山东省济宁市邹城市第十中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份山东省济宁市邹城市第十中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共26页。试卷主要包含了选择题，四象限，，解答题等内容，欢迎下载使用。
第I卷（选择题）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列各数是无理数的是（ ）
A. 0B. C. D. 3.14
【答案】C
【解析】
【分析】根据无理数的定义：无理数是无限不循环小数进行分析，即可得到答案．
【详解】解：0、-1、3.14是有理数，是无理数．
故选：C．
【点睛】此题考查了无理数和有理数，解题的关键是熟练掌握无理数的定义．
2. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由数轴及题意可得，，依此逐一判断各项即可．
【详解】解：A.由，可知A选项不符合题意；
B.由，可知，可知B选项不符合题意；
C.由，可知，故，可知C选项符合题意；
D.因为，，故，可知D选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了实数与数轴的知识，利用数轴比较实数的大小是解题的关键．
3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B更多优质资源可进入 【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念，是解题的关键．
【详解】解：A、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故不符合题意；
B、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故符合题意；
C、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意；
D、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故不符合题意；
故选：B．
4. 如图，△ABC中，，D，E分别为CB，AB上的点，，，若，则DE的长为（ ）
A. B. 2C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】先根据三边长判断各角的度数，然后利用等腰三角形“三线合一”求出，再，最后根据全等三角形的性质求出DE的长．
【详解】解：△ABC中，，，，
，
，
，
，
，，
， ，
，

，
，
又，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了直角三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，根据特殊三角函数值求解度，三角形外角的性质，根据三角形三边确定三角形各角的度数是解本题的关键．
5. 函数与在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象及反比例函数的图象，分类讨论：当时，当时，利用数形结合即可求解，利用分类讨论思想和数形结合思想解决问题是解题的关键．
【详解】解：当时，则，
抛物线的开口向上，且与轴交于负半轴，
反比例函数的图象经过一、三象限，
当时，
抛物线的开口向下，且与轴交于正半轴，
反比例函数的图象经过二、四象限，
综上所述，在同一直角坐标系中的图象可能，
故选A．
6. 如图，矩形在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数和的图像上，点，在轴上，若，则的值为( )
A. 12B. 7C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】延长交轴于点，根据点，分别在反比例函数和上得到，又根据即可得到答案．
【详解】解：延长交轴于点，
点，分别在反比例函数和上，
，
，
,
，
，
或（舍去）．
故选：D
【点睛】本题主要考查反比例函数中的几何意义，掌握反比例函数中 的几何意义是解题的关键．
7. 如图，是的直径，点，在上，，交于点．若．则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据圆周角定理得到∠，再根据等弧所对的弦相等，得到，∠，最后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，得到∠CAD=，∠BAG=，即可求解．
【详解】解：∵是的直径
∴∠
∵
∴
∴∠
∵
∴∠
∴∠
∴∠
故选：B．
【点睛】此题主要考查圆周角定理和弧、弦及圆周角之间的关系，熟练掌握圆周角定理和三者之间的关系是解题关键．
8. 如图，正方形的边长为6，以为直径在正方形内部画半圆，连接对角线，则阴影部分的面积是（ ）
A. 9B. 6C. 3D. 12
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了求不规则图形的面积、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、圆的性质，设与半圆交于点，半圆的圆心为，连接，，证明得到弓形的面积弓形的面积，则，进行计算即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，设与半圆交于点，半圆的圆心为，连接，，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
垂直平分，
，
弓形的面积弓形的面积，
，
故选：A．
9. 若点A（﹣4，y1）、B（﹣2，y2）、C（2，y3）都在反比例函数的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是( )
A. y1＞y2＞y3B. y3＞y2＞y1C. y2＞y1＞y3D. y1＞y3＞y2
【答案】C
【解析】
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值，比较后即可得出结论.
【详解】∵点A(﹣4，y1)、B(﹣2，y2)、C(2，y3)都在反比例函数的图象上，
∴，，，
又∵﹣＜＜，
∴y3＜y1＜y2，
故选C.
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数值的大小比较，熟知反比例函数图象上的点的坐标满足反比例函数的解析式是解题的关键.
10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则AP＋BP的最小值为（ ）
A. 7B. 5C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】思路引领：如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM．利用相似三角形的性质证明MPPA，可得AP+BP＝PM+PB≥BM，利用勾股定理求出BM即可解决问题．
答案详解：如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM．
∵PC＝3，CM＝1，CA＝9，
∴PC2＝CM•CA，
∴，
∵∠PCM＝∠ACP，
∴△PCM∽△ACP，
∴，
∴PMPA，
∴AP+BP＝PM+PB，
∵PM+PB≥BM，
在Rt△BCM中，∵∠BCM＝90°，CM＝1，BC＝7，
∴BM5，
∴AP+BP≥5，
∴AP+BP的最小值为5．
故选：B．
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
11. 分解因式：____．
【答案】
【解析】
【分析】先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可得解．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先要提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
12. 为落实“双减”政策，学校随机调查了30名学生一周平均每天的睡眠时间，统计结果如下表，则这些被调查学生睡眠时间的中位数是______小时．
【答案】8
【解析】
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数．
【详解】解：由统计表可知：统计表中是按从小到大的顺序排列的，最中间两名学生一周平均每天的睡眠时间分别是8，8，故中位数是(8+8)÷2=8，
故答案8．
【点睛】本题考查了确定一组数据的中位数的能力．将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个数来确定中位数．如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数，则找中间两位数的平均数．
13. 一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上．每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是______．

【答案】
【解析】
【分析】先判断黑色区域的面积，再利用概率公式计算即可
【详解】解：因为正方形的两条对角线将正方形分成面积相等的四个三角形，即四个黑色三角形的面积等于一个小正方形的面积，所以黑色区域的面积为2个小正方形的面积，而共有9个小正方形则有小球停留在黑色区域的概率是
故答案为：
【点睛】本题考查概率的计算，正方形的性质、熟练掌握概率公式是关键
14.
，，若，，请借助下图直观分析，通过计算求得的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】设图形中小正方形边长为n，最中间的正方形边长为m，则大正方形的边长为，根据最大正方形的面积计算即可．
【详解】设图形中小正方形边长为n，最中间正方形边长为m，则大正方形的边长为，
∴大正方形的面积为：
∵，
∴
∵，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查完全平方公式与几何图形，利用数形结合思想表示图形的边长是解题的关键．
15. 如图，矩形OABC的边OA，OC分别在轴、轴上，点B在第一象限，点D在边BC上，且∠AOD=30°，四边形OA′B′D与四边形OABD关于直线OD对称（点A′和A，B′和B分别对应），若AB=1，反比例函数的图象恰好经过点A′，B，则的值为_________．
【答案】
【解析】
【详解】解：∵四边形ABCO是矩形，AB=1，
∴设B（m，1），
∴OA=BC=m，
∵四边形OA′B′D与四边形OABD关于直线OD对称，
∴OA′=OA=m，∠A′OD=∠AOD=30°，
∴∠A′OA=60°，
过A′作A′E⊥OA于E，
∴OE=m，A′E=m，
∴A′（m，m），
∵反比例函数y=（k≠0）的图象恰好经过点A′，B，
∴m•m=m，
∴m=，
∴k=．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征；矩形的性质，利用数形结合思想解题是关键．
三、解答题：本题共7小题，共55分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16.
【答案】0
【解析】
【分析】先计算负整数指数幂、特殊角的三角函数值、开立方和零指数幂，后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【详解】解：
=3-4×-2+1
=3-2-2+1
=0
【点睛】此题主要考查了实数的运算，负整数指数幂、特殊角的三角函数值、开立方和零指数幂．熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17. “二十四节气”是中华民族悠久历史文化的重要组成部分，蕴含着中华民族悠久的文化内涵和历史积淀．某校为了解学生对“二十四节气”知识的了解程度，做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级：A．非常了解；B．比较了解；C．不太了解；D．不了解．根据调查统计结果，绘制了不完整的两幅统计图．请结合统计图，回答下列问题：
（1）本次参与调查的学生共有__________人．
（2）直接补全条形统计图．
（3）求扇形统计图中等级C的圆心角度数．
（4）该校共有1200名学生，请你估计该校对“二十四节气”知识了解程度为“非常了解”和“比较了解”的学生共有多少人．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
（4）该校对“二十四节气”知识了解程度为“非常了解”和“比较了解”的学生人数为人
【解析】
【分析】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图的信息关联，补全条形统计图，求扇形统计图圆心角度数，由样本估计总体，读懂条形统计图与扇形统计图是解此题的关键．
（1）根据A等级的人数和所占百分比进行计算即可得出本次参与调查的学生人数；
（2）先计算出C等级的人数，再补全条形统计图即可；
（3）先计算出C等级的人数所占的百分比，再乘以即可得出答案；
（4）根据该校对“二十四节气”知识了解程度为“非常了解”和“比较了解”的学生所占的比例乘以即可得出答案．
【小问1详解】
解：由题意可得：
本次参与调查的学生共有（人），
故答案为：；
【小问2详解】
解：C等级的人数为：（人），
补全条形统计图如图所示：
；
【小问3详解】
解：C等级的人数所占的百分比为：，
扇形统计图中等级C的圆心角度数为：；
【小问4详解】
解：该校对“二十四节气”知识了解程度为“非常了解”和“比较了解”的学生人数为：（人），
该校对“二十四节气”知识了解程度为“非常了解”和“比较了解”的学生人数为人．
18. 在平面直角坐标系中，△OAB三个顶点的坐标分别为O（0，0），A（3，0），B（2，3）．
（1）tan∠OAB＝ ；
（2）在第一象限内画出△OA'B'，使△OA'B'与△OAB关于点O位似，相似比为2：1；
（3）在（2）的条件下，S△OAB：S四边形AA′B′B＝ ．
【答案】（1）3；（2）见解析；（3）3
【解析】
【分析】（1）根据正切的定义求解可得；
（2）利用位似图形的概念作出点A、B的对应点，再与点O首尾顺次连接即可得；
（3）利用位似变换的性质求解可得．
详解】解：（1）如图，过点B作BC⊥OA于点C，
则AC＝1、BC＝3，
∴tan∠OAB＝＝3，
故答案为：3；
（2）如图所示，△OA'B'即为所求．
（3）∵△OA'B'与△OAB关于点O位似，相似比为2：1，
∴S△OA'B'＝4S△OAB，
则S四边形AA′B′B＝3S△OAB，即S△OAB：S四边形AA′B′B＝1：3，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查作图−位似变换，解题的关键是掌握位似变换的定义和性质．
19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，．
（1）直接写出_____；______；
（2）请结合图象直接写出不等式的解集是__________；
（3）若点为轴上一点，的面积为，求点的坐标．
【答案】（1）3，1；（2）或；（3）或．
【解析】
【分析】（1）把点代入反比例函数解析式中，解得m的值，再把点代入反比例解析式中，得到n的值；
（2）根据图象解题，一次函数图象位于反比例函数图象的上方，据此写出自变量的取值范围；
（3）先令x=0求得点，再由解题即可．
【详解】解：（1）反比例函数的图象经过，，则，
反比例函数的表达式为，
又点在反比例函数的图象上．，即，
（2）一次函数的图象经过、两点．
解得
一次函数的表达式为；
观察图象可知，不等式的解集为或；
（3）设直线与轴交于点，则，
，
，
或．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合，涉及待定系数法求反比例函数解析式、待定系数法求一次函数解析式等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
20. 如图，以BC为直径的⊙O交△ABC的边AB于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E，且AC＝BC．
（1）求证：DE⊥AC；
（2）若BC＝4cm，AD＝3cm，求AE的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）如图所示，连接OD，证明∠A=∠ODB，得到，再由DE是圆O的切线，即可得到∠DEA=∠ODE=90°，即DE⊥AC；
（2）如图所示，连接OD，CD，由BC是圆O的直径，推出∠AED=∠ADC，即可证明△ADE∽△ACD，得到由此求解即可，
【小问1详解】
解：如图所示，连接OD，
∵OD=OB，
∴∠B=∠ODB，
∵AC=BC，
∴∠A=∠B，
∴∠A=∠ODB，
∴，
∵DE是圆O的切线，
∴∠ODE=90°，
∴∠DEA=∠ODE=90°，即DE⊥AC；
【小问2详解】
解：如图所示，连接OD，CD，
∵BC是圆O的直径，
∴∠BDC=90°，
∴∠ADC=90°
∴∠AED=∠ADC，
又∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACD，
∴，
∵AC＝BC，BC＝4cm，
∴AC＝4cm，
即，
∴．
【点睛】本题主要考查圆切线的性质，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，平行线的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键．
21. 如图1，正方形与正方形有公共顶点，点分别在边和上，连接，是的中点，连接交于点．

（1）【观察猜想】
线段与之间的数量关系是__________，位置关系是________．
（2）【问题呈现】
将图1中的正方形绕点顺时针旋转至图2的位置，是的中点，所在直线交于点，请尝试探究线段与之间的关系是否仍然成立？
【探究思路】
延长至点，使，连接，可证明，从而将线段转化为线段，进而探究所需结论．
【问题解决】
①请在图2中按要求作出辅助线，并写出的证明过程；
②线段与之间的关系是否仍然成立？并说明理由．
（3）若，将图1中的正方形绕点旋转一周，是否存在最小值？若存在请求出最小值，若不存在请说明理由．
【答案】（1），
（2）①见解析；②关系仍然成立，理由见解析
（3）存在最小值，为
【解析】
【分析】（1）由“”证明，可得，，可得结论；
（2）①由“”证明，可得，，由“”证明；②由全等三角形的性质可得，，由余角的性质可得结论；
（3）当点，点，点三点共线时，有最小值，由勾股定理可求解．
【小问1详解】
解：四边形和四边形是正方形，
，，，
，
，，
，点是的中点，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：，；
【小问2详解】
证明：如图1，延长至点，使，连接，
，
点是的中点，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
；
结论仍然成立，理由如下：
，
，，
，
，
，
，
，
；
【小问3详解】
解：，
点在以为直径的圆上，
如图2，取中点，以为圆心，为半径作圆，连接，
，
，点是的中点，
，
，
当点、点、点三点共线时，有最小值，
的最小值为．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、正方形的性质、圆的有关知识、旋转的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解此题的关键．
22. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3），顶点为G
（1）求抛物线和直线AC的解析式；
（2）如图1，设E（m，0）为x正半轴上的一个动点，若△CGE和△CGO的面积满足S△CGE=S△CGO，求点E的坐标；
（3）如图2，设点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右运动，运动时间为ts，点M为射线AC上一动点，过点M作MN∥x轴交抛物线对称轴右侧部分于点N．试探究点P在运动过程中，是否存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；y=3x+3；（2）点E的坐标为：（1,0）或（-7,0）；（3）存在，t的值为或或．
【解析】
【分析】（1）用待定系数法即能求出抛物线和直线AC解析式．
（2）△CGE与△CGO虽然有公共底边CG，但高不好求，故把△CGE构造在比较好求三角形内计算．延长GC交x轴于点F，则△FGE与△FCE的差即为△CGE．
（3）设M的坐标（e，3e＋3），分别以M、N、P为直角顶点作分类讨论，利用等腰直角三角形的特殊线段长度关系，用e表示相关线段并列方程求解，再根据e与AP的关系求t的值．
【详解】解：（1）将点A（-1，0），B（3，0），点C（0，3）代入抛物线y=ax2+bx+c得，
，解得，
∴，
设直线AC的解析式为y=kx+n，
将点A（-1，0），点C（0，3）代入得：，解得：k=3，n=3
∴直线AC的解析式为：y=3x+3
（2）延长GC交x轴于点F，过点G作GH⊥x轴于点H，
∵
∴G（1,4），GH=4，
∴，
若S△CGE=S△CGO，
则S△CGE=S△CGO=，
①若点E在x轴的正半轴，
设直线CG为，将G（1,4）代入得
∴，
∴直线CG的解析式为y=x+3，
∴当y=0时，x=-3，即F(-3,0)
∵E（m,0）
∴EF=m-(-3)=m+3
∴
=
=
=
=
∴，解得：m=1
∴E的坐标为（1,0）
②若点E在x轴的负半轴上，则点E到直线CG的距离与点（1,0）到直线CG的距离相等，
即点E到点F的距离等于点（1,0）到点F的距离，
∴EF=-3-m=1-(-3)=4
∴m=-7，即E（-7,0）
综上所述，点E的坐标为：（1,0）或（-7,0）
（3）存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，
设M（e,3e+3），e＞-1，则，
①如图2，若∠MPN=90°，PM=PN，
过点M作MQ⊥x轴于点Q，过N作NR⊥x轴于点R，
∵MN∥x轴
∴MQ＝NR＝3e＋3
∴Rt△MQP≌Rt△NRP（HL）
∴PQ＝PR，∠MPQ＝∠NPR＝45°
∴MQ＝PQ＝PR＝NR＝3e＋3
∴xN＝xM＋3e＋3＋3e＋3＝7e＋6，即N（7e＋6，3e＋3）
∵N在抛物线上
∴−（7e＋6）2＋2（7e＋6）＋3＝3e＋3，
解得：（舍去），
∵AP＝t，OP＝t−1，OP＋OQ＝PQ
∴t−1−e＝3e＋3
∴t＝4e＋4＝，
②如图3，若∠PMN＝90°，PM＝MN，
∴MN＝PM＝3e＋3
∴xN＝xM＋3e＋3＝4e＋3，即N（4e＋3，3e＋3）
∴−（4e＋3）2＋2（4e＋3）＋3＝3e＋3
解得：e1＝−1（舍去），e2＝，
∴t＝AP＝e−（−1）＝，
③如图4，若∠PNM＝90°，PN＝MN，
∴MN＝PN＝3e＋3，N（4e＋3，3e＋3）
解得：e＝
∴t＝AP＝OA＋OP＝1＋4e＋3＝
综上所述，存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，t的值为或或．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，坐标系中三角形面积计算，等腰直角三角形的性质，解一元二次方程，考查了分类讨论和方程思想．第（3）题根据等腰直角三角形的性质找到相关线段长的关系是解题关键，灵活运用因式分解法解一元二次方程能简便运算．时间/小时
7
8
9
10
人数
6
11
9
4