2023-2024学年内蒙古呼伦贝尔市满洲里市重点中学高一（上）第三次月考数学试卷（12月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年内蒙古呼伦贝尔市满洲里市重点中学高一（上）第三次月考数学试卷（12月份）（含解析），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设集合A={x|x−1>0}，集合B={x|x≤3}，则A∩B=( )
A. (−1,3)B. (1,3]C. [1,3)D. [−1,3]
2.不等式x2−2x>0的解集为( )
A. (2,+∞)B. (−∞,2)
C. (0,2)D. (−∞,0)∪(2,+∞)
3.下列各式不正确的是( )
A. −210°=−7π6B. 405°=9π4C. 335°=23π12D. 705°=47π12
4.若sinα>0，且tanα<0，则角α的终边位于
( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
5.设函数f(x)=x2+1,x≤12x,x>1，则f(f(3))=( )
A. 139B. 3C. 23D. 15
6.函数f(x)=lg2(3x−2)的定义域是( )
A. [23,+∞)B. (23,+∞)C. [2,+∞)D. (2,+∞)
7.函数y=cs(25x+π3)的最小正周期是( )
A. π5B. 52πC. 2πD. 5π
8.下列选项中叙述正确的是( )
A. 三角形的内角是第一象限角或第二象限角B. 小于90°的角一定是锐角
C. 锐角一定是第一象限的角D. 终边相同的角一定相等
二、多选题：本题共4小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列运算结果中，一定正确的是( )
A. a3⋅a4=a7 B. (−a2)3=a6 C. 8a8=aD. 5(−π)5=−π
10.f(x)是定义在R上的奇函数，下列结论中，正确的是( )
A. f(−x)+f(x)=0B. f(−x)−f(x)=−2f(x)
C. f(−x)⋅f(x)≤0D. f(x)f(−x)=−1
11.函数f(x)=sin(2x+φ)是R上的偶函数，则φ的值可以是( )
A. π2B. πC. 3π2D. −π2
12.函数y=3sin(π4−x)的一个单调递减间为( )
A. [−π2,π2]B. [−π4,3π4]C. [7π4,11π4]D. [−3π4,π4]
三、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.在0°～360°范围内，与角−π3终边相同的角是______ ．
14.已知点P(x,3)是角θ终边上一点，且csθ=−45，则x的值为 ．
15.cs(−25π4)= ______ ．
16.设tan(π+α)=2，则sin(α−π)+cs(π−α)sin(π+α)−cs(π+α)等于______ ．
四、解答题：本题共6小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
已知扇形的圆心角为120°，半径为 3cm．
(1)求此扇形的面积．
(2)求此扇形的周长．
18.(本小题8分)
已知函数f(x)=2sin(2ωx+π4)(ω>0)的最小正周期为π．
(1)求ω的值；
(2)求f(x)的单调递增区间．
19.(本小题8分)
已知函数f(x)=x2+2x−2．
(1)判断函数在区间(−1,+∞)上的单调性，并用定义证明你的结论；
(2)求该函数在区间[2,4]上的最大值和最小值．
20.(本小题8分)
已知函数f(x)=b⋅ax(a>0，且a≠1)的图象经过点A(1,4)，B(3,16)．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设函数g(x)=f(x)−f(−x)(x≥2)，求函数g(x)的值域．
21.(本小题10分)
已知函数f(x)=2x，x∈R．
(1)若函数f(x)在区间[a,2a]上的最大值与最小值之和为6，求实数a的值；
(2)若f(1x)=3，求3x+3−x的值．
22.(本小题10分)
已知tan(3π+α)=2，求sin(α−3π)+cs(π−α)+sin(π2−α)−2cs(π2+α)−sin(−α)+cs(π+α)的值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：由A中不等式解得：x>1，即A=(1,+∞)，
∵B=(−∞,3]，
∴A∩B=(1,3]．
故选：B．
求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．
此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：不等式x2−2x>0可化为x(x−2)>0，
解得x<0或x>2，
所以不等式的解集为(−∞,0)∪(2,+∞)．
故选：D．
把不等式化为x(x−2)>0，求出不等式的解集即可．
本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．
3.【答案】C
【解析】解：对于A，−210°=−210°×π180∘=−7π6，正确；
对于B，405°=405°×π180∘=9π4，正确；
对于C，335°=335°×π180∘=67π36，错误；
对于D，705°=705°×π180∘=47π12，正确；
故选：C．
根据180°与π相等的关系，写出一度对应的代数式，用所给度数乘以一度对应的代数式，求出结果即可．
本题主要考查了弧度制的概念，以及弧度与角度的互化，同时考查了运算能力，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】【分析】
由sinα>0，则角α的终边位于一二象限，由tanα<0，则角α的终边位于二四象限，两者结合即可解决问题．
本题考查三角函数值的符号规律，属于基础题，合理地将条件化简，从而将问题转化为已知三角函数值的符号问题．
【解答】
解：∵sinα>0，则角α的终边位于一二象限，
∵tanα<0，∴角α的终边位于二四象限，
∴角α的终边位于第二象限．
故选B．
5.【答案】A
【解析】解：∵函数f(x)=x2+1,x≤12x,x>1，
∴f(3)=23，
f(f(3))=f(23)=(23)2+1=139．
故选：A．
求出f(3)=23，从而f(f(3))=f(23)=(23)2+1，由此能求出f(f(3))．
本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．
6.【答案】B
【解析】解：由3x−2>0，解得x>23，
故函数f(x)的定义域是(23,+∞)，
故选：B．
根据对数函数的性质求出函数的定义域即可．
本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数的的性质，是基础题．
7.【答案】D
【解析】解：∵函数y=cs(25x+π3)中，ω=25
∴函数的最小正周期T=2π25=5π
故选：D．
根据三角函数的图象与性质，结合题中数据加以计算，即可得到所求函数的最小正周期．
本题给出三角函数式，求函数的最小正周期，着重考查了三角函数的图象与性质、三角函数的周期公式等知识，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查角的大小、范围，终边相同的角的关系，属于基本知识的考查．
通过三角形的角为90°判断A的正误；举反例判断B的正误；角的范围判断C的正误；终边相同的角判断D的正误；
【解答】
解：当角为90°时，三角形的内角不是第一象限角或第二象限角，∴A不正确；
−30°<90°，−30°不是锐角，∴B不正确；
根据锐角的定义知是第一象限的角，C正确；
终边相同的角，角相差360°的整数倍，∴D不正确．
故选：C．
9.【答案】AD
【解析】【分析】
本题考查了有理数指数幂的运算，属于基础题．
根据有理数指数幂的运算法则计算．
【解答】
解：A选项a3⋅a4=a3+4=a7，正确；
B选项(−a2)3=−a6，错误；
C选项当a≥0时，8a8=a，当a<0时，8a8=−a，错误；
D选项5(−π)5=−π，正确．
故选：AD．
10.【答案】ABC
【解析】解：根据题意，f(x)是定义在R上的奇函数，则有f(−x)=−f(x)，
对于A，若f(−x)=−f(x)，则必有f(−x)+f(x)=0，A正确；
对于B，f(−x)−f(x)=−f(x)−f(x)=−2f(x)，B正确；
对于C，f(−x)⋅f(x)=−f2(x)≤0，C正确；
对于D，f(x)的值可能为0，则f(x)f(−x)不一定有意义，D错误；
故选：ABC．
根据题意，由奇函数的定义可得f(−x)=−f(x)，据此依次分析选项，综合即可得答案．
本题考查函数奇偶性的性质以及应用，注意奇函数的定义，属于基础题．
11.【答案】ACD
【解析】解：∵函数f(x)=sin(2x+φ)是R上的偶函数，则φ=kπ+π2，k∈Z，
故选：ACD．
由题意利用三角函数的奇偶性，诱导公式，求得φ的值．
本题主要考查三角函数的奇偶性，诱导公式，属于基础题．
12.【答案】BC
【解析】解：由已知可得原函数可化为y=−3sin(x−π4)．
要求原函数的单调递减间，只需令2kπ−π2≤x−π4≤2kπ+π2,k∈Z，解得：2kπ−π4≤x≤2kπ+3π4,k∈Z，
∴原函数的单调递减区间为[2kπ−π4,2kπ+3π4],k∈Z．
依次给k赋值可得原函数的单调递减区间为⋯,[−9π4,−5π4],[−π4,3π4],[7π4,11π4],⋯
对照四个选项，只有B、C正确．
故选：BC．
先求出函数的单减区间为[2kπ−π4,2kπ+3π4],k∈Z，对照选项一一验证．
本题主要考查正弦函数的单调性，属于基础题．
13.【答案】300°
【解析】解：∵−π3=−60°=−360°+300°，
∴0°～360°范围内，与角−π3终边相同的角是300°．
故答案为：300°．
化弧度制为角度制，再写出k⋅360°+θ的形式得答案．
本题考查终边相同角的概念，考查角度制与弧度制的互化，是基础题．
14.【答案】−4
【解析】【分析】
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
由条件利用任意角的三角函数的定义，求得x的值．
【解答】
解：∵点P(x,3)是角θ终边上一点，且csθ=x x2+9=−45，
∴x=−4，
故答案为：−4．
15.【答案】 22
【解析】解：cs(−25π4)=cs25π4=cs(6π+π4)=csπ4= 22．
故答案为： 22．
由诱导公式及特殊角的三角函数值求解即可．
本题主要考查诱导公式化简求值，考查运算求解能力，属于基础题．
16.【答案】13
【解析】解：tan(π+α)=2，
可得tanα=−2，
则sin(α−π)+cs(π−α)sin(π+α)−cs(π+α)=−sinα−csα−sinα+csα=−tanα−1−tanα+1=2−12+1=13．
故答案为：13．
利用诱导公式化简已知条件以及所求表达式，然后弦切互化，求解即可．
本题考查诱导公式的应用，三角函数的化简求值，考查计算能力．
17.【答案】解：(1)由题意可得θ=2π3,r= 3，
所以扇形面积为S=12θr2=12×2π3×( 3)2=πcm2；
(2)扇形周长为θr+2r=2π3× 3+2 3=2 3π3+2 3cm．
【解析】(1)根据扇形面积公式即可求解；
(2)根据弧长公式即可求解．
本题主要考查了扇形的弧长公式以及面积公式的应用，属于基础题．
18.【答案】解：(1)由题意：函数f(x)=2sin(2ωx+π4)(ω>0)的最小正周期为π．
那么：周期T=2π2ω=π，
解得：ω=1．
所以：函数f(x)=2sin(2x+π4).
(2)由(1)可知函数f(x)=2sin(2x+π4).
根据正弦函数的性质可知：
2x+π4∈[2kπ−π2,2kπ+π2](k∈Z)单调递增区间，即2kπ−π2≤2x+π4≤2kπ+π2(k∈Z)
解得：kπ−π8≤x≤kπ+3π8．
所以函数f(x)的单调递增区间为[kπ−π8,kπ+3π8](k∈Z)．
【解析】(1)根据三角函数最小正周期T=2π2ω=π，即可求ω的值．
(2)将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间．
本题考查了三角函数的图象及性质的运用．属于基础题．
19.【答案】解：(1)函数f(x)=x2+2x−2在区间(−1,+∞)上单调递增，
证明：设∀x1，x2∈(−1,+∞)，且x1则f(x1)−f(x2)=x12+2x1−2−x22−2x2+2
=(x1−x2)(x1+x2+2)，
因为x1，x2∈(−1,+∞)，且x10，
故(x1−x2)(x1+x2+2)<0，
即f(x1)(2)由(1)可知该函数在区间[2,4]上单调递增，
故f(x)max=f(4)=42+2×4−2=22,f(x)min=f(2)=22+2×2−2=6．
【解析】(1)根据解析式可判断出函数的单调性，结合函数单调性定义即可证明；
(2)判断函数在所给区间上的单调性，即可求得答案．
本题考查了二次函数的性质，考查了学生的运算能力，属于基础题．
20.【答案】解：(1)由题意得ab=4ba3=16，
因为a>0，
解得a=2，b=2，
所以f(x)=2x+1；
(2)g(x)=f(x)−f(−x)=2x+1−21−x在x≥2时单调递增，
所以g(x)≥g(2)=152，
故函数值域为[152,+∞)．
【解析】(1)把已知点的坐标代入即可求解a，b，进而可求函数解析式；
(2)先求出g(x)的解析式，然后结合函数单调性可求．
本题主要考查了待定系数求解函数解析式，还考查了函数单调性在函数值域求解中的应用，属于基础题．
21.【答案】解：(1)f(x)=2x为R上的增函数，
则f(x)在区间[a,2a]上为增函数，
∴f(x)min=2a，f(x)max=22a，
由22a+2a=6，得22a+2a−6=0，即2a=−3(舍去)，或2a=2，即a=1；
(2)若f(1x)=3，则21x=3，
即1x=lg23=lg3lg2=1lg2lg3=1lg32，
则x=lg32，
∴3x+3−x=3lg32+3−lg32=2+12=52．
【解析】本题考查指数函数的单调性及其应用，考查对数的运算性质，考查运算求解能力，是中档题．
(1)由指数函数的单调性求得函数在区间[a,2a]上的最大值与最小值，由最大值与最小值的和为6列式求得a值；
(2)由f(1x)=3求得x，代入3x+3−x，再由对数的运算性质求解．
22.【答案】解：因为tan(3π+α)=2，
所以tanα=2，
所以sin(α−3π)+cs(π−α)+sin(π2−α)−2cs(π2+α)−sin(−α)+cs(π+α)
=−sinα−csα+csα+2sinαsinα−csα
=sinαsinα−csα
=tanαtanα−1
=2．
【解析】利用诱导公式及同角三角函数的商数关系计算即可．
本题主要考查诱导公式和同角三角函数关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．