黑龙江省牡丹江市普通高中第二共同体2023-2024学年高三上学期1月期末联考数学试题(含答案)

这是一份黑龙江省牡丹江市普通高中第二共同体2023-2024学年高三上学期1月期末联考数学试题(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合的一个必要条件是，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．已知，下列说法正确的是（ ）
A．的虚部为B．C．D．
3．点到双曲线的一条渐近线的距离为（ ）
A．B．C．D．
4．7个人站成两排，前排3人，后排人4，其中甲乙两人必须挨着，甲丙必须分开站，则一共有（ ）种站排方式．
A．672B．864C．936D．1056
5．已知圆锥的底面半径为4，其侧面展开图为一个四分之一圆，则该圆锥的母线长为（ ）
A．12B．14C．16D．18
6．（ ）
A．1B．C．D．2
7．已知点，动点满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数的零点为，函数的零点为，则下列不等式中成立的是（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知向量，若，则等于（ ）
A．0B．－1C．1D．－2
10．如图，在正方体中，，点分别在棱和上运动（不含端点），若，则下列说法正确的是（ ）
A．直线与直线所成角为B．平面
C．D．线段长度的最大值为
11．下列不等式正确的是（ ）
A．已知为正实数，，则的最小值为
B．有最小值2
C．已知正数满足，则的最大值是1
D．若对任意恒成立，则实数的取值范围是
12．已知抛物线，倾斜角为锐角的直线过其焦点并与抛物线交于两点，下列正确的是（ ）
A．抛物线上的点到点的距离最小值为 B．三角形（为原点）面积最小值为
C．抛物线在点处的切线方程为 D．若，则
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．某学校考试数学成绩服从正态分布，且，则成绩在的概率为______．
14．在正项等比数列中，已知，则______．
15．已知函数在上恰有两个零点，则的取值范围______．
16．函数有且只有3个零点，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）在中，．
（1）求；
（2）若，且的周长为，求的面积．
18．（12分）已知数列是递增的等差数列，数列是等比数列，且，、成等比数列，，，
（1）求数列和的通项公式
（2）若，求数列的前n项和．
19．（12分）近期，一些地方中小学生“课间10分钟”问题受到社会广泛关注，国家号召中小学要增加学生的室外活动时间．但是进入12月后，天气渐冷，很多学生因气温低而减少了外出活动次数．为了解本班情况，一位同学统计了一周（5天）的气温变化和某一固定课间该班级的学生出楼人数，得到如下数据：
（1）利用最小二乘法，求变量之间的线性回归方程；
附：用最小二乘法求线性回归方程的系数：

（2）预测当温度为时，该班级在本节课间的出楼人数（人数：四舍五入取整数）．
（3）为了号召学生能够增加室外活动时间，学校举行拔河比赛，采取3局2胜制（无平局）．在甲、乙两班的较量中，甲班每局获胜的概率均为，设随机变量X表示甲班获胜的局数，求的分布列和期望．
20．（12分）如图，矩形中为边的中点，将沿直线翻折成，使，若为线段的中点，
（1）求证：平面
（2）求证：平面平面
（3）求二面角夹角的正弦值
21．（12分）已知椭圆Ｃ：左右焦点分别为，，离心率为，A，B为上的两个动点，且面积的最大值为2．
（1）求的方程．
（2）若，两点的纵坐标的乘积大于，是椭圆的左右顶点，且．证明：直线过定点．
22．（12分）已知函数
（1）求单调区间
（2）已知为整数，关于的不等式在时恒成立，求的最大值．
牡丹江市第二高级中学高三年级第三次教学质量检测试题数学答案
1．C【详解】解不等式，即，得，
故，
所以的一个必要条件是，
则对于A，不一定是的子集，A错误；
对于B，不是的子集，B错误；
对于C，是的子集，C正确；
对于D，不一定是的子集，比如时，D错误；
2．C ，选C
3．【分析】首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可．
【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为：，即，结合对称性，不妨考虑点到直线的距离：．故选：A．
4．D ，选D．
5．【答案】C
【分析】设圆锥的母线长为，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得的值，即为所求．
【详解】设圆锥的母线长为，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则，解得
故选：C
6．C原式选C．
7．B
由题意可知轨迹为，当重合且三点共线时，取得最值．即答案B．
8．【答案】C
【详解】由得，
因为与关于直线对称，
在同一坐标系下，画出的图象，
如图所示：
则关于对称．
所以，故B错误．
因为，所以，故A错误．
因为在上为增函数，
，所以．
又因为点在直线上，且，所以．
，故C正确．
因为，所以，设在为增函数．
所以，即，故D错误．
9．答案CD 又又解得或
10．BD
【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，对选项逐一判断，即可得到结果．
【详解】
在正方体中，以为原点，分别为轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则．
，其中，而，则，
对于选项B，因为，则，
所以，又平面，所以平面，故B正确；
对于选项C，因为，且，则，且，所以，故C错误；
对于选项D，因为，且，
当且仅当时，即时，，
则，所以线段长度的最大值为，故D正确；
故选：BD
11．ACD
解析：对于A．
当且仅当时，成立∴A正确
对于B．
当且仅当，即时，不合题意，不能取等∴B错误
对于C．，当且仅当时，成立∴C正确
对于D．恒成立，，
当且仅当时，成立D正确
12．CD
，所以即
D：
13．0.68
因为是对称轴所以综上
14．答案：16
因为所以，因为所以所以
所以所以
15．
解析：，
，解得，
16．
解：当时，时，
由解得又，所以．
综上，当，不合题意
17．【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得的值，结合角的取值范围可求得角的值；
（2）利用三角形的面积公式可求得的值，由余弦定理可求得的值，即可求得的周长．
【详解】（1）解：
因为，则，由已知可得，
可得，因此，
（2）解：周长
，
由①②得所以，
18．答案：
递增，
．
．
19．解析：（1）
，
回归直线方程为
（2）当时，（人）
所以，预测当温度为时，该班级在本节课间的出楼人数为19人．
（3）随机变量x可取0，1，2
所以的分布列为：
所以的数学期望为
20．【答案】
（1）取中点，连接，和分别是的中点
，又平面平面，平面
是的中点且四边形为平行四边形
，又平面平面平面．
又平面
平面平面，又平面平面
（2）
平面平面
（3）取中点，连接
平面
以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，
过点做的平行线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
设平面的法向量为，
则
令，则
设平面的法向量为，
则
令，则
设二面角的夹角为
则
二面角夹角的正弦值为
21．【详解】（1）依题意可得，则，故的方程为
（2）由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立得．
设A，的坐标分别为
．
且．
设直线的倾斜角分别为
因为，且两点的纵坐标的乘积大于0，所以，所以
则，则
即，．8
所以
所以，化简可得．
则直线的方程为．故直线过定点
22．解：（1）的定义域是
令，，
所以的单调递增区间是,的单调递减区间是
（2）在单调递增
故在恒成立
在恒成立
设，只需即可
设．
当时，恒成立，在单调递增
故存在唯一实数在存在唯一的零点，使得，即
故，当单调递减
当单调递增
故
所以，所以的最大整数是4.
温度（零下）
7
10
11
15
17
出楼人数
20
16
17
10
7
x
0
1
2
p