江苏省2023-2024学年高一上学期期末迎考数学试题（R版B卷）

这是一份江苏省2023-2024学年高一上学期期末迎考数学试题（R版B卷），共19页。试卷主要包含了 单项选择题， 多项选择题， 填空题， 解答题等内容，欢迎下载使用。
一、 单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.
1. 已知全集,则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题中条件知，图中阴影部分表示集合,进一步计算即可.
【详解】因为全集，
所以，则由韦恩图知阴影部分为，
故选：D.
2. 已知，，,则 ( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合对数函数的性质，余弦函数、正切函数的性质，利用中间值进行比较.
【详解】因为，即，
因为，
所以，所以，
因为，
所以，
又，所以，
所以.更多优质资源可进入 故选：.
3. 设,则“”是“”的 ( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】考查命题成立时，变量的范围，根据集合之间的关系即可判定.
【详解】因为,
，
设，
则，
故“”是“”的充分不必要条件，
故选：A.
4. 幂函数（）的大致图像是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由幂函数的定义域和单调性判断图像形状.
【详解】∵时，为偶数且大于0，∴的定义域为，且在定义域上单调递增．
只有B选项符合条件.
答案：B．
5. 已知,,则= ( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据条件求得，把化为，利用两角和的余弦公式展开，进行计算即可.
【详解】因为,所以.
又,
所以,
则
，
故选：C.
6. 已知函数的最大值为M，最小值为m，则的值为（ ）
A. 0B. 2C. 4D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】依题意可得，令，，即可得到是奇函数，根据奇函数的性质计算可得；
【详解】解:，令，，于是
，所以是奇函数，从而的最大值G与最小值g的和为0，而.
故选：B
7. 已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A. 6B. 5C. 12D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】利用得出，结合基本不等式求解.
【详解】因为，所以，而，
，当且仅当，即时，等号成立.
故选：B
8. 已知函数，若方程仅有两个不同的根，则的取值范围为 ( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】探讨给定函数性质，并画出函数的图象，借助图象求出的取值范围，再利用二次函数性质求出值域得解.
【详解】函数，当时，单调递增，函数值集合为，
当时，单调递减，函数值集合为，
当时，在上单调递减，函数值集合为，在上单调递增，函数值集合为，
方程的根，即为直线与函数图象交点的横坐标，
在同一坐标系内作出直线与函数的图象，
观察图象知，当时，直线与函数的图象有且只有两个交点，
即当时，方程仅有两个不同的根，
函数上单调递增，，
所以的取值范围为.
故选：A
【点睛】思路点睛：涉及给定函数零点个数求参数范围问题，可以通过分离参数，等价转化为直线与函数图象交点个数，数形结合推理作答.
二、 多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9. 已知，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】对两边平方得，结合的范围得到，AD正确；结合同角三角函数平方关系得到正弦和余弦值，进而求出正切值，BC错误.
【详解】，两边平方得：，
解得：，D正确；
故异号，
因，所以，A正确；
因为，结合，得到，
解得：，故，BC错误.
故选：AD
10. 已知函数的图象过点，最小正周期为，则（ ）
A. 在上单调递减
B. 的图象向右平移个单位长度后得到的函数为偶函数
C. 函数在上有且仅有4个零点
D. 函数在区间上有最小值无最大值
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据给定条件， 求出 与 ， 再逐项分析求解， 判断作答.
【详解】依题意，，即，而，
则.
由最小正周期为，得，得，则，
对于A，由，得，则在上不单调，A不正确；
对于B，的图象向右平移个单位长度后得函数，是偶函数，B正确；
对于C，当时，，则，
则，可得在上有且仅有4个零点，C正确；
对于D，当时，，
当，解得时，取得最小值，无最大值，D正确.
故选：BCD.
11. 函数，下列结论正确的是（ ）
A. 图象关于y轴对称B. 在[0，+）上单调递减
C. 值域为D. 有最大值
【答案】AD
【解析】
【分析】对选项A，根据函数为偶函数即可判断A正确，对选项B，根据定义域为，即可判断B错误，对选项C，根据的值域为，即可判断C错误，根据的值域为，即可判断D正确.
【详解】对选项A，，定义域为，
，所以函数为偶函数，
图象关于轴对称，故A正确.
对选项B，因为定义域为，
所以在上单调递减错误，故B错误.
对选项C，，
因为，所以，且，
所以的值域为，故C错误.
对选项D，因为的值域为，所以的最大值为，故D正确.
故选：AD
12. 已知实数满足，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据基本不等式结合已知等式，即可求得与的取值范围，即可逐项判断.
【详解】因为，所以，则，
又，则，故，当且仅当时，等号成立，
所以，则，故A正确，B不正确；
因为，所以，
又，则，故，当且仅当时，等号成立，故D正确；
因为，所以，所以，即，C正确.
故选：ACD.
三、 填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13. 若是偶函数且在上单调递增，又，则不等式的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】结合函数的奇偶性和函数的单调性求解即可；
【详解】因为是偶函数，所以
所以，
又因为在上单调递增，
所以，
解得：，
故答案为：.
14. 若“存在x∈[﹣1，1]，成立”为真命题，则a的取值范围是___．
【答案】
【解析】
【分析】
转化为在上有解，不等式右边构造函数，利用单调性求出最大值即可得解.
【详解】存在x∈[﹣1，1]，成立，即在上有解，
设，，
易得y＝f(x)在[﹣1，1]为减函数，
所以，即，即，
即，所以，
故答案为：．
【点睛】关键点点睛：将问题转化为在上有解进行求解是解题关键.
15. 已知且，若存在,存在,使得成立,则实数a的取值范围是____.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意知，建立不等式求解即可.
【详解】因为，
当时,，
因为存在,存在,
使得成立,
所以函数在上最小值小于函数在上的最大值.
当时,函数在上单调递减,
则，解得;
当时,函数在上单调递增,
则，解得，
综上,实数a的取值范围是.
故答案为：.
16. 已知函数在区间上单调递增,那么实数ω的取值范围是____.
【答案】
【解析】
【分析】化简函数的解析式，根据题中条件可得，，继而解得的值，进一步计算即可.
【详解】因为，
由且，知，
因为函数在区间上单调递增,
则,其中,
所以其中,
解得，其中,
由，
得，又，
所以或，
因为,所以当时,;
当时,，
所以实数ω的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题的关键点睛是求出右边界的范围，再根据余弦函数的单调性得到不等式组，解出的范围，再对合理赋值即可.
四、 解答题:本题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 化简求值:
（1）；
（2）.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由指数运算和对数运算的法则逐项求解即可；
（2）由三角函数的公式求值即可.
【小问1详解】
原式；
【小问2详解】
原式.
18. 设全集,已知函数的定义域为集合A,集合.
（1）当时,求,；
（2）若,求实数m的取值范围.
【答案】（1）；；
（2）.
【解析】
【分析】（1）解出集合,根据集合的运算法则进行运算即可；
（2）根据集合之间的关系，列出不等式组，解出即可.
【小问1详解】
由题可知
解得,故集合.
当时,,
则,,
所以.
【小问2详解】
因为,所以需满足
解得,
所以实数m的取值范围为.
19. “实施科教兴国战略,强化现代化建设人才支撑”是2022年10月16日习近平同志在中国共产党第二十次全国代表大会上报告的一部分.必须坚持科技是第一生产力、人才是第一资源、创新是第一动力,深入实施科教兴国战略、人才强国战略、创新驱动发展战略,开辟发展新领域新赛道,不断塑造发展新动能新优势.某科技企业通过加大科技研发投资,提高了企业的技术竞争力,也提高了收入.下列一组数据是该公司从2017年以来每年的收入(单位:亿元),2017年记为1,后面的年份依次类推.
（1）给出以下两个函数模型:①y=;②y=.试问:用哪个模型更适合模拟该企业的收入?
（2）该企业大约在哪一年收入超过100亿元?(参考数据:）
【答案】（1）用模型②y=更适合模拟该企业的收入
（2）大约在2025年该企业的收入超过100亿元.
【解析】
【分析】（1）在同一平面直角坐标系内作出函数与的图象,并在此坐标系内描出表格提供的数据对应的点,观察即可；
（2）解出，,则，即可求解.
【小问1详解】
在同一平面直角坐标系内作出函数与的图象,
并在此坐标系内描出表格提供的数据对应的点如图所示.
观察图象知,这些点基本上都落在函数的图象上或附近,
所以用模型②更适合模拟该企业的收入.
【小问2详解】
当时,,
因此=≈,
而,则,
所以大约在2025年该企业的收入超过100亿元.
20. 已知函数的图象关于直线对称.
（1）求证：函数为奇函数.
（2）将的图象向左平移个单位，再将横坐标伸长为原来的倍，得到的图象，求的单调递增区间.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用函数图象关于对称，求，进而得到函数解析式，从而证明；
（2）由函数图象的变换规律，得到的解析式，即可求出单调增区间.
【小问1详解】
因为的图象关于直线对称，
所以，
得，，因为，所以当时，，
所以，
所以，
因为，
所以为奇函数成立.
【小问2详解】
由（1）可得：，
将的图象向左平移个单位，再将横坐标伸长为原来的倍，
则
由可得，
，
故函数的单调递增区间是
21. 已知函数.
（1）若，试讨论不等式的解集；
（2）若对于任意，恒成立，求参数的取值范围.
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用含参一元二次不等式的解法分类讨论求解；
（2）利用分离参变量的方法求解.
【小问1详解】
若不等式，即，
①当时，不等式，解得，该不等式的解集为；
②当时，因式分解可得，
因为，不等式可变为，
（i）当即时，不等式的解集为；
（ii）当即时，不等式的解集为；
（iii）当即时，不等式的解集为；
综上所述：当时，该不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
【小问2详解】
对于，恒成立，
化简得在上恒成立，
设，该函数是开口向上的二次函数，对称轴，
所以在上单调递增，，所以，
则的取值范围为.
22. 已知函数与.
（1）请用定义法证明函数的单调性;
（2）当时,求在区间上的值域;
（3）对于函数和,设,若存在α,β,使得,则称函数和互为“零点相邻函数”.若函数与是“零点相邻函数”,求实数a的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据函数单调性的定义直接证明即可；
（2）当时，令，，函数化为，结合二次函数的性质，即可求得值域；
（3）根据题中条件知，在上单调递增,且,据此可知，进而求得，又根据题意在上有解，换元后，根据对勾函数的性质即可求解.
【小问1详解】
任取,且,
则
,
因为,
所以,
所以,即，
所以函数在上单调递增.
【小问2详解】
当时,.
又,令,则，
函数的图象开口向上且对称轴为直线,
由，
，
得，
故在区间上的值域为.
【小问3详解】
由(1)知函数在上单调递增,
且,据此可知.
结合“零点相邻函数”的定义可得，
据此可知函数在区间上存在零点,
即方程在区间上存在实数根,
整理得，
令,则，.
根据对勾函数的性质,
函数在区间上单调递减,在上单调递增,
又，
所以，即，
故实数a的取值范围是.x/年
1
2
3
4
5
6
y/亿元
0.9
1.40
2.56
5.31
11
21.30