2023-2024学年黑龙江省齐齐哈尔市梅里斯区八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年黑龙江省齐齐哈尔市梅里斯区八年级（上）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列运算中，正确的是( )
A. x3⋅x2=x5B. x+x2=x3C. 2x3÷x2=xD. (x2)3=x32
2.在以下节水、绿色食品、质量安全、可回收物等四个标志中，是轴对称图形的有个．( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
3.等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm.则该等腰三角形的底长为( )
A. 3 cm或5 cmB. 3 cm或7 cmC. 3 cmD. 5 cm
4.把分式xx−y中的x，y的值都扩大3倍，那么分式的值是( )
A. 扩大到原来的3倍B. 扩大到原来的9倍C. 不变D. 缩小到原来的13
5.若二次三项式4x2+mxy+9y2是一个完全平方式，则m的可能值是( )
A. ±6B. 12C. 6D. ±12
6.如图，△ABC是一张三角形纸片，∠C=90°，∠A=36°，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，连接BD，则∠CBD的度数为( )
A. 16°
B. 18°
C. 15°
D. 17°
7.若一个正多边形的一个内角与它相邻的外角的比是5：1，则这个正多边形的边数为( )
A. 14B. 12C. 10D. 8
8.“绿水青山就是金山银山”.为改造太湖水质，某工程队对2400平方公里的水域进行水质净化，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了20%，结果提前了40天完成任务.设实际每天净化的水域面积为x平方公里，则下列方程中正确的是( )
A. 2400x−2400(1+20%)x=40B. 2400x−2400×(1+20%)x=40
C. 2400×(1+20%)x−2400x=40D. 2400(1+20%)x−2400x=40
9.如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC的面积为16，BC=4，分别以点A、B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，连接EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点.则BM+MD长度的最小值为( )
A. 6
B. 8
C. 10
D. 12
10.如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在边AB、BC上，CD、AE交于点F，∠AFD=60°.FG为△AFC的角平分线，点H在FG的延长线上，HG=CD，连接HA、HC.①BD=CE；②∠AHC=60°；③FC=CG；④S△CBD=S△CGH；其中说法正确的有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题：本题共7小题，每小题3分，共21分。
11.一个氧原子的直径为0.000000000148m，用科学记数法表示为______m.
12.若分式2x+1x−2有意义，则x的取值范围是______ ．
13.分解因式3x2−27y2=______．
14.将一副三角尺按如图的方式拼摆，则∠CED的度数为 °.
15.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，点D在BC边上，连接AD.若△ABD为直角三角形，则∠ADC的度数为___________
16.若关于x的分式方程1x+3−1=ax+3，有负数解，则实数a的取值范围是______．
17.如图，已知∠AOB=90°，点A绕点O顺时针旋转后的对应点A1落在射线OB上，点A绕点A1顺时针旋转后的对应点A2落在射线OB上，点A绕点A2顺时针旋转后的对应点A3落在射线OB上，…，连接AA1，AA2，AA3…，依此作法，则∠AAnAn+1等于______ 度．(用含n的代数式表示，n为正整数)
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
18.荣庆公司计划从商店购买同一品牌的台灯和手电筒，已知购买一个台灯比购买一个手电筒多用20元，若用400元购买台灯和用160元购买手电筒，则购买台灯的个数是购买手电筒个数的一半．
(1)求购买该品牌一个台灯、一个手电筒各需要多少元？
(2)经商谈，商店给予荣庆公司购买一个该品牌台灯赠送一个该品牌手电筒的优惠，如果荣庆公司需要手电筒的个数是台灯个数的2倍还多8个，且该公司购买台灯和手电筒的总费用不超过670元，那么荣庆公司最多可购买多少个该品牌台灯？
四、解答题：本题共6小题，共41分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题6分)
(1)计算：(12)3+(−5)0−(−14)−2；
(2)计算：[x(x2y2−xy)−y(x2−x3y)]÷2x2y.
20.(本小题6分)
(1)先化简，再求值：x2−6x+9x2−1÷x2−3xx+1，其中，x=−3；
(2)解方程：xx+1=2x3x+3−1．
21.(本小题7分)
如图所示，在平面直角坐标系中，A(−1,5)，B(−1,0)，C(−4,3)．
(1)在图中画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，直接写出A1、B1、C1的坐标；
(2)画出两条线段，将△ABC分成面积相等的三部分，要求所画线段的端点在格点上．
22.(本小题6分)
如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，CE⊥AD，分别交AB、AD于点E、F．
(1)求证：EF=CF；
(2)若∠ACB=80°，∠BCE=30°，求∠ABC的度数．
23.(本小题8分)
在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E．
(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；
②DE=AD+BE；
(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，(1)中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
24.(本小题8分)
已知，如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=18cm.动点P从点A出发，沿AB向点B运动，动点Q从点B出发，沿BC向点C运动，如果动点P以2cm/s，Q以1cm/s的速度同时出发，设运动时间为t(s)，解答下列问题：
(1)t为______时，△PBQ是等边三角形？
(2)P，Q在运动过程中，△PBQ的形状不断发生变化，当t为何值时，△PBQ是直角三角形？说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、x3⋅x2=x5，正确；
B、x与x2不是同类项，不能合并，故本选项错误；
C、应为2x3÷x2=2x，故本选项错误；
D、应为(x2)3=x38，故本选项错误．
故选A．
根据同底数幂的乘法、合并同类项、单项式的除法和积的乘方法则进行计算．
本题主要考查整式的运算和幂的运算法则，要注意区分它们各自的特点，以避免出错．
2.【答案】A
【解析】解：左起第一、三、四这3个图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
第二个图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：A．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，难点在于分情况讨论，此类题目，要注意判断是否能组成三角形．
分3cm是腰长时求出底边，3cm是底边时求出腰长，再根据三角形的任意两边之和大于第三边判断是否能够组成三角形，从而得解．
【解答】
解：①3cm是腰长时，底边=13−3×3=7cm，
此时，三角形的三边分别为3cm、3cm、7cm，
∵3+3=6<7，
∴不能组成三角形；
②3cm是底边时，腰长=12(13−3)=5cm，
此时，三角形的三边分别为5cm、5cm、3cm，
能够组成三角形，
综上所述，该等腰三角形的底长为3cm．
故选：C．
4.【答案】C
【解析】解：将分式xx−y中的x，y的值都扩大3倍，则有：
3x3x−3y=3x3(x−y)=xx−y
故选：C．
按照分式的基本性质，结合题意进行变形，可得答案．
本题考查了分式的基本性质在化简中的应用，属于基础知识的考查，比较简单．
5.【答案】D
【解析】解：∵关于x的二次三项式4x2+mxy+9y2是一个完全平方式，
∴m=±2×2×3=±12．
故选：D．
利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值．
此题考查了完全平方式，满足完全平方式的情况只有a2+2ab+b2和a2−2ab+b2两种．
6.【答案】B
【解析】解：∵∠C=90°，∠A=36°，
∴∠ABC=54°，
∵将△ABC折叠，使点B与点A重合，
∴∠A=∠DBA=36°，
∴∠CBD=∠CBA−∠DBA=54°−36°=18°，
故选：B．
由三角形的内角和定理可求∠ABC，由折叠的性质可得∠A=∠DBA=36°，即可求解．
本题考查了翻折变换，三角形内角和定理，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：∵一个正多边形的一个内角与它相邻的外角的比是5：1，
∴它的一个外角为180°×15+1=30°，
则这个正多边形的边数为360°÷30°=12，
故选：B．
由题意求得该正多边形的一个外角，然后利用正多边形的性质及多边形的外角和列式计算即可．
本题考查多边形的内角与外角及正多边形，结合已知条件求得该正多边形的一个外角是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：设实际每天净化的水域面积为x平方公里，根据题意可得：
2400×(1+20%)x−2400x=40．
故选：C．
直接利用提高工作效率后，提前了40天完成任务得出等式求出答案．
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确得出等量关系是解题关键．
9.【答案】B
【解析】解：由作图得：EF是AB的垂直平分线，
∴AM=BM，
∴BM+MD=AM+MD≥AD，
∵AB=AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵△ABC的面积为16，BC=4，
∴AD=8，
故选：B．
先根据两点之间线段最短，找出最小值，再根据三角形的面积公式求解．
本题考查了基本作图，掌握三角形的面积公式是截图的关键．
10.【答案】C
【解析】解：①∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠ACE=60°，BC=AC，
∵∠AFD=∠CAE+∠ACD=60°，∠BCD+∠ACD=∠ACB=60°，
∴∠BCD=∠CAE，
在△BCD和△CAE中，
∠B=∠ACEBC=AC∠BCD=∠CAE，
∴△BCD≌△CAE(ASA)，
∴BD=CE，故①正确；
②作CM⊥AE交AE的延长线于M，作CN⊥HF于N，如图：
∵∠EFC=∠AFD=60°
∴∠AFC=120°，
∵FG为△AFC的角平分线，
∴∠CFH=∠AFH=60°，
∴∠CFH=∠CFE=60°，
∵CM⊥AE，CN⊥HF，
∴CM=CN，
∵∠CEM=∠ACE+∠CAE=60°+∠CAE，∠CGN=∠AFH+∠CAE=60°+∠CAE，
∴∠CEM=∠CGN，
在△ECM和△GCN中
∠CEM=∠CGN∠CME=∠CNG=90°CM=CN，
∴△ECM≌△GCN(AAS)，
∴CE=CG，EM=GN，∠ECM=∠GCN，
∴∠MCN=∠ECG=60°，
由①知△CAE≌△BCD，
∴AE=CD，
∵HG=CD，
∴AE=HG，
∴AE+EM=HG+GN，即AM=HN，
在△AMC和△HNC中，
AM=HN∠AMC=∠HNC=90°CM=CN，
∴△AMC≌△HNC(SAS)，
∴∠ACM=∠HCN，AC=HC，
∴∠ACM−∠ECM=∠HCN−∠GCN，即∠ACE=∠HCG=60°，
∴△ACH是等边三角形，
∴∠AHC=60°，故②正确；
③由②知∠CFH=∠AFH=60°，若FC=CG，则∠CGF=60°，从而∠FCG=60°，这与∠ACB=60°矛盾，故③不正确；
④∵△ECM≌△GCN，△AMC≌△HNC，
∴S△AMC−S△ECM=S△HNC−S△GCN，即S△ACE=S△CGH，
∵△CAE≌△BCD，
∴S△BCD=S△ACE=S△CGH，故④正确，
∴正确的有：①②④，
故选：C．
①由∠AFD=60°可证明△CAE≌△BCD，从而可判断①正确；②作CM⊥AE交AE的延长线于M，作CN⊥HF于N，可证明△ECM≌△GCN(AAS)得CE=CG，EM=GN，∠ECM=∠GCN，即可证明△AMC≌△HNC(SAS)，有∠ACM=∠HCN，AC=HC，从而得△ACH是等边三角形，故②正确；③由∠CFH=∠AFH=60°，若FC=CG，可得∠FCG=60°，即可判定③不正确；④根据△ECM≌△GCN，△AMC≌△HNC，△CAE≌△BCD，可判定④正确．
本题考查等边三角形的性质及判定，全等三角形的性质及判定，涉及三角形面积等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
11.【答案】1.48×10−10
【解析】解：0.000 000 000148=1.48×10−10．
故答案为：1.48×10−10．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值是易错点，由于0.000000000148有10个0，所以可以确定n=−10．
此题考查科学记数法表示较小的数的方法，准确确定n值是关键．
12.【答案】x≠2
【解析】解：由题意得：x−2≠0，
解得：x≠2，
故答案为：x≠2．
根据分式的分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式的分母不为0是解题的关键．
13.【答案】3(x+3y)(x−3y)
【解析】解：原式=3(x2−9y2)=3(x+3y)(x−3y)，
故答案为：3(x+3y)(x−3y)
原式提取3，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
14.【答案】105
【解析】解：∵一副三角尺按如图的方式拼摆，
∴∠CAB=∠CBA=45°，∠DAB=30°，∠D=60°，
∴∠DBE=∠ABD−∠CBA=90°−45°=45°，
∴∠CED=∠CBD+∠BDE=45°+60°=105°．
故答案为：105．
根据三角形外角的性质可得∠CED=∠CBD+∠BDE，进而得出答案．
本题考查了三角板中的角度计算以及三角形外角的性质，熟记三角板的角度以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解本题的关键．
15.【答案】130°或90°
【解析】解：∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，
∴∠B=∠C=40°，
∵点D在BC边上，△ABD为直角三角形，
∴当∠BAD=90°时，则∠ADB=50°，
∴∠ADC=130°，
当∠ADB=90°时，则
∠ADC=90°，
故答案为：130°或90°．
根据题意可以求得∠B和∠C的度数，然后根据分类讨论的数学思想即可求得∠ADC的度数．
本题考查等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用等腰三角形的性质和分类讨论的数学思想解答．
16.【答案】a>−2且a≠1
【解析】解：1x+3−1=ax+3，
分式方程去分母得：1−x−3=a，
移项合并得：−x=a+2，
解得：x=−a−2，
∵分式方程的解为负数，
∴−a−2<0且−a−2+3≠0，
解得：a>−2且a≠1．
故答案为：a>−2且a≠1．
将a看做已知数，表示出分式方程的解，根据解为负数列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范围．
此题考查了分式方程的解，分式方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值，本题注意x+3≠0这个隐含条件．
17.【答案】(180−902n)
【解析】解：∵点A绕点O顺时针旋转后的对应点A1落在射线OB上，
∴OA=OA1，
∴∠AA1O=90°2，
∵点A绕点A1顺时针旋转后的对应点A2落在射线OB上，
∴A1A=A1A2，
∴∠AA2A1=12∠AA1O=90°22，
∵点A绕点A2顺时针旋转后的对应点A3落在射线OB上，
∴A2A=A2A3，
∴∠AA3A2=12∠AA2A1=90°23，
∴∠AAnAn−1=90°2n，
∴∠AAnAn+1=180°−90°2n．
故答案为：180−902n．
根据旋转的性质得OA=OA1，则根据等腰三角形的性质得∠AA1O=90°2，同理得到A1A=A1A2，根据等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠AA2A1=12∠AA1O=90°22，同样得到∠AA3A2=90°23，于是可推广得到∠AAnAn−1=90°2n，然后利用邻补角的定义得到∠AAnAn+1=180°−90°2n．
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等腰三角形的性质．
18.【答案】解：(1)设购买该品牌一个手电筒需要x元，则购买一个台灯需要(x+20)元．
根据题意得400x+20=160x×12
解得x=5
经检验，x=5是原方程的解．
所以x+20=25．
答：购买一个台灯需要25元，购买一个手电筒需要5元；
(2)设公司购买台灯的个数为a，则还需要购买手电筒的个数是(2a+8−a)
由题意得25a+5(2a+8−a)≤670
解得a≤21
∴荣庆公司最多可购买21个该品牌的台灯．
【解析】(1)设购买该品牌一个手电筒需要x元，则购买一个台灯需要(x+20)元．则根据等量关系：购买台灯的个数是购买手电筒个数的一半，列出方程；
(2)设公司购买台灯的个数为a，则还需要购买手电筒的个数是(2a+8)个，则根据“该公司购买台灯和手电筒的总费用不超过670元”列出不等式．
本题考查了一元一次不等式和分式方程的应用．解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量(不等量)关系．
19.【答案】解：(1)原式=18+1−16
=−1478；
(2)原式=(x3y2−x2y−x2y+x3y2)÷2x2y
=(2x3y2−2x2y)÷2x2y
=xy−1．
【解析】(1)根据有理数的乘方，零指数幂，负整数指数幂计算即可；
(2)先用单项式乘多项式展开，合并同类项，再用多项式除以单项式即可得出答案．
本题考查了零指数幂，负整数指数幂，单项式乘多项式，整式的除法，掌握a−p=1ap(a≠0)是解题的关键．
20.【答案】解：(1)x2−6x+9x2−1÷x2−3xx+1
=(x−3)2(x+1)(x−1)⋅x+1x(x−3)
=x−3x(x−1)
=x−3x2−x，
当x=−3时，原式=−3−3(−3)2−(−3)=−12；
(2)xx+1=2x3x+3−1，
方程两边乘3(x+1)，得
3x=2x−3(x+1)，
解得x=−34，
检验：当x=−34时，3(x+1)≠0，
∴原分式方程的解是x=−34．
【解析】(1)先将分式的分子分母分解因式，同时将除法转化为乘法，然后约分即可，再将x=−3代入化简后的式子计算即可；
(2)方程两边乘3(x+1)，将分式方程化为整式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验．
本题考查分式的化简求值、解分式方程，解答本题的关键是明确分式混合运算的运算法则和解分式方程的方法．
21.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求，A1(1,5)，B1(1,0)，C1(4,3)；

(2)如图，线段AM，AN即为所求．
【解析】(1)利用轴对称的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
(2)找出线段BC的三等分点M，N，连接AN，AN即可．
本题考查作图−轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，灵活应用所学知识解决问题．
22.【答案】(1)证明：∵AD平分∠BAC，CE⊥AD，
∴∠EAF=∠CAF，∠AFE=∠AFC=90°，
在△AFE和△AFC中，
∠EAF=∠CAFAF=AF∠AFE=∠AFC，
∴△AFE≌△AFC(ASA)，
∴EF=CF；
(2)解：由(1)可得△AFE≌△AFC，
∴∠AEC=∠ACE，
∵∠ACB=80°，∠BCE=30°，
∴∠AEC=∠ACE=∠ACB−∠BCE=50°，
∴∠ABC=∠AEC−∠BCE=20°．
【解析】(1)由AD平分∠BAC，CE⊥AD，得到∠EAF=∠CAF，∠AFE=∠AFC=90°，又由AF=AF，即可证明△AFE≌△AFC(ASA)，进而问题可求证；
(2)由(1)可得∠AEC=∠ACE=50°，然后根据三角形外角的性质可求解．
本题主要考查全等三角形的性质与判定、角平分线的定义及三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定、三角形外角的性质是解题的关键．
23.【答案】解：(1)证明：①∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，
∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠BCE．
在△ADC和△CEB中，
∠ADC=∠CEB=90°,∠DAC=∠ECB,AC=BC,
∴△ADC≌△CEB(AAS)；
②∵△ADC≌△CEB，
∴CD=BE，AD=CE．
∴DE=CE+CD=AD+BE；
(2)△ADC≌△CEB成立，但DE=AD+BE不成立，此时应有DE=AD−BE．
证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∵∠ACD+∠BCE=∠ACB=90°，
∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠BCE．
在△ADC和△CEB中，
∠ADC=∠BEC,∠DAC=∠ECB,AC=CB,
∴△ADC≌△CEB(AAS)．
∴CD=BE，AD=CE．
∴DE=CE−CD=AD−BE．
【解析】本题考查了三角形全等的判定及性质，熟练掌握全等三角形的性质和判定是解题关键．
(1)①由AD⊥MN，BE⊥MN可得∠DAC=∠ECB，即可证得△ADC≌△CEB；
②根据△ADC≌△CEB可得CD=BE，AD=CE，即可得证；
(2)同(1)仍可证得△ADC与△CEB全等，但线段的关系已发生改变．
24.【答案】解：(1)12;
(2)当t为9或725时，△PBQ是直角三角形，
理由如下：
∵∠C=90°，∠A=30°，BC=18cm
∴AB=2BC=18×2=36(cm)
∵动点P以2cm/s，Q以1cm/s的速度出发
∴BP=AB−AP=36−2t，BQ=t
∵△PBQ是直角三角形
∴BP=2BQ或BQ=2BP
当BP=2BQ时，
36−2t=2t
解得t=9
当BQ=2BP时，
t=2(36−2t)
解得t=725
所以，当t为9或725时，△PBQ是直角三角形．
【解析】【分析】
此题考查等边三角形的判定与性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理解答．
(1)根据等边三角形的性质解答即可；
(2)分两种情况利用直角三角形的性质解答即可．
【解答】
解：(1)要使，△PBO是等边三角形，即可得：PB=BQ，
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=18cm．
∴AB=36cm，
可得：PB=36−2t，BQ=t，
即36−2t=t，
解得：t=12
故答案为：12．
(2)见答案．