2023-2024学年河南省安阳市滑县部分学校九年级（上）期末数学试卷（A卷）（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省安阳市滑县部分学校九年级（上）期末数学试卷（A卷）（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下面几对图形中，相似的是( )
A. B.
C. D.
2.若△ABC∽△DEF，相似比为3：1，则△ABC与△DEF对应的高线之比为( )
A. 1：3B. 3：1C. 9：1D. 1：9
3.反比例函数y=m+1x在每个象限内的函数值y随x的增大而增大，则m的取值范围是( )
A. m<0B. m>0C. m>−1D. m<−1
4.如图，等边三角形OAB，点B在x轴正半轴上，S△OAB=4 3，若反比例函数y=kx(k≠0)图象的一支经过点A，则k的值是( )
A. 3 32
B. 2 3
C. 3 34
D. 4 3
5.如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE与BC不平行，那么下列条件中，不能判断△ADE∽△ACB的是( )
A. ∠ADE=∠C
B. ∠AED=∠B
C. ADEC=DEBD
D. ADAC=AEAB
6.如图，四边形ABCD为平行四边形，E，F为CD边的两个三等分点，连接AF，BE交于点G，则S△EFG∶S△ABG=( )
A. 1∶3B. 3∶1C. 1∶9D. 9∶1
7.在平面直角坐标系中，点P(m,n)是线段AB上一点，以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的两倍，则点P的对应点的坐标为( )
A. (2m,2n)B. (2m,2n)或(−2m,−2n)
C. (12m,12n)D. (12m,12n)或(−12m,−12n)
8.如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C均在网格交点上，⊙O是△ABC的外接圆，则cs∠BAC的值为( )
A. 55
B. 2 55
C. 12
D. 32
9.如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼楼顶A处看乙楼楼顶B处仰角为30°，则甲楼高度为( )
A. 11米B. (36−15 3)米C. 15 3米D. (36−10 3)米
10.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，D分别在x轴、y轴上，对角线BD/​/x轴，反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象经过矩形对角线的交点E.若点A(2,0)，D(0,4)，则k的值为( )
A. 16B. 20C. 32D. 40
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.请写出一个过点(1,1)，且与x轴无交点的函数解析式：______．
12.如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是______．
13.反比例函数y=−1x中，当x>−1时，则y的取值范围______ ．
14.构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要体现，在计算tan15°时，如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB到点D，使BD=AB，连接AD，得∠D=15°，所以tan15°=ACCD=12+ 3.类比这种方法，计算1tan22.5∘的值为______．
15.如果三角形有一边上的中线长等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”.若Rt△ABC是“好玩三角形”，且∠A=90°，则tan∠ABC= ．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
(1) 22sin45°+sin60°⋅cs45°；
(2)已知锐角α，关于x的一元二次方程x2−xtanα+ 32tanα−34=0有相等实数根，求α的值．
17.(本小题9分)
如图，一次函数y=x−6的图象与反比例函数y=mx(m为常数，且m≠0)的图象交于M(a,−5)，N点．
(1)求反比例函数解析式及N点坐标．
(2)求线段MN的长度．
18.(本小题9分)
如图，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于点D．
(1)在BC边上求作点E，使△ACE∽△BCD；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下，连接DE，若AB=6，DE=2，求DC的长．
19.(本小题9分)
如图，为了测得某建筑物的高度AB，在C处用高为1米的测角仪CF，测得该建筑物顶端A的仰角为45°，再向建筑物方向前进40米，又测得该建筑物顶端A的仰角为60°.求该建筑物的高度AB.(结果保留根号)
20.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=mx+5(m≠0)的图象与反比例函数y=kx(k≠0)在第一象限的图象交于A(1,n)和B(4,1)两点，过点A作y轴的垂线，垂足为M．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式．
(2)求△OAM的面积S．
(3)在y轴上求一点P，使PA+PB的值最小并求出此时点P的坐标．
21.(本小题9分)
如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，CF⊥AF，且CF=CE．
(1)求证：CF是⊙O的切线；
(2)若sin∠BAC=25，求S△CBDS△ABC的值．
22.(本小题10分)
如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题：

sin2A1+sin2B1= ______ ；sin2A2+sin2B2= ______ ；sin2A3+sin2B3= ______ ．
(1)观察上述等式，猜想：在Rt△ABC中，∠C=90°，都有sin2A+sin2B= ______ ．
(2)如图④，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想．
(3)已知∠A+∠B=90°，且sinA=513，求sinB的值．
23.(本小题11分)
[教材呈现]下面是华师版九年级上册数学教材第76页的部分内容．
如图，E是矩形ABCD的边CB上的一点，AF⊥DE干点F，AB=3，AD=2，CE=1，证明△AFD∽△DCE，并计算点A到直线DE的距离(结果保留根号)．
结合图①，完成解答过程．
[拓展]
(1)在图①的基础上，延长线段AF交边CD于点G，如图②，则FG的长为______；
(2)如图③，E、F是矩形ABCD的边AB、CD上的点，连结EF，将矩形ABCD沿EF翻折，使点D的对称点D′与点B重合，点A的对称点为点A′.若AB=4，AD=3，则EF的长为______．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：根据题意得：C选项为相似图形，
故选：C．
根据形状相同对应角相等、对应边成比例的图形为相似图形，对各组图形逐一进行分析，即可得到结果．
本题主要考查的是相似图形的判断，掌握相似图形的概念及特征是解决此题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为3：1，
∴△ABC与△DEF对应的高线之比3：1，
故选：B．
根据相似三角形的对应边上的高的比等于相似比解答．
本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边上的高的比等于相似比是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：根据题意得m+1<0，
解得m<−1．
故选：D．
根据反比例函数的性质得m+1<0，然后解不等式即可．
本题考查了反比例函数的性质：反比例函数y=kx(k≠0)的图象是双曲线；当k>0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k<0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
4.【答案】D
【解析】解：如图，过点A作AC⊥OB于点C，
∵△OAB是正三角形，
∴OC=BC，
∴S△AOC=12S△AOB=2 3=12|k|，
又∵k>0，
∴k=4 3，
故选：D．
根据正三角形的性质以及反比例函数系数k的几何意义，得出S△AOC=12S△AOB=2 3=12|k|，即可求出k的值．
本题考查等边三角形的性质，反比例函数系数k的几何意义，掌握等边三角形的性质以及反比例函数系数k的几何意义是正确解答的前提．
5.【答案】C
【解析】解：∵∠A=∠A，
∴添加∠ADE=∠C，△ADE∽△ACB，故A正确；
∴添加∠AED=∠B，△ADE∽△ACB，故B正确；
∴添加ADAC=AEAB，△ADE∽△ACB，故D正确；
故选：C．
根据相似三角形的判定解答即可．
此题考查相似三角形的判定，关键是根据相似三角形的判定方法解答．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识．
先根据平行四边形的性质得到CD=AB，CD/​/AB，推出△EFG∽△BAG，再利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解决问题．
【解答】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB，CD/​/AB，
∵E，F为CD边的两个三等分点，
∴DE=EF=FC=13CD，
∴EF：AB=1：3，
∵CD//AB，
∴△EFG∽△BAG，
∴S△EFGS△BAG=(EFAB)2=19．
7.【答案】B
【解析】解：点P(m,n)是线段AB上一点，以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的两倍，
则点P的对应点的坐标为(m×2,n×2)或(m×(−2),n×(−2))，即(2m,2n)或(−2m,−2n)．
故选：B．
回顾位似的两种类型，有A型或者X型；所以给点P的坐标乘±2，即为(m×2,n×2)或(m×(−2),n×(−2))，化简即可．
本题考查坐标与图形性质和位似变换，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
8.【答案】B
【解析】解：如图，作直径BD，连接CD，
由勾股定理得，BD= 22+42=2 5，
在Rt△BDC中，cs∠BDC=CDBD=42 5=2 55，
由圆周角定理得，∠BAC=∠BDC，
∴cs∠BAC=cs∠BDC=2 55，
故选：B．
作直径BD，连接CD，根据勾股定理求出BD，根据圆周角定理得到∠BAC=∠BDC，根据余弦的定义解答即可．
本题考查的是圆周角定理，掌握余弦的定义是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：如图，分别过点A、B作地面的垂线，垂足分别为C、D；过点A作AE⊥BD于点E，
在Rt△ABE中，AE=30米，∠BAE=30°，tan∠BAE=BEAE，
∴BE=AE·tan∠BAE=30× 33=10 3(米)，
∵BD=36米
∴AC=ED=BD−BE=(36−10 3)米，
∴甲楼高为(36−10 3)米．
故选：D．
本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键．
过点A作AE⊥BD于点E，在Rt△ABE中，解直角三角形求出BE，即可得出结论．
10.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了矩形的性质，勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征，线段中点坐标公式等知识，求出E点坐标是解题的关键．
根据平行于x轴的直线上任意两点纵坐标相同，可设B(x,4).利用矩形的性质得出E为BD中点，∠DAB=90°.根据线段中点坐标公式得出E(12x,4)．
由勾股定理得出AD2+AB2=BD2，列出方程22+42+(x−2)2+42=x2，求出x，得到E点坐标，代入y=kx，利用待定系数法求出k．
【解答】
解：∵BD/​/x轴，D(0,4)，
∴B、D两点纵坐标相同，都为4，
∴可设B(x,4)．
∵矩形ABCD的对角线的交点为E，
∴E为BD中点，∠DAB=90°．
∴E(12x,4)．
∵∠DAB=90°，
∴AD2+AB2=BD2，
∵A(2,0)，D(0,4)，B(x,4)，
∴22+42+(x−2)2+42=x2，
解得x=10，
∴E(5,4)．
∵反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象经过点E，
∴k=5×4=20．
故选：B．
11.【答案】y=1x(答案不唯一)
【解析】解：反比例函数图象与坐标轴无交点，且反比例函数系数k=1×1=1，所以反比例函数y=1x(答案不唯一)符合题意．
故答案可以是：y=1x(答案不唯一)．
反比例函数的图象与坐标轴无交点．
本题考查了反比例函数的性质，此题属于开放题，答案不唯一，若是二次函数也符合题意．
12.【答案】(9,0)
【解析】解：直线AA′与直线BB′的交点坐标为(9,0)，
所以位似中心的坐标为(9,0)．
故答案为(9,0)．
根据位似图形的特征即可得．
本题考查位似图形及相关概念．
13.【答案】y>1或y<0
【解析】解：画出反比例函数y=−1x的图象如图，
由图象可知，当x>−1时，y>1或y<0．
故答案为：y>1或y<0．
利用函数图象，写出自变量大于−1时对应的函数值的范围即可．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，能利用函数图象直接得出不等式的解集是解答此题的关键．
14.【答案】 2+1
【解析】解：如图，
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，则△ABC为等腰直角三角形，
延长CB使BD=AB，则∠ADB=∠BAD，
∵∠ABC=45°，
∴∠ADB=22.5°，
设AC=BC=a，
∴AB=BCsin45∘=a 22= 2a，
∴BD=AB= 2a，
∴CD=BC+BD=a+ 2a=( 2+1)a，
在Rt△ACD中，
tan22.5°=ACCD=a( 2+1)a=1 2+1，
∴1tan22.5∘=11 2+1= 2+1．
故答案为： 2+1．
根据题意画图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，延长CB使BD=AB，根据等腰三角形的性质可得∠ADB=∠BAD，根据三角形的外角定理可得∠ADB=22.5°，设AC=BC=a，根据三角函数可得AB=BCsin45∘，计算出AB的值，可得CD=BC+BD，由三角函数定义可得tan22.5°=ACCD，代入数值计算即可得出答案．
本题主要考查了解直角三角形，以及三角函数定义，熟练掌握解直角三角形的方法进行求解是解决本题的关键．
15.【答案】 32或2 33
【解析】【分析】
本题考查锐角三角函数的定义等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数解决问题．
分两种情形分别画出图形求解即可．
【解答】
解：①如图1中，
在Rt△ABC中，∠A=90°，CE是△ABC的中线，设AB=EC=2a，则AE=EB=a，AC= 3a，
∴tan∠ABC=ACAB= 32．
②如图2中，
在Rt△ABC中，∠A=90°，BE是△ABC的中线，设EB=AC=2a，则AE=EC=a，AB= 3a，
∴tan∠ABC=ACAB=2 33．
故答案为： 32或2 33．
16.【答案】解：(1)原式= 22× 22+ 32× 22
=12+ 64；
(2)∵关于x的一元二次方程x2−xtanα+ 32tanα−34=0有相等实数根，
∴Δ=(tana)2−4( 32tana−34)=0，
解得：tanα= 3，
∵α是锐角，
∴α=60°．
【解析】(1)首先代入特殊角的三角函数值，然后进行二次根式的运算即可；
(2)由方程有两个相等的实数根可得Δ=0，解方程即可．
本题考查了特殊角的三角函数值和根的判别式，正确进行二次根式的运算和解一元二次方程是关键．
17.【答案】解：(1)∵一次函数y=x−6的图象经过点M(a,−5)，
∴−5=a−6，
解得a=1，
∴M(1,−5)．
∵反比例函数y=mx(m为常数，且m≠0)的图象过点M(1,−5)，
∴m=1×(−5)=−5，
∴反比例函数的解析式为y=−5x．
由y=−5xy=x−6，解得x=1y=−5或x=5y=−1，
∴点N坐标为(5,−1)．
(2)如图，过点M作PM/​/y轴，交x轴平行线NP于点P．

∵点M(1,−5)，N(5,−1)，
∴PM=4，PN=4．
在Rt△PMN中，MN= PM2+PN2=4 2．
【解析】(1)由一次函数y=x−6求得M的坐标，求然后利用待定系数法求出m的值，得到反比例函数的解析式；
(2)过点M作PM/​/y轴，交x轴平行线NP于点P，由M、N的坐标求得PM=4，PN=4，然后根据勾股定理即可求解．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，勾股定理的应用，数形结合是解题的关键．
18.【答案】解：(1)如图所示，点E即为所求．
(2)∵AB=AC=6，AE⊥BC，
∴BE=CE，
∵DE=2，BD⊥AC
∴BC=4，
∵△ACE∽△BCD，
∴ACBC=CECD，即64=2CD，
解得CD=43．
【解析】(1)过点A作线段BC的垂线即可；
(2)由AB=AC=6，AE⊥BC知BE=CE，结合DE=2，得BC=4，再由△ACE∽△BCD知ACBC=CECD，代入计算即可．
本题主要考查作图—相似变换，等腰三角形的性质，以及相似三角形的判定与性质．
19.【答案】解：设AM=x米，
在Rt△AFM中，∠AFM=45°，
∴FM=AM=x，
在Rt△AEM中，tan∠AEM=AMEM，
则EM=AMtan∠AEM= 33x，
由题意得，FM−EM=EF，即x− 33x=40，
解得，x=60+20 3，
∴AB=AM+MB=(61+20 3)米，
答：该建筑物的高度AB为(61+20 3)米．
【解析】本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
设AM=x米，根据等腰三角形的性质求出FM，利用正切的定义用x表示出EM，根据题意列方程，解方程得到答案．
20.【答案】解：(1)将B(4,1)代入y=kx得：k4=1．
∴k=4．
∴y=4x．
将B(4,1)代入y=mx+5得：1=4m+5，
∴m=−1．
∴y=−x+5.
(2)在y=4x中，令x=1，解得y=4．
∴A(1,4)．
∴S=12×1×4=2.

(3)作点A关于y轴的对称点N，则N(−1,4)．
连结BN交y轴于点P，点P即为所求．
设直线BN的关系式为y=kx+b，
由4k+b=1−k+b=4，得k=−35b=175，
∴y=−35x+175.
∴点P的坐标为(0,175).
【解析】(1)根据A(1,n)和B(4,1)两点，即可得到一次函数和反比例函数的表达式．
(2)根据反比例函数求得A(1,4)，即可得到△OAM的面积S．
(3)作点A关于y轴的对称点N，则N(−1,4).连结BN交y轴于点P，点P即为所求．根据待定系数法求得直线NB的解析式，即可得到点P的坐标．
本题主要考查了待定系数法求一次函数与反比例函数解析式以及作对称点问题，根据已知得出对称点是解决问题的关键．
21.【答案】(1)证明：连接OC．
∵CE⊥AB，CF⊥AF，CE=CF，
∴AC平分∠BAF，即∠BAF=2∠BAC．
∵∠BOC=2∠BAC，
∴∠BOC=∠BAF．
∴OC/​/AF．
∴CF⊥OC．
∴CF是⊙O的切线．
(2)解：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴CE=ED，∠ACB=∠BEC=90°．
∴S△CBD=2S△CEB，∠BAC=∠BCE，
∴△ABC∽△CBE．
∴S△CBES△ABC=(BCAB)2=(sin∠BAC)2=(25)2=425．
∴S△CBDS△ABC=825．
【解析】(1)首先连接OC，由CD⊥AB，CF⊥AF，CF=CE，即可判定AC平分∠BAF，由圆周角定理即可得∠BOC=2∠BAC，则可证得∠BOC=∠BAF，即可判定OC/​/AF，即可证得CF是⊙O的切线；
(2)由垂径定理可得CE=DE，即可得S△CBD=2S△CEB，由△ABC∽△CBE，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，易求得△CBE与△ABC的面积比，继而可求得S△CBDS△ABC的值．
此题考查了切线的判定、垂径定理、相似三角形的判定与性质以及圆周角定理等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
22.【答案】1 1 1 1
【解析】解：(1)由图可知：sin2A1+sin2B1=(12)2+( 32)2=1，
sin2A2+sin2B2=( 22)2+( 22)2=1，
sin2A3+sin2B3=(35)2+(45)2=1，
观察上述等式，可猜想：sin2A+sin2B=1，
故答案为：1，1，1，1．
(2)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．
∵sinA=ac，sinB=bc，
∴sin2A+sin2B=a2+b2c2．
∵∠C=90°，
∴a2+b2=c2，
∴sin2A+sin2B=1．
(3)∵sinA=315，sin2A+sin2B=1，
∴sinB= 1−(513)2=1213．
(1)根据正弦函数的定义，得出结果，即可想到在Rt△ABC中，∠C=90°，都有sin2A+sin2B=1；
(2)如图④，在Rt△ABC中，∠C=90°，利用锐角三角函数的定义得出sinA=ac，sinB=bc，则sin2A+sin2B=a2+b2c2，再根据勾股定理得到a2+b2=c2，从而证明sin2A+sin2B=1；
(3)利用关系式sin2A+sin2B=1，结合已知条件sinA=513，进行求解．
本题侧考查互余两角三角函数值，掌握三角函数的定义是解题关键．
23.【答案】 1015 154
【解析】解：[教材呈现]∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=∠C=90°，CD=AB=3，BC=AD=2，
∴DE= CD2+CE2= 10，
∵AF⊥DE，
∴∠AFD=∠C=90°，
∴∠DAF+∠ADF=∠ADF+∠CDE=90°，
∴∠DAF=∠CDE，
∴△ADF∽△DCE，
∴CDDE=AFAD，即3 10=AF3，
∴点A到直线DE的距离AF=3 105；
[拓展]
(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=∠C=90°，CD=AB=3，BC=AD=2，
∴DE= CD2+CE2= 10，
∵AF⊥DE，
∴∠AFD=∠CDA=90°，
∴∠CDE+∠ADE=∠DAG+∠ADE=90°，
∴∠DAG=∠CDE，
∴△ADG∽△DCE，得
∴CDDE=ADAG，即3 10=2AG，
∴AG=2 103，
∴FG=AG−AF=2 103−3 105= 1015；
故答案为： 1015；
(2)如图③，
作FG⊥AD于G，
设DF=BF=x，则CF=4−x，
∵将矩形ABCD沿EF翻折，使点D的对称点D′与点B重合，
∴∠DFE=∠BFE，
∵AB/​/CD，
∴∠DFE=∠BEF，
∴∠BFE=∠BEF，
∴BE=BF=x，
在Rt△BCF中，根据勾股定理得，BF2−CF2=BC2，
∴x2−(4−x)2=32，
∴x=258，
∴DF=BF=BE=258，BG=CF=4−258=78，
∴GE=BE−BG==258−78=94，
在Rt△EFG中，GF=AD=3，
EF= GE2+FG2= (94)2+32=154，
故答案是：154．
[教材呈现]由四边形ABCD是矩形，得到∠ADC=∠C=90°，CD=AB=3，BC=AD=2，根据勾股定理得到DE= CD2+CE2= 10，通过△ADF∽△DCE，得到CDDE=AFAD，列方程即可得到结果；
[拓展]
(1)证明△ADG∽△DCE，得到CDDE=ADAG，求出AG，由FG=AG−AF即可求解；
(2)作FG⊥AB于G，在Rt△CBF中，根据勾股定理得，x2−(4−x)2=32，进而在Rt△EFG中求得EF．
本题是相似形综合题，考查了矩形性质，翻折的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，证得△ADF∽△DCE是解题的关键．