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四川省宜宾市第四中学校2023-2024学年高二上学期1月期末数学试题
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这是一份四川省宜宾市第四中学校2023-2024学年高二上学期1月期末数学试题，共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．直线的倾斜角为
A．B．C．D．
2．直线与直线的距离为
A．B．C．D．
3．在一次体检中，发现甲､乙两个单位的职工中体重超过的人员的体重如下（单位：）.若规定超过为显著超重，从甲､乙两个单位中体重超过的职工中各抽取1人，则这2人中，恰好有1人显著超重的概率为
A．B．C．D．
4．椭圆的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的值为
A．B．2C．D．4
5．圆，圆，则圆与圆的位置关系为
A．相交B．相离C．内切D．外切
6．如图，某圆锥的轴截面是等边三角形，点是底面圆周上的一点，且，点是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是
A．B．C．D．更多优质资源可进入 7．倾斜角为的直线经过双曲线的左焦点，交双曲线于两点，线段的垂直平分线过右焦点，则此双曲线的渐近线方程为
A．B．C．D．
8．正项数列的前n项和为，，则（ ）其中表示不超过x的最大整数.
A．18B．17C．19D．20
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知直线l的方程为，则下列说法正确的是
A．直线l的斜率为1
B．直线l的倾斜角为
C．直线l不经过第三象限
D．直线l与两坐标轴围成的三角形面积为
10．一个装有8个球的口袋中，有标号分别为1，2的2个红球和标号分别为1，2，3，4，5，6的6个蓝球，除颜色和标号外没有其他差异．从中任意摸1个球，设事件“摸出的球是红球”，事件“摸出的球标号为偶数”，事件“摸出的球标号为3的倍数”，则
A．事件A与事件C互斥
B．事件B与事件C互斥
C．事件A与事件B相互独立
D．事件B与事件C相互独立
11．已知直线与抛物线相交于两点，点是抛物线的准线与以为直径的圆的公共点，则下列结论正确的是
A．B．
C．D．的面积为
12．在棱长为2的正方体中，点满足，点满足，其中，则下列选项正确的是
A．的轨迹长度相等B．的最小值为
C．存在，使得D．与所成角的余弦值的最大值为
第II卷 非选择题（90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．过点且与直线垂直的直线方程为 ．
14．抛掷一枚质地均匀的骰子（骰子的六个面上分别标有1、2、3、4、5、6个点）一次，观察掷出向上的点数，设事件A为“向上的为奇数点”，事件B为“向上的为4点”，则 ．
15．某公司产品研发部为了激发员工的工作积极性，准备在年终奖的基础上再增设18个“幸运奖”，投票产生“幸运奖”，按照得票数(假设每人的得票数各不相同)排名次，发放的奖金数从多到少依次成等差数列．已知第1名发放900元，前10名共发放6750元，则该公司需要准备“幸运奖” 元．
16．若对于圆上任意的点，直线上总存在不同两点，，使得，则的最小值为 .
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
为了了解某市今年高二年级男生的身体素质情况，从该市高二年级男生中抽取一部分进行“立定跳远”项目测试．立定跳远距离（单位：cm）小于195时成绩为不合格，在上时成绩及格，在上时成绩为良好，不小于255时成绩为优秀．把获得的所有数据分成以下5组：，，，，，画出频率分布方图如图所示，已知这次测试中有2名学生的成绩为不及格．
(1)求这次测试中成绩为及格或良好的学生人数；
(2)若从这次测试成绩为优秀和不及格的男生中随机抽取2名学生再进行其它项目的测试，求所抽取的2名学生中至少1人成绩为不级格的概率．
18．（12分）
已知圆和圆外一点．
(1)若过点P的直线截圆所得的弦长为8，求该直线的方程；
(2)求的最大值和最小值．
19．（12分）
在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线（）的焦点F到双曲线的渐近线的距离为1.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若不经过原点O的直线l与抛物线C交于A､B两点，且，求证：直线l过定点.
20．（12分）
已知在多面体中，，，，，且平面平面.
(1)设点F为线段BC的中点，试证明平面；
(2)若直线BE与平面ABC所成的角为，求二面角的余弦值．
21．（12分）
已知数列的前项的和为，且．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)求数列的前项和．
22．（12分）
已知椭圆的左、右两焦点分别为,椭圆上有一点与两焦点的连线构成的中，满足
(1)求椭圆的方程；
(2)设点是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点与点关于原点对称，设直线的斜率分别为，且，求的值.
本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．直线的倾斜角为
A．B．C．D．
2．直线与直线的距离为
A．B．C．D．
3．在一次体检中，发现甲､乙两个单位的职工中体重超过的人员的体重如下（单位：）.若规定超过为显著超重，从甲､乙两个单位中体重超过的职工中各抽取1人，则这2人中，恰好有1人显著超重的概率为
A．B．C．D．
4．椭圆的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的值为
A．B．2C．D．4
5．圆，圆，则圆与圆的位置关系为
A．相交B．相离C．内切D．外切
6．如图，某圆锥的轴截面是等边三角形，点是底面圆周上的一点，且，点是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是
A．B．C．D．更多优质资源可进入 7．倾斜角为的直线经过双曲线的左焦点，交双曲线于两点，线段的垂直平分线过右焦点，则此双曲线的渐近线方程为
A．B．C．D．
8．正项数列的前n项和为，，则（ ）其中表示不超过x的最大整数.
A．18B．17C．19D．20
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知直线l的方程为，则下列说法正确的是
A．直线l的斜率为1
B．直线l的倾斜角为
C．直线l不经过第三象限
D．直线l与两坐标轴围成的三角形面积为
10．一个装有8个球的口袋中，有标号分别为1，2的2个红球和标号分别为1，2，3，4，5，6的6个蓝球，除颜色和标号外没有其他差异．从中任意摸1个球，设事件“摸出的球是红球”，事件“摸出的球标号为偶数”，事件“摸出的球标号为3的倍数”，则
A．事件A与事件C互斥
B．事件B与事件C互斥
C．事件A与事件B相互独立
D．事件B与事件C相互独立
11．已知直线与抛物线相交于两点，点是抛物线的准线与以为直径的圆的公共点，则下列结论正确的是
A．B．
C．D．的面积为
12．在棱长为2的正方体中，点满足，点满足，其中，则下列选项正确的是
A．的轨迹长度相等B．的最小值为
C．存在，使得D．与所成角的余弦值的最大值为
第II卷 非选择题（90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．过点且与直线垂直的直线方程为 ．
14．抛掷一枚质地均匀的骰子（骰子的六个面上分别标有1、2、3、4、5、6个点）一次，观察掷出向上的点数，设事件A为“向上的为奇数点”，事件B为“向上的为4点”，则 ．
15．某公司产品研发部为了激发员工的工作积极性，准备在年终奖的基础上再增设18个“幸运奖”，投票产生“幸运奖”，按照得票数(假设每人的得票数各不相同)排名次，发放的奖金数从多到少依次成等差数列．已知第1名发放900元，前10名共发放6750元，则该公司需要准备“幸运奖” 元．
16．若对于圆上任意的点，直线上总存在不同两点，，使得，则的最小值为 .
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
为了了解某市今年高二年级男生的身体素质情况，从该市高二年级男生中抽取一部分进行“立定跳远”项目测试．立定跳远距离（单位：cm）小于195时成绩为不合格，在上时成绩及格，在上时成绩为良好，不小于255时成绩为优秀．把获得的所有数据分成以下5组：，，，，，画出频率分布方图如图所示，已知这次测试中有2名学生的成绩为不及格．
(1)求这次测试中成绩为及格或良好的学生人数；
(2)若从这次测试成绩为优秀和不及格的男生中随机抽取2名学生再进行其它项目的测试，求所抽取的2名学生中至少1人成绩为不级格的概率．
18．（12分）
已知圆和圆外一点．
(1)若过点P的直线截圆所得的弦长为8，求该直线的方程；
(2)求的最大值和最小值．
19．（12分）
在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线（）的焦点F到双曲线的渐近线的距离为1.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若不经过原点O的直线l与抛物线C交于A､B两点，且，求证：直线l过定点.
20．（12分）
已知在多面体中，，，，，且平面平面.
(1)设点F为线段BC的中点，试证明平面；
(2)若直线BE与平面ABC所成的角为，求二面角的余弦值．
21．（12分）
已知数列的前项的和为，且．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)求数列的前项和．
22．（12分）
已知椭圆的左、右两焦点分别为,椭圆上有一点与两焦点的连线构成的中，满足
(1)求椭圆的方程；
(2)设点是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点与点关于原点对称，设直线的斜率分别为，且，求的值.
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