)根据线段垂直平分线的性质判断出AB=BF则易得结论．
21.【答案】解：(1)设二号施工队单独施工需要x天，
根据题意得：30−830+30−8−10x=1，
解得：x=45，
经检验，x=45是原分式方程的解．
答：若由二号施工队单独施工，完成整个工期需要45天．
(2)根据题意得：1÷(130+145)=18(天)，
答：若由一、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要18天．
【解析】点拨
(1)设二号施工队单独施工需要x天，根据题意列方程即可得到结论；
(2)根据题意列式计算即可．
本题考查了分式方程的应用，正确的理解题意是解题的关键．
22.【答案】(1)证明：∵∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°，
∴∠ACB=∠DCE=180°−2×50°=80°
∵∠ACB=∠ACD+∠DCB，
∠DCE=∠DCB+∠BCE，
∴∠ACD=∠BCE．
∵△ACB，△DCE都是等腰三角形，
∴AC=BC，DC=EC．
在△ACD和△BCE中，
AC=BC∠ACD=∠BCEDC=EC
∴△ACD≌△BCE(SAS)．
∴AD=BE．
(2)解：AE=BE+2CF.理由如下：
∵△DCE是等腰直角三角形，
∴∠CDE=∠CED=45°．
∵CF⊥DE，
∴∠CFD=90°
∴△CDF和△CEF都是等腰直角三角形．
∴DF=EF=CF．
由(1)可知AD=BE，
∴AE=AD+DE=BE+2CF．
【解析】(1)证明△ACD≌△BCE，推出∠ADC=∠BEC，由点A、D、E在同一直线上，且∠CDE=50°，推出∠ADC=180°−∠CDE=130°，推出∠BEC=130°，根据∠AEB=∠BEC−∠CED计算即可．
(2)由(1)可知AD=BE，只要证明DE=2CF即可解决问题．
本题考查等腰三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于中考常考题型．
23.【答案】(1)证明：如图，线段BE上取一点H，使EH=BE，连接AH，如图1所示：

∵EH=BE，BF⊥AE，
∴AE为线段BH的垂直平分线，
∴AB=AH，
∴∠BAE=∠HAE，
又∵AB=AC，
∴AH=AC，
∵∠EAF=12∠BAC，
∴∠EAF=∠BAE+∠CAF，
∴∠EAH+∠HAF=∠HAE+∠CAF，
即∠HAF=∠CAF，
在△AHF和△ACF中，
AH=AC∠HAF=∠CAFAF=AF，
∴△AHF≌△ACF(SAS)，
∴HF=CF，
∴EF=EH+HF=BE+CF；
(2)在BE的延长线上取一点N，使EN=BE，连接AN，如图2所示：

∵EN=BE，
∴BN=BE+EN=2BE，
∵EN=BE，BF⊥AE，
∵AE为线段BN的垂直平分线，
∴AN=AB，
∴∠NAE=∠BAE，
∴∠NAB=2∠BAE，
又∵AB=AC，
∴AN=AC，
∵∠EAF=12∠BAC，
∴2∠EAF=∠BAC=∠BAE+∠CAF，
∴2(∠BAE+∠BAF)−∠BAE=∠CAF，
∴2∠BAE+∠BAF=∠CAF，
即∠NAB+∠BAF=∠CAF，
∴∠NAF=∠CAF，
在△ANF和△ACF中，
AN=AC∠NAF=∠CAFAF=AF，
∴△ANF≌△ACF(SAS)，
∴NF=CF，
∵BF=BN+BF=2BE+BF，
∴CF=BF+2BE．
【解析】(1)线段BE上取一点H，使EH=BE，连接AH，先证AE为线段BH的垂直平分线，从而得AB=AH=AC，∠BAE=∠HAE，再证∠HAF=∠CAF，进而可依据“SAS”判定△AHF和△ACF全等，从而得HF=CF，由此即可得出结论；
(2)在BE的延长线上取一点N，使EN=BE，连接AN，则BN=2BE，先证AE为线段BN的垂直平分线，从而得AN=AB=AC，∠NAB=2∠BAE，再证∠NAF=∠CAF，进而可依据“SAS”判定△ANF和△ACF全等，从而得NF=CF，由此即可得出结论．
此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．