江苏省2023-2024学年高一上学期期末迎考数学试题(R版A卷)

这是一份江苏省2023-2024学年高一上学期期末迎考数学试题(R版A卷)，共19页。试卷主要包含了 已知 则， 已知，则下列说法正确是， 已知，，则， 若满足，满足，则， 已知幂函数的图象经过点，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项:
1. 本试卷共150分，考试时间120分钟.
2. 答题前，考生务必将班级、姓名、学号填写在密封线内.
一、 单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.
1. 设全集，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据条件，利用补集及交集的运算即可求出结果.
【详解】因为，，
所以，又，故,
故选：C.
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题得出结果.
【详解】因为全称量词命题的否定为存在量词命题，
故“，”的否定是“，”，
故选：B．
3. 已知 则（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】C更多优质资源可进入 【解析】
【分析】结合函数的解析式，先求出，进而可得答案.
【详解】∵，
∴.
故选：C.
4. 已知，则下列说法正确是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，，则D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】利用特值法判断ABC；根据不等式的性质判断D.
【详解】若，取，得，故A错误；
若，取，得，故B错误；
若，，取，得，，故C错误；
若，即，则，即，故D正确.
故选：D.
5. 已知函数，．若有2个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】有2个零点，则函数与函数的图象有2个交点，利用函数图象判断实数a的取值范围.
【详解】时，，函数在上单调递减，，
令可得，作出函数与函数的图象如图所示：

由上图可知，当时，函数与函数的图象有2个交点，此时，函数有2个零点．因此，实数a的取值范围是．
故选：D．
6. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，利用正切的倍角公式，求得，再结合诱导公式、三角函数的基本关系式和两角差的正切公式，即可求解.
【详解】因为，所以，解得或，
因为，所以，
所以
.
故选：A．
7. 若满足，满足，则（ ）
A. 1B. 2C. eD.
【答案】A
【解析】
【分析】将转化为，结合函数在的单调性即可求解.
【详解】，
而函数在上单调递增，所以，即有.
故选：A
8. 已知函数在上单调递减，则ω的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由函数在区间内单调递减，可得，则有，然后求出的单调递减区间，再结合已知列不等式组可求出结果.
【详解】因为在区间内单调递减，
所以，得,
所以，所以，
由，，得，，
得，，
所以函数的单调递减区间为 （），
因为函数在区间内单调递减，
所以（），
解得，，
因为，所以，得，
所以，
故的取值范围为 .
故选：B
二、 多项选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 在下列各式均有意义的前提下，运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由指数对数运算法则可判断AC，由诱导公式即可判断B，由平方关系、商数关系以及二倍角公式可判断D．
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，由对数的运算性质得，故C正确；
对于D，一方面，所以有，另一方面，故D正确．
故选：ACD．
10. 已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A. 函数为减函数
B. 函数为偶函数
C. 当时，
D. 当时，
【答案】CD
【解析】
【分析】A选项，由待定系数法求出解析式，得到定义域和单调性；B选项，根据定义域不关于原点对称，得到函数不是偶函数；C选项，由函数单调性得到；D选项，作差法比较出，从而得到.
【详解】A选项，设幂函数，则，解得，所以，
所以的定义域为，因为，故在上单调递增，故A错误；
B选项，因为的定义域不关于原点对称，所以函数不是偶函数，故B错误，
C选项，由A可知，在上单调递增
故当时，，故C正确，
D选项，当时，
，
又，所以，D正确．
故选：CD.
11. 函数的部分图象如图所示，则（ ）．

A.
B. 为偶函数
C.
D. 函数在内有且仅有三条对称轴，则a的取值范围为
【答案】BC
【解析】
【分析】首先根据图象求出函数表达式，对于A，只需验证是否是最大值即可；对于B，将函数表达式化简即可验证；对于C，只需验证点是否为函数的对称中心即可；对于D，先求出对称轴方程然后得到关于的不等式组有3个整数解，求出这3个整数解，进一步即可得到关于的不等式组，解不等式组即可.
【详解】由图可知，所以，
又根据对称性可知，
所以，即，解得，
结合可知，只能，
所以，
又由图可知，
所以满足题意，
所以，
对于A，因为的值域为，而，故A错误；
对于B，因为，而是偶函数，故B选项正确；
对于C，若，则当且仅当点是函数的对称中心，
又因为，所以点是函数的对称中心，故C选项正确；
对于D，由以上分析可知是函数一条对称轴，且，
而每相邻两条对称轴之间相差，
因此函数的对称轴方程为，
若函数在内有且仅有三条对称轴，
则当且仅当关于的不等式组有且仅有三个整数解，
可以发现不等式组的最小整数解只能为1，从而其余两个整数解分别为2和3，
因此当且仅当关于的不等式组满足时，符合题意，
解不等式组得，即a的取值范围为，故D错误.
故选：BC.
12. 已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数，则（ ）
A. 函数的对称中心是
B. 函数的对称中心是
C. 函数有对称轴
D. 函数有对称轴
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于AB，根据函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件分析判断，对于CD，根据函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件分析判断.
【详解】对于A，因为函数，
所以为奇函数，
所以点是函数的对称中心，所以A正确，
对于B，，则，
令，因为，
所以不是奇函数，
所以点不是函数的对称中心，所以B错误，
对于C，因，所以，
当时，函数为偶函数，所以有对称轴，所以C正确，
对于D，因为，
所以，
当时，为偶函数，
所以的图象关于直线对称，所以D正确，
故选：ACD
三、 填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知，，则的取值范围是____.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，设，由相等关系列方程组求出，再利用不等式的性质求解即可.
【详解】设，
则，
所以，解得，
于是.
又，，
所以，即.
故答案为：.
14. 已知，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】在代数式上除以，再利用弦化切可求得所求代数式的值.
【详解】因为，则
.
故答案：.
15. 已知函数在上是增函数，则实数a的取值范围是____.
【答案】
【解析】
【分析】由题意结合对数函数复合函数单调性可知二次函数在区间上为减函数，并注意到在区间上恒成立，由此即可得解.
【详解】由于函数在上是增函数，
而函数为减函数，
所以函数在区间上为减函数，
所以，解得，当时，有，解得，
因此实数a的取值范围是.
故答案为：.
16. 已知两条直线：和：，直线，分别与函数的图象相交于点A，B，点A，B在x轴上的投影分别为C，D，当m变化时，的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】分别求出直线，与函数的图象交点的横坐标，再根据对数运算与基本不等式求最值.
【详解】由与函数相交得，解得，所以，同理可得，
所以，
令，
因为， 所以,当且仅当时取最小值.
所以
所以的最小值为.
故答案为:
【点睛】利用基本不等式求最值时要注意成立的条件，一正二定三相等，遇到非正可通过提取负号转化为正的；没有定值时可对式子变形得到积定或和定再用基本不等式；取不到等号时可借助于函数的单调性求最值.
四、 解答题:本题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知集合， .
（1）当时，求；
（2）若，“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求出集合，再由交集的定义求得结果；
（2）由题意可得，列出关于的不等式组，求解即可.
【小问1详解】
当时，，
，
所以.
【小问2详解】
由“”是“”的必要不充分条件，得，
所以解得，
又，故实数的取值范围为.
18. （1）已知，求的最小值；
（2）若均为正实数，且满足，求的最小值.
【答案】（1）8；（2）
【解析】
【分析】（1）先将函数解析式变形，再利用基本不等式求出最值；
（2）结合1的妙用，利用基本不等式求出最值.
【详解】（1） 因为，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为8.
（2） 因为均为正实数，，
所以，，，
则
，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为.
19. 学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，每天能用于锻炼的课余时间有60分钟，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分与当天锻炼时间（单位：分）的函数关系.要求及图示如下：
（i）函数是区间上的增函数；
（ii）每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分；
（iii）每天运动时间为20分钟时，当天得分为3分；
（iiii）每天最多得分不超过6分.
现有以下三个函数模型供选择：
①，②，③.
（1）请你根据条件及图像从中选择一个合适的函数模型，并求出函数的解析式；
（2）求每天得分不少于分，至少需要锻炼多少分钟.（注：，结果保留整数）.
【答案】（1）模型③，
（2）至少需要锻炼37分钟.
【解析】
【分析】（1）根据已知图象的增长特征，结合模型中函数所过的点，以及函数的增长速度，即可确定模型，将对应的点代入，求得参数，可得解析式，并验证，即可求解；
（2）由（1）得，令，求出的范围，即可得出答案．
【小问1详解】
解：对于模型①，，当满足同时过点时，，即，当时，，不合题意；
由图可知，该函数的增长速度较慢，对于模型②，是指数型的函数，其增长是爆炸型增长，故②不合适；
对于模型③，对数型的函数增长速度较慢，符合题意，故选项模型③，此时，所求函数过点，
则，解得，
故所求函数为，
经检验，当时，，符合题意
综上所述，函数的解析式为.
【小问2详解】
解：由（1）得，
因为每天得分不少于分，
所以，即，
所以，即，
所以每天得分不少于4.5分，至少需要锻炼37分钟.
20. 已知函数.
（1）求函数的最小正周期、单调递增区间和对称轴方程;
（2）解关于x的不等式;
（3）将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象，求函数在上的值域.
【答案】（1），单调递增区间为；对称轴
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）应用两角和的正弦公式及二倍角公式化简得，应用整体代入法即可求解单调区间与对称轴；
（2）结合函数图像解不等式；
（3）应用换元法求值域;
【小问1详解】
，
函数的最小正周期.
令，解得，
所以函数的单调递增区间为.
令，解得，
所以的对称轴方程为.
【小问2详解】
即，
所以，解得.
【小问3详解】
由题知，
则
，
令，则，
当时，;当时，.
综上可知所求值域为.
21. 已知函数.
（1）若函数为奇函数，求的值;
（2）判断（1）中函数在上的单调性，并用定义证明你的结论;
（3）对于（1）中的，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）结论：在上单调递增，证明见解析
（3）.
【解析】
【分析】（1）定义域为的奇函数满足，求解即可；
（2）由定义证明函数的单调性；
（3）由函数为奇函数且在上为增函数，可将不等式进行转化，利用函数的性质求解即可.
【小问1详解】
的定义域为，由为奇函数，
所以，即，
所以.
【小问2详解】
结论：在上单调递增，证明如下：
，
设，，且，则
，
因为，所以，，，所以，即，
所以在上单调递增.
小问3详解】
因为为奇函数且在上为增函数，
所以不等式可化为，
所以，
即对任意的恒成立，
所以，
当时，在上单调递减，在上单调递增，
当时，，当时，，所以，所以，
即实数的取值范围为.
22. 如图，正方形的边长为1，，分别为边，上的动点.
（1）设，，请用含有的式子表示的周长；
（2）若点，在运动的过程中，的大小保持不变，试探究的周长的变化情况．
【答案】（1）
（2）的周长为定值2
【解析】
【分析】（1）求出后即可得解；
（2）由题意可得的大小保持不变，即为定值，结合三角形周长的表达式及两角和的正切公式，得出的表达式，即可求解．
【小问1详解】
由题知，，，，
所以的周长.
【小问2详解】
因为点在运动的过程中，的大小保持不变，
所以的大小保持不变，则为定值.
，
令，，
则有，化简得，
=，
要使得为定值，则有，解得，
此时， ，即.
所以若在运动的过程中，的大小保持不变，
则的周长为定值2.