2022-2023学年山东省泰安市重点中学九年级（上）期末数学试卷（五四学制）（含解析）

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这是一份2022-2023学年山东省泰安市重点中学九年级（上）期末数学试卷（五四学制）（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知反比例函数y=kxk≠0的图象经过点(2,3)，那么下列四个点中，也在这个函数图象上的是( )
A. (−6,1)B. (1,6)C. (2,−3)D. (3,−2)
2.如图，一次函数y1=k1x+b的图象和反比例函数y2=k2x的图象交于A(1,2)，B(−2,−1)两点，若y1A. x<1
B. x<−2
C. −21
D. x<−2或03.如图，正比例函数y1=k1x和反比例函数y2=k2x的图象交于A(1,2)，B两点，给出下列结论：
①k1②当x<−1时，y1③当y1>y2时，x>1；
④当x<0时，y2随x的增大而减小．
其中正确的有( )
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个
4.如图，A、B两点在双曲线y=6x上，分别经过A、B两点向两坐标轴作垂线段，已知S阴影=2，则S1+S2=( )
A. 4
B. 6
C. 8
D. 10
5.正比例函数y=x与反比例函数y=1x的图象相交于A，C两点，AB⊥x轴于点B，CD⊥x轴于点D(如图)，则四边形ABCD的面积为( )
A. 1
B. 2
C. 4
D. 8
6.如图，正方形ABCD的顶点B，C在x轴的正半轴上，反比例函数y=kx(k≠0)在第一象限的图象经过顶点A(m,2)和CD边上的点E(n,23)，过点E的直线l交x轴于点F，交y轴于点G(0,−2)，则点F的坐标是( )
A. (54,0)
B. (74,0)
C. (94,0)
D. (114,0)
7.如图，反比例函数y=−6x在第二象限的图象上有两点A、B，它们的横坐标分别为−1，−3，直线AB与x轴交于点C，则△AOC的面积为( )
A. 8
B. 10
C. 12
D. 24
8.式子2cs30°−tan45°− (1−tan60°)2的值是( )
A. 2 3−2B. 0C. 2 3D. 2
9.如图，点A(t,3)在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα=32，则t的值是( )
A. 1B. 1.5C. 2D. 3
10.如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，tanA=12，则AB的长是( )
A. 2
B. 8
C. 2 5
D. 4 5
11.如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为( )
A. 40海里
B. 60海里
C. 70海里
D. 80海里
12.对于二次函数y=(x−3)2+5的图象，下列说法正确的是( )
A. 开口向下B. 对称轴是x=−3C. 与x轴有两个交点D. 顶点坐标是(3,5)
13.在同一平面直角坐标系内，将函数y=2x2+4x−3的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到图象的顶点坐标是( )
A. (−3,−6)B. (1,−4)C. (1,−6)D. (−3,−4)
14.已知二次函数y=ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表：
则二次函数图象的对称轴为( )
A. y轴B. 直线x=52C. 直线x=2D. 直线x=32
15.若函数y=mx2+(m+2)x+12m+1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为( )
A. 0B. 0或2C. 2或−2D. 0，2或−2
16.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图，给出下列四个结论：①4ac−b2<0；②4a+c<2b；③3b+2c<0；④m(am+b)+bA. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
17.在下列的四个几何体中，同一几何体的主视图与俯视图相同的是( )
A. B. C. D.
18.学校小卖部货架上摆放着某品牌方便面，它们的三视图如图，则货架上的方便面至少有( )
A. 7盒B. 8盒C. 9盒D. 10盒
19.如图，是由几个小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置上的小立方块的个数，这个几何体的主视图是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
20.请写出一个开口向上，并且与y轴交于点(0,1)的抛物线的解析式，y=______．
21.如图，一次函数y=kx−1的图象与x轴交于点A，与反比例函数y=3x(x>0)的图象交于点B，BC垂直x轴于点C.若△ABC的面积为1，则k的值是______．
22.二次函数y=−(x−2)2+94的图象与x轴围成的封闭区域内(包括边界)，横、纵坐标都是整数的点有______ 个(提示：必要时可利用下面的备用图画出图象来分析)．
23.如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70°方向上，轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西50°方向匀速航行，1小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西25°方向上，则灯塔C与码头B的距离是______海里．
三、解答题：本题共5小题，共51分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
24.(本小题8分)
如图，双曲线y=kx(x>0)经过△OAB的顶点A和OB的中点C，AB//x轴，点A的坐标为(2,3)．
(1)确定k的值；
(2)若点D(3,m)在双曲线上，求直线AD的解析式；
(3)计算△OAB的面积．
25.(本小题8分)
一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度．如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高AM与影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB=1.25m，已知李明直立时的身高为1.75m，求路灯的高CD的长．(结果精确到0.1m)．
26.(本小题10分)
如图，一艘渔船位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔18海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东55°方向上的B处，此时渔船与灯塔P的距离约为多少海里？(结果取整数)(参考数据：sin55°≈0.8，cs55°≈0.6，tan55°≈1.4)
27.(本小题13分)
某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件(每件售价不能高于65元).设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，每个月的销售利润为y元．
(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；
(2)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
(3)每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？
28.(本小题12分)
已知二次函数y=x2−2mx+m2−1．
(1)当二次函数的图象经过坐标原点O(0,0)时，求二次函数的解析式；
(2)如图，当m=2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C、D两点的坐标；
(3)在(2)的条件下，x轴上是否存在一点P，使得PC+PD最短？若P点存在，求出P点的坐标；若P点不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵反比例函数y=kxk≠0的图象经过点(2,3)，
∴k=2×3=6，
A、∵(−6)×1=−6≠6，∴此点不在反比例函数图象上；
B、∵1×6=6，∴此点在反比例函数图象上；
C、∵2×(−3)=−6≠6，∴此点不在反比例函数图象上；
D、∵3×(−2)=−6≠6，∴此点不在反比例函数图象上．
故选：B．
先根据点(2,3)，在反比例函数y=kxk≠0的图象上求出k的值，再根据k=xy的特点对各选项进行逐一判断．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数中k=xy的特点是解答此题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：一次函数图象位于反比例函数图象的下方，
由图象可得x<−2，或0故选：D．
根据一次函数图象位于反比例函数图象的下方，可得不等式的解．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，一次函数图象位于反比例函数图象的下方是解题关键．
3.【答案】C
【解析】【分析】
①根据待定系数法，可得k1，k2的值，根据有理数的大小比较，可得答案；②根据观察图象，可得答案；③根据图象间的关系，可得答案；④根据反比例函数的性质，可得答案．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了待定系数法，图象与不等式的关系．
【解答】
解：①正比例函数y1=k1x和反比例函数y2=k2x的图象交于A(1,2)，
∴k1=2，k2=2，k1=k2，故①错误；
②由反比例函数的对称性可知，B点坐标为(−1,−2)，
x<−1时，一次函数图象在反比例图象下方，故②正确；
③y1>y2时，−11，故③错误；
④k2=2>0，当x<0时，y2随x的增大而减小，故④正确；
故选：C．
4.【答案】C
【解析】解：根据题意得S1+S阴影=S2+S阴影=6，
而S阴影=2，
所以S1=S2=4，
所以S1+S2=8．
故选：C．
根据比例系数k的几何意义得到S1+S阴影=S2+S阴影=6，由S阴影=2，得S1=S2=4，然后计算S1+S2．
本题考查了比例系数k的几何意义：在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了反比例函数y=kx中k的几何意义，全等三角形的性质和判定，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即S=12|k|.首先根据反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=12|k|，得出S△AOB=S△ODC=12，再根据反比例函数的对称性可知：OA=OC，利用ASA证明△DOC≌△BOA，得到OB=OD，继而得出S△AOB=S△ODA，S△ODC=S△OBC，最后根据四边形ABCD的面积=S△AOB+S△ODA+S△ODC+S△OBC，得出结果．
【解答】
解：∵反比例函数是y=1x，
∴S△AOB=S△ODC=12×|1|=12，
根据反比例函数的对称性可知：OA=OC，
∵AB⊥x轴于点B，CD⊥x轴于点D，
∠ODC=∠OBA=90°，
又∵∠DOC=∠BOA，
∴△DOC≌△BOA(ASA)，
∴OB=OD，
得出S△AOB=S△ODA，S△ODC=S△OBC，
∴四边形ABCD的面积=S△AOB+S△ODA+S△ODC+S△OBC=1×2=2．
故选B．
6.【答案】C
【解析】解：∵正方形的顶点A(m,2)，
∴正方形的边长为2，
∴BC=2，
而点E(n,23)，
∴n=2+m，即E点坐标为(2+m,23)，
∴k=2⋅m=23(2+m)，解得m=1，
∴E点坐标为(3,23)，
设直线GF的解析式为y=ax+b，
把E(3,23)，G(0,−2)代入得3a+b=23b=−2，解得a=89b=−2，
∴直线GF的解析式为y=89x−2，
当y=0时，89x−2=0，解得x=94，
∴点F的坐标为(94,0)．
故选：C．
由A(m,2)得到正方形的边长为2，则BC=2，所以n=2+m，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k=2⋅m=23(2+m)，解得m=1，则E点坐标为(3,23)，然后利用待定系数法确定直线GF的解析式为y=89x−2，再求y=0时对应自变量的值，从而得到点F的坐标．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式．
7.【答案】C
【解析】解：∵反比例函数y=−6x在第二象限的图象上有两点A、B，它们的横坐标分别为−1，−3，
∴x=−1，y=6；x=−3，y=2，
∴A(−1,6)，B(−3,2)，
设直线AB的解析式为：y=kx+b，则
−k+b=6−3k+b=2，
解得：k=2b=8，
则直线AB的解析式是：y=2x+8，
∴y=0时，x=−4，
∴CO=4，
∴△AOC的面积为：12×6×4=12．
故选：C．
根据已知点横坐标得出其纵坐标，进而求出直线AB的解析式，求出直线AB与x轴横坐标交点，即可得出△AOC的面积．
此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求一次函数解析式，得出直线AB的解析式是解题关键．
8.【答案】B
【解析】解：原式=2× 32−1−| 3−1|
= 3−1−( 3−1)
=0．
故选B．
将特殊角的三角函数值代入求解．
本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的掌握几个特殊角的三角函数值．
9.【答案】C
【解析】解：如图：
∵点A(t,3)在第一象限，
∴AB=3，OB=t，
又∵tanα=ABOB=32，
∴t=2．
故选：C．
根据正切的定义即可求解．
本题考查锐角三角函数的定义及运用．
10.【答案】C
【解析】解：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，
∴tanA=BCAC，
∵AC=4，tanA=12，
∴BC=AC⋅tanA=2，
∴AB= AC2+BC2= 42+22=2 5．
故选C．
在Rt△ABC中，已知tanA，AC的值，根据tanA=BCAC，可将BC的值求出，再由勾股定理可将斜边AB的长求出．
本题考查了解直角三角形，锐角三角函数的定义，勾股定理，求出BC的值是解题的关键．
11.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了方向角的定义，以及三角形内角和定理，等腰三角形的判定定理，理解方向角的定义是关键．
根据方向角的定义即可求得∠M=70°，∠N=40°，则在△MNP中利用内角和定理求得∠NPM的度数，证明三角形MNP是等腰三角形，即可求解．
【解答】
解：MN=2×40=80(海里)，
∵∠M=70°，∠N=40°，
∴∠NPM=180°−∠M−∠N=180°−70°−40°=70°，
∴∠NPM=∠M，
∴NP=MN=80(海里)．
故选D．
12.【答案】D
【解析】解：对于y=(x−3)2+5，则该函数的对称轴为直线x=3，顶点坐标为(3,5)，
A.∵a=1>0，故抛物线开口向上，故A不符合题意；
B.对于y=(x−3)2+5，则该函数的对称轴为直线x=3，顶点坐标为(3,5)，故B不符合题意，而D符合题意；
C.y=(x−3)2+5=x2−6x+14，则△=b2−4ac=36−1×14×4<0，故C错误，不符合题意；
D.由B知，D正确，符合题意，
故选：D．
根据函数图象和性质逐个求解即可．
本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
13.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了二次函数图象与几何变换，利用了图象的平移规律：上加下减，左加右减．
根据函数图象向右平移减，向下平移减，可得目标函数图象，再根据顶点坐标公式，可得答案．
【解答】
解：函数y=2x2+4x−3的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到图象y=2(x−2)2+4(x−2)−3−1，
即y=2(x−1)2−6，
顶点坐标是(1,−6)，
故选：C．
14.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，比较简单．
由于x=1、2时的函数值相等，然后根据二次函数的对称性列式计算即可得解．
【解答】
解：∵x=1和2时的函数值都是−1，
∴对称轴为直线x=1+22=32．
故选D．
15.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了抛物线与x轴的交点，根的判别式的应用，用了分类讨论思想，题目比较好，但是也比较容易出错．
当m=0时，函数为一次函数与x轴有一个交点，当m≠0时，△=0时，抛物线与x轴只有一个交点．
【解答】
解：分为两种情况：
①当函数是二次函数时，
∵函数y=mx2+(m+2)x+12m+1的图象与x轴只有一个交点，
∴△=(m+2)2−4m(12m+1)=0且m≠0，
解得：m=±2，
②当函数是一次函数时，m=0，
此时函数解析式是y=2x+1，和x轴只有一个交点，
故选D．
16.【答案】C
【解析】解：y=ax2+bx+c(a≠0)，
由图可知：a<0，c>0，
∵图象与x轴有两个交点，
∴b2−4ac>0，
∴①4ac−b2<0，故①正确；
∵当x=−2时，图象在x轴上方，
∴4a−2b+c>0，
∴②4a+c<2b，故②错误；
∵对称轴为直线x=−1，
∴−b2a=−1，
∴b=2a，
当x=1时，y<0，
∴a+b+c<0，
∵b=2a，
∴a=12b，
∴12b+b+c<0，
∴③3b+2c<0，故③正确；
∵当x=−1时，y最大=a−b+c，
∴当x=m时，y=am2+bm+c，
∴am2+bm+c∴④m(am+b)+b故选：C．
由图象开口向下可以得到a<0；图象与x轴有两个交点则b2−4ac>0；对称轴为直线x=−1；当x=−2时，y<0；通过这些条件，结合对函数解析式的变式分析就可以得出结果．
本题考查了二次函数的解析式与图象的关系，解答此题的关键是要明确二次函数的图象与系数的关系．
17.【答案】D
【解析】解：A、圆柱主视图、俯视图分别是长方形、圆，主视图与俯视图不相同，故A选项错误；
B、圆锥主视图、俯视图分别是三角形、有圆心的圆，主视图与俯视图不相同，故B选项错误；
C、三棱柱主视图、俯视图分别是长方形，三角形，主视图与俯视图不相同，故C选项错误；
D、球主视图、俯视图都是圆，主视图与俯视图相同，故D选项正确．
故选：D．
主视图、俯视图是分别从物体正面和上面看，所得到的图形．
本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有看到的棱都应表现在三视图中
18.【答案】A
【解析】解：易得第一层有4碗，第二层最少有2碗，第三层最少有1碗，所以至少共有7盒．
故选：A．
主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．
19.【答案】D
【解析】解：从正面看，一共三列，左边有1个小正方形，中间有1个小正方形，右边有2个小正方形，主视图是：
．
故选：D．
先细心观察原立体图形中正方体的位置关系，从正面看，一共三列，左边有1个小正方形，中间有1个小正方形，右边有2个小正方形，结合四个选项选出答案．
本题考查了由三视图判断几何体及简单组合体的三视图，重点考查几何体的三视图及空间想象能力．
20.【答案】x2+1(答案不唯一)
【解析】解：抛物线y=x2+1开口向上，且与y轴的交点为(0,1)．
故答案为：x2+1(答案不唯一)．
根据二次函数的性质，开口向上，要求a值大于0即可．
本题考查了二次函数的性质，开放型题目，答案不唯一，所写抛物线的a值必须大于0．
21.【答案】2
【解析】解：设B的坐标是(x,3x)，则BC=3x，OC=x，
∵y=kx−1，
∴当y=0时，x=1k，
则OA=1k，AC=x−1k，
∵△ABC的面积为1，
∴12AC×BC=1，
∴12⋅(x−1k)⋅3x=1，
32−32kx=1，
∴kx=3，
∵解方程组y=3xy=kx−1得：3x=kx−1，
∴3x=3−1=2，x=1.5，
即B的坐标是(1.5,2)，
把B的坐标代入y=kx−1得：k=2，
故答案为：2．
设B的坐标是(x,3x)，则BC=3x，OC=x，求出OA=1k，AC=x−1k，根据△ABC的面积为1求出kx=3，解方程组y=3xy=kx−1得出3x=kx−1，求出B的坐标是(1.5,2)，把B的坐标代入y=kx−1即可求出k．
本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，三角形的面积等知识点的应用，主要考查学生的计算能力，题目比较好，有一定的难度．
22.【答案】7
【解析】解：∵二次项系数为−1，
∴函数图象开口向下，
顶点坐标为(2,94)，
当y=0时，−(x−2)2+94=0，
解得x1=12，得x2=72．
可画出草图为：(右图)
图象与x轴围成的封闭区域内(包括边界)，横、纵坐标都是整数的点有7个，为(2,0)，(2,1)，(2,2)，(1,0)，(1,1)，(3,0)，(3,1)．
根据二次函数的解析式可知函数的开口方向向下，顶点坐标为(2,94)，当y=0时，可解出与x轴的交点横坐标．
本题考查了二次函数的性质，熟悉二次函数的性质、画出函数草图是解题的关键．
23.【答案】10 6
【解析】解：作BD⊥AC于点D，
由题意得，∠CBA=25°+50°=75°，AB=20，
则∠CAB=(90°−70°)+(90°−50°)=20°+40°=60°，
∴∠ABD=30°，
∴∠CBD=75°−30°=45°，
在Rt△ABD中，BD=AB⋅sin∠CAB=20×sin60°=20× 32=10 3，
在Rt△BCD中，∠CBD=45°，
则BC= 2BD=10 3× 2=10 6，
故答案为：10 6．
作BD⊥AC于点D，根据题意分别求出∠CBA的度数和AB的长，根据正弦的定义、等腰直角三角形的性质计算，得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用−方向角问题，掌握方向角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
24.【答案】解：(1)将点A(2,3)代入解析式y=kx
得：k=6；
(2)将D(3,m)代入反比例解析式y=6x，
得：m=63=2，
∴点D坐标为(3,2)，
设直线AD解析式为y=kx+b，
将A(2,3)与D(3,2)代入
得：2k+b=33k+b=2，
解得：k=−1b=5
则直线AD解析式为y=−x+5；
(3)过点C作CN⊥y轴，垂足为N，延长BA，交y轴于点M，
∵AB//x轴，
∴BM⊥y轴，
∴MB//CN//x轴，
∵C为OB的中点，
∴N为OM的中点，
∴CN=12BM，ON=12OM，
∴S△OCNS△OBM=14，
∵A，C都在双曲线y=6x上，
∴S△OCN=S△AOM=3，
由33+S△AOB=14，
得：S△AOB=9，
则△AOB面积为9．
【解析】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，坐标与图形性质，三角形中位线定理，以及反比例函数k的几何意义，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
(1)将A坐标代入反比例解析式求出k的值即可；
(2)将D坐标代入反比例解析式求出m的值，确定出D坐标，设直线AD解析式为y=kx+b，将A与D坐标代入求出k与b的值，即可确定出直线AD解析式；
(3)过点C作CN⊥y轴，垂足为N，延长BA，交y轴于点M，得到CN与BM平行，根据C为OB的中点，由三角形中位线定理得出N为OM的中点，得到CN=12BM，ON=12OM，确定出S△OCNS△OBM=14，利用反比例函数k的几何意义得出S△OCN=S△AOM=3，得到33+S△AOB=14，求出三角形AOB面积即可．
25.【答案】解：设CD长为x米，
∵AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA=MA，
∴MA//CD//BN，
∴EC=CD=x米，
∴△ABN∽△ACD，
∴BNCD=ABAC，即1.75x=1.25x−1.75，
解得：x=6.125．
经检验，x=6.125是原方程的解，
6.125≈6.1．
答：路灯的高CD的长约为6.1米．
【解析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是根据已知条件得到平行线，从而证得相似三角形．
根据AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA=MA得到MA//CD//BN，从而得到△ABN∽△ACD，利用相似三角形对应边的比相等列出比例式求解即可．
26.【答案】解：如右图所示，
∵DE//AB，∠DPA=30°，∠ACP=90°，PA=18海里，
∴∠A=∠∠DPA=30°，
∴PC=9海里，
∵DE//AB，∠EPB=55°，
∴∠EPB=∠B=55°，
∵sinB=PCPB，sin55°≈0.8，
∴0.8=9PB，
解得，PB≈11，
即到达位于灯塔P的南偏东55°方向上的B处，此时渔船与灯塔P的距离约为11海里．
【解析】根据平行线的性质和锐角三角函数，可以得到PC的长，再根据锐角函数和PC的长，即可得到PB的长，从而可以解答本题．
本题考查解直角三角形的应用−方向角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
27.【答案】解：(1)由题意得：y=(210−10x)(50+x−40)
=−10x2+110x+2100(0(2)由(1)中的y与x的解析式配方得：y=−10(x−5.5)2+2402.5．
∵a=−10<0，∴当x=5.5时，y有最大值2402.5．
∵0当x=5时，50+x=55，y=2400(元)，当x=6时，50+x=56，y=2400(元)
∴当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元．
(3)当y=2200时，−10x2+110x+2100=2200，解得：x1=1，x2=10．
∴当x=1时，50+x=51，当x=10时，50+x=60．
∴当售价定为每件51或60元，每个月的利润为2200元．
当售价不低于51元且不高于60元且为整数时，每个月的利润不低于2200元．
当售价不低于51元且不高于60元且为整数时，每个月的利润不低于2200元(或当售价分别为51，52，53，54，55，56，57，58，59，60元时，每个月的利润不低于2200元)．
【解析】(1)根据题意可知y与x的函数关系式．
(2)根据题意可知y=−10−(x−5.5)2+2402.5，当x=5.5时y有最大值．
(3)设y=2200，解得x的值．然后分情况讨论解．
本题考查二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题，是一道综合题．
28.【答案】解：(1)∵二次函数的图象经过坐标原点O(0,0)，
∴代入二次函数y=x2−2mx+m2−1，得出：m2−1=0，
解得：m=±1，
∴二次函数的解析式为：y=x2−2x或y=x2+2x；
(2)∵m=2，
∴二次函数y=x2−2mx+m2−1得：y=x2−4x+3=(x−2)2−1，
∴抛物线的顶点为：D(2,−1)，
当x=0时，y=3，
∴C点坐标为：(0,3)，
∴C(0,3)、D(2,−1)；
(3)当P、C、D共线时PC+PD最短，
过点D作DE⊥y轴于点E，
∵PO//DE，
∴PODE=COCE，
∴PO2=34，
解得：PO=32，
∴PC+PD最短时，P点的坐标为：P(32,0)．
【解析】(1)根据二次函数的图象经过坐标原点O(0,0)，直接代入求出m的值即可；
(2)根据m=2，代入求出二次函数解析式，进而利用配方法求出顶点坐标以及图象与y轴交点即可；
(3)根据当P、C、D共线时PC+PD最短，利用平行线分线段成比例定理得出PO的长即可得出答案．
此题主要考查了二次函数的综合应用以及配方法求二次函数顶点坐标以及最短路线问题等知识，根据数形结合得出是解题关键．x
−1
0
1
2
3
y
5
1
−1
−1
1

2022-2023学年山东省泰安市重点中学九年级（上）期末数学试卷（五四学制）（含解析）

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