初中数学浙教版九年级上册第4章 相似三角形4.5 相似三角形的性质及应用练习题

这是一份初中数学浙教版九年级上册第4章 相似三角形4.5 相似三角形的性质及应用练习题，共13页。试卷主要包含了求证等内容，欢迎下载使用。

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知识点1 相似三角形的性质
1.【教材变式·P141课内练习T1】已知△ABC∽△A'B'C',BD和B'D'是它们的对应中线,若ACA'C'=23,则BDB'D'=( )( )
A.49 B.94
C.23 D.32
2.已知△ABC∽△A'B'C',AD和A'D'是它们的对应角平分线,若AD=8,A'D'=12,则△ABC与△A'B'C'的相似比是( )
A.2∶3 B.4∶9
C.3∶2 D.9∶4
3.如图,已知△ABC∽△ACP,∠A=70°,∠APC=65°,则∠B的度数为( )
A.45° B.50°
C.55° D.60°

第3题图 第4题图
4.【新独家原创】圆圆做的一个风筝支架示意图如图所示,已知△ABC∽△ADE,相似比为2∶5,经测量,点A到BC的距离为2,则BC与DE之间的距离为 .( )
5.求证:相似三角形对应边上的中线之比等于相似比.
要求:①根据给出的△ABC及线段A'B',∠A'(∠A'=∠A),以线段A'B'为一边,在给出的图形上用尺规作出△A'B'C',使得△A'B'C'∽△ABC,不写作法,保留作图痕迹;
②在已有的图形上画出一组对应中线,并据此写出已知、求证和证明过程.
知识点2 三角形的重心及性质
6.如果三角形的重心在它的一条高线上,则这个三角形一定是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
7.(2023浙江杭州拱墅期中)如图,点G为△ABC的重心,连结CG、AG并延长,分别交AB、BC于点E、F,连结EF,若AB=4.4,AC=3.2,BC=3.6,则EF的长为( )
A.1.6 B.1.8
C.2.2 D.2.4
8.如图,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AB=6,点P是Rt△ABC的重心,则点P到AB所在直线的距离等于( )
A.1 B.2 C.32 D.2
9.(2022湖北荆门中考)如图,点G为△ABC的重心,D,E,F分别为BC,CA,AB的中点,具有性质:AG∶GD=BG∶GE=CG∶GF=2∶1.已知△AFG的面积为3,则△ABC的面积为 .
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10.【分类讨论思想】如果两个相似三角形的对应边之比为3∶7,其中一个三角形的一边上的中线长为2,则另一个三角形对应中线的长为( )
A.143 B.67 C.143或67 D.无法确定
11.如图,在△ABC中,BD,CE分别为AC,AB边上的中线,BD⊥CE,若BD=3,CE=5,则△ABC的面积为( )( )
A.20 B.16
C.15 D.10
12.(2022浙江杭州拱墅期中,10,★★☆)如图,H是△ABC的重心,延长AH交BC于D,延长BH交AC于M,E是DC上一点,且DE∶EC=5∶2,连结AE交BM于G,则BH∶HG∶GM等于( )
A.7∶5∶2 B.13∶5∶2 C.5∶3∶1 D.26∶10∶3
13.(2023浙江杭州上城期中,8,★★☆)如图,在三角形纸板ABC中,AC=4,BC=8,AB=11,P是BC上一点,沿过点P的直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板.针对CP长的不同取值,三人的说法如下.
甲:若CP=4,则有3种不同的剪法;
乙:若CP=2,则有4种不同的剪法;
丙:若CP=1,则有3种不同的剪法.
下列判断正确的是( )
A.乙错,丙对 B.甲和乙都错 C.乙对,丙错 D.甲错,丙对
14.如图,在△ABC中,D是BC上的点,E是AD上的点,且ABAC=ADCE,∠BAD=∠ECA.
(1)求证:AC2=BC·CD;
(2)若E是△ABC的重心,求AC2∶AD2的值.
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15.【推理能力】已知:如图,在Rt△ABC和Rt△ABD中,∠ACB=90°,∠ABD=90°,AB=BD,BC=4(点A、D在直线BC的两侧),点G是Rt△ABD的重心,射线BG交边AD于点E,射线BC交边AD于点F.
(1)求证:∠CAF=∠CBE;
(2)当点F在边BC上,AC=1时,求BF的长;
(3)若△BGC是以BG为腰的等腰三角形,试求AC的长.
答案全解全析
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1.C ∵△ABC∽△A'B'C',BD和B'D'是它们的对应中线,ACA'C'=23,
∴BDB'D'=ACA'C'=23.故选C.
2.A ∵△ABC∽△A'B'C',AD和A'D'是它们的对应角平分线,AD=8,A'D'=12,
∴△ABC与△A'B'C'的相似比为AD∶A'D'=8∶12=2∶3.故选A.
3.A ∵△ABC∽△ACP,∴∠ACB=∠APC=65°,
∵∠A=70°,∴∠B=180°-∠A-∠ACB=180°-70°-65°=45°.故选A.
4.答案 3
解析 如图,过点A作AQ⊥DE交DE于点Q,交BC于点P,
∵△ABC∽△ADE,∴∠ABC=∠ADE,∴BC∥DE,
∵AQ⊥DE,∴AP⊥BC,
∵△ABC∽△ADE,∴APAQ=25,
由题意可知,AP=2,
∴AQ=5,∴PQ=AQ-AP=5-2=3,
即BC与DE之间的距离为3.
5.解析 (1)如图所示,△A'B'C'即为所求.
(2)已知:如图,△ABC∽△A'B'C',A'B'AB=B'C'BC=A'C'AC=k,D是AB的中点,D'是A'B'的中点,求证:C'D'CD=k.
证明:∵D是AB的中点,D'是A'B'的中点,
∴AD=12AB,A'D'=12A'B',
∴A'D'AD=12A'B'12AB=A'B'AB,
∵△ABC∽△A'B'C',
∴A'B'AB=A'C'AC,∠A'=∠A,∴A'D'AD=A'C'AC,
∴△A'C'D'∽△ACD,∴C'D'CD=A'C'AC=k.
6.A ∵三角形的重心在它的一条高线上,
∴这条高线所在直线是三角形某一边的垂直平分线,
∴这个三角形一定是等腰三角形.故选A.
7.A ∵点G为△ABC的重心,∴AF和CE为△ABC的中线,
∴E、F分别为AB、BC的中点,
∴EF为△ABC的中位线,
∴EF=12AC=12×3.2=1.6.故选A.
8.A 如图,连结CP并延长,交AB于D.
∵P是Rt△ABC的重心,∴CD是△ABC的中线,PD=13CD,
∵∠ACB=90°,∴CD=12AB=3,∴PD=1,
∵AC=BC,CD是△ABC的中线,∴CD⊥AB,
∴点P到AB所在直线的距离等于1,故选A.
9.答案 18
解析 ∵CG∶GF=2∶1,△AFG的面积为3,
∴△ACG的面积为6,
∴△ACF的面积为3+6=9,
∵点F为AB的中点,
∴△ACF的面积=△BCF的面积,
∴△ABC的面积为9+9=18.
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10.C ∵相似三角形的对应边之比为3∶7,
∴它们的对应中线的比为3∶7,
∵其中一个三角形的一条中线长为2,而这条中线可能是小三角形的,也可能是大三角形的,
∴另一个三角形对应的中线长可能为143,也可能为67.故选C.
11.D 如图,设CE与BD交于点O,
∵BD,CE分别为AC,AB边上的中线,
∴点O是△ABC的重心,
∴OC=23CE=103,∵BD⊥CE,
∴△BDC的面积=12·BD·OC=12×3×103=5,
∵BD为AC边上的中线,∴S△ABC=2S△BDC=10,
故选D.
12.D 如图,过C作CF∥BM,交AE的延长线于F,
∵H是△ABC的重心,
∴M是AC的中点,D是BC的中点,
∴G是AF的中点,且GM=12CF,设CF=a,则GM=12a,
∵CF∥BG,DE∶EC=5∶2,D是BC的中点,
∴CFBG=CEBE=25+5+2=16,
∴BG=6CF=6a,∴BM=132a,
∵H是△ABC的重心,∴BH=23BM=133a,
∴HG=BG-BH=6a-133a=53a,
∴BH∶HG∶GM=133a∶53a∶12a=26∶10∶3.
故选D.
13.C 如图所示,过P作PD∥AB交AC于D,PE∥AC交AB于E,则△PCD∽△BCA,△BPE∽△BCA,此时0如图所示,作∠BPF=∠A,F在边AB上,
则△BPF∽△BAC,此时0≤PC<8;
如图所示,作∠CPG=∠A,G在边AC上,
则△CPG∽△CAB,当点G与点A重合时,CA2=CP·CB,即42=CP×8,
∴CP=2,∴0综上可知,当014.解析 (1)证明:∵ABAC=ADCE,∠BAD=∠ECA,
∴△BAD∽△ACE,∴∠B=∠EAC,
又∵∠ACB=∠DCA,∴△ABC∽△DAC,
∴ACCD=BCAC,
∴AC2=BC·CD.
(2)由(1)知,△BAD∽△ACE,
∴∠BDA=∠AEC,∴∠CDE=∠CED,∴CD=CE,
∵E是△ABC的重心,
∴BD=CD,BC=2BD=2CD,AE=23AD,
∴BD=CE,AC2=BC·CD=2CD2,
∵△BAD∽△ACE,
∴ADCE=BDAE,
∴23AD2=BD·CE,
∴AD2=32CD2,∴AC2AD2=2CD232CD2=43.
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15.解析 (1)证明:∵点G是Rt△ABD的重心,
∴BE是AD边上的中线,
又∵AB=BD,
∴BE⊥AD,即∠AEB=90°,
∵∠AFB=∠ACF+∠CAF=∠FBE+∠BEF,且∠ACF=90°,
∴∠CAF=∠CBE.
(2)如图,过点D作DH⊥BC于H,
∵∠ABD=90°,∴∠ABC+∠DBC=90°,
∵∠ABC+∠BAC=90°,
∴∠BAC=∠DBC,
∵AB=BD,∠ACB=∠BHD=90°,
∴△ABC≌△BDH(AAS),
∴BH=AC=1,HD=BC=4,∴HC=3,
∵∠ACB=∠DHC=90°,∠AFC=∠DFH,
∴△AFC∽△DFH,
∴ACDH=CFHF=14,∴CF3-CF=14,∴CF=35,
∴BF=BC-CF=4-35=175.
(3)当GC=GB时,如图,连结DG并延长交BC于H,交AB于N,连结NC,
∵点G是Rt△ABD的重心,∴AN=BN,
∵∠ACB=90°,∴BN=NC=AN,
∴点N在BC的垂直平分线上,
∵BG=GC,
∴点G在BC的垂直平分线上,
∵N、G、D共线,
∴DN垂直平分BC,
∴BH=HC=2,DH⊥BC,
∵∠ABD=90°,∴∠ABC+∠DBC=90°,
∵∠ABC+∠BAC=90°,∴∠BAC=∠DBC,
∵AB=BD,∠ACB=∠BHD=90°,
∴△ABC≌△BDH(AAS),∴AC=BH=2;
当BG=BC=4时,如图,
∵点G是Rt△ABD的重心,
∴E为AD的中点,BG=2GE,∴GE=2,∴BE=6,
∵∠ABD=90°,AB=BD,E为AD的中点,
∴BE⊥AD,AE=BE=6,
∴AB=62+62=62,
∴AC=AB2-BC2=72-16=214.
综上所述,AC的长为2或214.