2022-2023学年广东省肇庆重点中学八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年广东省肇庆重点中学八年级（上）期末数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.2022年冬奥会将在北京举行，中国将是第一个实现奥运“全满贯”(先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会)的国家，在会徽的图案设计中，设计者常常利用对称性进行设计，下列四个图案是历届会徽图案上的一部分图形，其中不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列运算正确的是( )
A. (−2a)3=−8a3B. a2⋅a2=2a4C. (a3)2=a5D. a3÷a3=a
3.下列二次根式中，是最简二次根式的是( )
A. 8B. 0.2C. 13D. 35
4.分式x2−9x+3的值为0，则x的值为( )
A. 3B. −3C. ±3D. 9
5.下列从左到右的变形是因式分解的是( )
A. (y−1)(y−2)=y2−3y+2B. a2+2ax+x2=a(a−2x)+x2
C. x2+x+14=(x+12)2D. (x+3)(x−3)=x2−9
6.已知图中的两个三角形全等，则∠1的度数是( )
A. 76°B. 60°C. 54°D. 50°
7.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD，则∠DBC的度数是( )
A. 25°
B. 30°
C. 35°
D. 40°
8.如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是( )
A. ∠A=∠C
B. AD=CB
C. BE=DF
D. AD//BC
9.在直角坐标系中，点P(−2,3)到原点的距离是( )
A. 5B. 13C. 11D. 2
10.如图，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=6cm，BC=10cm，则EC的长为( )
A. 103
B. 83
C. 3
D. 5
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.点M(−2,7)关于y轴对称的点的坐标为______．
12.已知某种新型感冒病毒的直径为0.000000815米，用科学记数法表示为______米．
13.使代数式1 x−2有意义的x的取值范围是 ．
14.一个直角三角形的两条直角边分别为6和8，那么这个直角三角形斜边上的高为______．
15.如图，将一个45度角的直角三角板放在直角坐标系点C处，三角板两直角边落在x轴，y轴的点A，B处，已知点C(3,3)，则OA+OB的值为______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
(1)计算：3 2−2 8；
(2)分解因式：3x2−12y2．
17.(本小题8分)
如图．在△ABC和△AEF中，AE=AB，AC=AF，∠CAF=∠BAE．
求证：△ABC≌△AEF．
18.(本小题8分)
先化简，再求值：(1−1x−1)÷x2−4x+4x2−1，其中x= 2+2．
19.(本小题9分)
(1)计算： 27−(−2023)0+(13)−1−| 3−2|；
(2)解方程：xx−1=32x−2−2．
20.(本小题9分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．
(1)请用尺规作图，作AB的垂直平分线交BC于点P(保留作图痕迹，不要求写作法)；
(2)若∠ABC=30°，AC=6，求BC的长度．
21.(本小题9分)
新年来临之际，某超市的儿童专柜用3000元购进一批儿童玩具，很快售完；第二次购进时，每件的进价提高了20%，同样用3000元购进的数量比第一次少了10件．
(1)求第一次每件的进价为多少元？
(2)若两次购进的玩具售价均为65元，且全部售完，求两次的总利润为多少元？
22.(本小题12分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=3cm，动点P从点A出发，沿射线AC，1cm/s的速度运动，设运动时间为t秒．

(1)求AC的值；
(2)当△ABP为等腰三角形时，直接写出t的值；
(3)当△ABP为直角三角形时，求t的值．
23.(本小题12分)
如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点(端点除外)，点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M．
(1)求证：△ABQ≌△CAP；
(2)当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．
(3)如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A，B，C选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：D．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
2.【答案】A
【解析】解：A.(−2a)3=(−2)3⋅a3=−8a3，故此题正确，符合题意；
B.a2⋅a2=a4，故此题错误，不符合题意；
C.(a3)2=a6，故此题错误，不符合题意；
D.a3÷a3=a0=1，故本选项错误，不符合题意．
故选：A．
根据同底数幂乘法法则，幂的乘方法则，积的乘方的运算性质以及合并同类项的法则，对各选项计算后利用排除法求解．
本题主要考查同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；合并同类项，只把系数相加减，字母和字母的指数不变．熟练掌握性质是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：A、 8=2 2，故A不符合题意；
B、 0.2= 55，故B不符合题意；
C、 13= 33，故C不符合题意；
D、 35是最简二次根式，故D符合题意；
故选：D．
根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不能含有分母，分母中不含有根号，即可解答．
本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：由题意可知：x2−9=0x+3≠0，
解得：x=3，
故选：A．
根据分式的值为零的条件即可求出答案．
本题考查分式的值为零，解题的关键是正确列出方程组求出x的值，本题属于基础题型．
5.【答案】C
【解析】解：A.(y−1)(y−2)=y2−3y+2，从等式的左边到右边的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B.a2+2ax+x2=a(a−2x)+x2，等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C.x2+x+14=(x+12)2，从左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
D.(x+3)(x−3)=x2−9，从等式的左边到右边的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：C．
根据因式分解的定义逐个判断即可．
本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
6.【答案】D
【解析】解：第一个三角形中b、c之间的夹角为180°−76°−54°=50°，
∠1是b、c之间的夹角．
∵两个三角形全等，
∴∠1=50°．
故选：D．
根据全等三角形对应角相等可知∠1是b、c边的夹角，然后写出即可．
本题考查了全等三角形对应角相等，根据对应边的夹角准确确定出对应角是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：∵AB=AC，∠A=40°，
∴∠ABC=∠ACB=(180°−40°)÷2=70°，
∵AB的垂直平分线交AC于点D，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=40°，
∴∠DBC=70°−40°=30°，
故选：B．
根据等腰三角形的性质可得∠ABC的度数，根据线段垂直平分线的性质可得∠ABD=∠A，进一步可得∠DBC的度数．
本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，
∴AF=CE，
A、在△ADF和△CBE中，∠A=∠CAF=CE∠AFD=∠CEB,
∴△ADF≌△CBE(ASA)，
故A不符合题意；
B、在△ADF和△CBE中，AD=BC，AF=CE，∠AFD=∠CEB，
∴△ADF与△CBE不一定全等，
故B符合题意；
C、在△ADF和△CBE中，AF=CE∠AFD=∠CEBDF=BE,
∴△ADF≌△CBE(SAS)，
故C不符合题意；
D、∵AD/​/BC，
∴∠A=∠C，
在△ADF和△CBE中，∠A=∠CAF=CE∠AFD=∠CEB,
∴△ADF≌△CBE(ASA)，
故D不符合题意．
故选：B．
根据等式的性质由AE=CF可得AF=CE，然后利用全等三角形的判定方法逐一判断即可解答．
本题考查全等三角形的判定，熟记判定三角形全等的方法是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：过P作PE⊥x轴，连接OP，
∵P(−2,3)，
∴PE=3，OE=2．
在Rt△OPE中，根据勾股定理得：OP2=PE2+OE2，
∴OP= 32+22= 13，则点P在原点的距离为 13．
故选：B．
在平面直角坐标系中找出P点，过P作PE垂直于x轴，连接OP，由P的坐标得出PE及OE的长，在直角三角形OPE中，由PE及OE的长，利用勾股定理求出OP的长，即为P到原点的距离．
此题考查了勾股定理，以及坐标与图形的性质，勾股定理为：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，灵活运用勾股定理是解本题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴DC=AB=6，AD=BC=10，∠B=∠D=∠C=90°，
∵折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处
∴AF=AD=10，DE=EF，
在Rt△ABF中，BF= AF2−AB2= 102−82=8，
∴FC=BC−BF=10−8=2，
设EC=x，则DE=6−x，EF=6−x，
在Rt△EFC中，
∵EC2+FC2=EF2，
∴x2+22=(6−x)2，解得x=83，
∴EC的长为83cm．
故选：B．
根据矩形的性质得DC=AB=6，AD=BC=10，∠B=∠D=∠C=90°，再根据折叠的性质得AF=AD=10，DE=EF，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF=8，则FC=2，设EC=x，则DE=EF=6−x，在Rt△EFC中，根据勾股定理得x2+22=(6−x)2，然后解方程即可．
本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理．
11.【答案】(2,7)
【解析】解：点M(−2,7)关于y轴对称的点的坐标为(2,7)．
故答案为：(2,7)．
根据关于y轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数，可得答案．
本题考查了关于y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
12.【答案】8.15×10−7
【解析】解：将0.000000815用科学记数法表示为8.15×10−7．
故答案为：8.15×10−7．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
13.【答案】x>2
【解析】解：由题意得，x−2>0，
解得x>2．
故答案为：x>2．
根据分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数进行解答．
本题考查的是分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，掌握分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
14.【答案】4.8
【解析】解：∵直角三角形的两条直角边分别为6，8，
∴斜边为 62+82=10，
设斜边上的高为h，
则直角三角形的面积为12×6×8=12×10h，h=4.8，
这个直角三角形斜边上的高为4.8，
故答案为4.8．
根据勾股定理可求出斜边．然后由于同一三角形面积一定，可列方程直接解答．
本题考查了勾股定理的运用，即直角三角形的面积的求法，求出斜边长是关键，属中学阶段常见的题目，需同学们认真掌握．
15.【答案】6
【解析】解：如图，过C作CD⊥x轴于点D，CE⊥y轴于点E，
则∠CDA=∠CEB=90°，
∵点C(3,3)，
∴CD=CE=OE=OD=3，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴AC=BC，
在Rt△ACD和Rt△BCE中，
CD=CEAC=BC，
∴Rt△ACD≌Rt△BCE(HL)，
∴AD=BE，
∴OA+OB=OA+BE+OE=OA+AD+OE=OD+OE=3+3=6，
故答案为：6．
过C作CD⊥x轴于点D，CE⊥y轴于点E，证Rt△ACD≌Rt△BCE(HL)，得AD=BE，即可解决问题．
本题考查了全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质以及等腰直角三角形的性质等知识，证明三角形全等是解题的关键．
16.【答案】解：(1)原式=3 2−4 2=− 2；
(2)原式=3(x2−4y2)=3(x+2y)(x−2y)．
【解析】(1)先化简，再合并同类二次根式即可；
(2)先提取公因数3，然后利用平方差公式分解因式即可．
本题考查了二次根式的化简，合并同类二次根式法则，因式分解等知识，掌握相关运算法则是解题的关键．
17.【答案】证明：∵∠CAF=∠BAE，
∴∠CAF+∠CAE=∠BAE+∠CAE，
即∠EAF=∠BAC，
在△ABC和△AEF中，
AB=AE ∠BAC=∠EAF AC=AF ，
∴△ABC≌△AEF(SAS)．
【解析】根据全等三角形的判定定理求解即可．
此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
18.【答案】解：(1−1x−1)÷x2−4x+4x2−1
=x−1−1x−1⋅(x+1)(x−1)(x−2)2
=x−2x−1⋅(x+1)(x−1)(x−2)2
=x+1x−2，
当x= 2+2时，原式= 2+2+1 2+2−2= 2+3 2=2+3 22．
【解析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
19.【答案】解：(1)原式=3 3−1+3−(2− 3)
=3 3−1+3−2+ 3
=4 3；
(2)xx−1=32x−2−2
去分母，得2x=3−2(2x−2)，
去括号，得2x=3−4x+4，
移项，并合并同类项，得6x=7，
∴x=76，
检验，当x=76时，2x−2≠0，
∴原分式方程的解为x=76．
【解析】(1)根据算术平方根的定义，零指数幂、负整数指数幂的意义以及绝对值的意义计算即可；
(2)根据解分式方程的步骤求解即可．
本题考查了算术平方根的定义，零指数幂、负整数指数幂的意义以及绝对值的意义，解分式方程等知识，掌握相关知识是解题的关键．
20.【答案】解：(1)如图，
；
(2)∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=6，
∴AB=2AC=12，
∴BC= AB2−AC2=6 3．
【解析】(1)按照作线段垂直平分线的步骤作图即可；
(2)先根据含30度的直角三角形性质求出AB，然后在Rt△ABC中，根据勾股定理求解即可．
本题考查了尺规作图，勾股定理，含30度的直角三角形性质等知识，掌握以上知识是解题的关键．
21.【答案】解：(1)设第一次每件的进价为x元，则第二次进价为(1+20%) x，
根据题意得：3000 x−3000(1+20%)x=10，
解得：x=50，
经检验：x=50是方程的解，且符合题意，
答：第一次每件的进价为50元；
(2)65×(300050+300050×1.2)−3000×2=1150(元)，
答：两次的总利润为1150元．
【解析】(1)设第一次每件的进价为x元，则第二次进价为(1+20%)x，根据等量关系，列出分式方程，即可求解；
(2)根据总利润=总售价−总成本，列出算式，即可求解．
本题主要考查分式方程的实际应用，找准等量关系，列出分式方程，是解题关键．
22.【答案】解：(1)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=3cm，
∴AC= AB2−BC2= 52−32=4(cm)；
(2)由题意知AP=t cm，
①当AB=AP时，
∴t=5；
②当AB=BP时，
∵∠ACB=90°，
∴AP=2AC=8cm，
∴t=8；
③当BP=AP=t cm时，如图1，

则CP=(4−t)cm，
在Rt△BPC中，BP2=CP2+BC2，
∴t2=(4−t)2+32，
解得t=258，
综上，当△ABP为等腰三角形时，t的值为5或8或258；
(3)由题意知：∠BAP<90°，
①当∠APB为直角时，点P和点C重合，
∴AP=AC=4cm，
∴t=4，
②当∠ABP为直角时，如图2，

在Rt△ABP中，BP2=AP2−AB2=t2−52，
在Rt△BCP中，BP2=BC2+CP2=32+(t−4)2，
∴t2−52=32+(t−4)2，
解得t=254，
综上，当△ABP为直角三角形时，t的值为4或254．
【解析】(1)根据勾股定理求解即可；
(2)当△ABP为等腰三角形时，分三种情况：①当AB=AP时；②当AB=BP时；③当BP=AP时，分别求出AP的长度，继而可求得t值；
(2)当△ABP为直角三角形时，分两种情况：①当∠APB为直角时，②当∠ABP为直角时，分别求出此时的t值即可．
本题考查了勾股定理以及等腰三角形的知识，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分情况讨论，注意不要漏解．
23.【答案】(1)证明：∵△ABC是等边三角形
∴∠ABQ=∠CAP=60°，AB=CA，
又∵点P、Q运动速度相同，
∴AP=BQ，
在△ABQ与△CAP中，
∵AB=CA∠ABQ=∠CAPBQ=AP,
∴△ABQ≌△CAP(SAS)；
(2)解：点P、Q在运动的过程中，∠QMC不变．
理由：∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ=∠ACP，
∵∠QMC=∠ACP+∠MAC，
∴∠QMC=∠BAQ+∠MAC=∠BAC=60°；
(3)解：点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时，∠QMC不变．
理由：在△ABQ与△CAP中，
BQ=AP∠CAP=∠ABQ=60°AB=CA,
∴△ABQ≌△CAP(SAS)，
∴∠BAQ=∠ACP，
∵∠QMC=∠BAQ+∠APM，
∴∠QMC=∠ACP+∠APM=180°−∠CAP=180°−60°=120°．
【解析】此题是一个综合性题目，主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识．
(1)根据等边三角形的性质，利用SAS证明△ABQ≌△CAP；
(2)由△ABQ≌△CAP根据全等三角形的性质可得∠BAQ=∠ACP，结合三角形内角和定理和邻补角性质，从而可得到∠QMC的度数；
(3)由△ABQ≌△CAP根据全等三角形的性质可得∠BAQ=∠ACP，结合三角形内角和定理和邻补角性质，可得到∠QMC的度数．