2023-2024学年辽宁省阜新市彰武县九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年辽宁省阜新市彰武县九年级（上）期末数学试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若x−yy=34，则xy的值为( )
A. 34B. 14C. 74D. 37
2.下列命题中，不正确的是( )
A. 对角线相等的矩形是正方形
B. 对角线垂直平分的四边形是菱形
C. 矩形的对角线平分且相等
D. 顺次连结菱形各边中点所得的四边形是矩形
3.反比例函数y=−4x的图象在( )
A. 第一、三象限B. 第二、四象限C. 第一象限D. 第四象限
4.关于x的一元二次方程x2+2x+3=0的解的情况( )
A. 没有实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 有两个相等的实数根D. 不能确定
5.下面是一天中四个不同时刻两座建筑物的影子，将它们按时间先后顺序正确的是( )
A. ③①④②B. ③②①④C. ③④①②D. ②④①③
6.学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕点O旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO=4 m，AB=1.6 m，CO=1 m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为( )
A. 0.2 mB. 0.3 mC. 0.4 mD. 0.5 m
7.某校初一年级开展了一班一特色活动，一班以“地”为特色在学校的试验园地进行种植蔬菜活动，试验园的形状是长16米、宽8米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为120平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为( )
A. (16+2x)(8+x)=120B. (16−2x)(8−x)=120
C. (16+x)(8+2x)=120D. (16−x)(8−2x)=120
8.如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段OA1上，若OA：AA1=1：2，则△ABC和△A1B1C1的周长之比为( )
A. 1：2
B. 2：1
C. 1：3
D. 3：1
9.中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分.若从这四部著作中随机抽取两本(先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本)，则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是( )
A. 18B. 16C. 13D. 12
10.如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边DC，BC上，且BF=CE，AE平分∠CAD，连接DF，分别交AE，AC于点G，M.P是线段AG上的一个动点，过点P作PN⊥AC，垂足为N，连接PM.有下列四个结论：
①AE垂直平分DM；
②PM+PN的最小值为3 2；
③CF2=GE⋅AE；
④S△ADM=6 2．
其中正确的是( )
A. ①②
B. ②③④
C. ①③④
D. ①③
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.若关于x的一元二次方程x2−3x+2=0的一个实数根是a，则4a2−12a−3的值为______ ．
12.在函数y=k2+1x的图象上有三点(x1,−21)，(x2,1)，(x3,2)，则函数值x1，x2，x3的大小关系为______ ．
13.在一个暗箱里放有n个除颜色外其他完全相同的球，这n个球中红球只有4个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%，那么可以推算出n大约是为______ ．
14.如图，有一正方形ABCD，边长为3 2，点E是边CD上的中点，对角线BD上有一动点F，当顶点为A，B，F的三角形与顶点为D，E，F的三角形相似时，BF的值为______ ．
15.如图，在四边形ABCD中，∠BCD=90°，对角线AC，BD相交于点O.若AB=AC=5，BC=6，∠ADB=2∠CBD，则AD的长为______ ．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
计算与画图：
(1)解方程：12x2−4x−3=0；
(2)添线补全下列几何体的三种视图．
17.(本小题8分)
如图：公路旁有两个高度相等的路灯AB，CD.小颖上午上学时发现路灯B在太阳光下的影子恰好落到里程碑E处，他自己的影子恰好落在路灯CD的底部C处.晚自习放学时，站在上午同一个地方，发现在路灯CD的灯光下自己的影子恰好落在里程碑E处．
(1)在图中画出小颖的位置(用线段FG表示，点F在x轴上)，并画出光线；
(2)若上午上学时候高1米的木棒的影子为2米，小颖身高为1.5米，他离里程碑E恰5米，求路灯高．
18.(本小题9分)
阅读与思考
下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
任务：(1 )填空：材料中的依据1是指：______ ．
依据2是指：______ ．
(2)请用刻度尺、三角板等工具，画一个四边形ABCD及它的瓦里尼翁平行四边形EFGH、使得四边形EFGH为矩形；(要求同时画出四边形ABCD的对角线)
(3)在图1中，分别连接AC，BD得到图3，请猜想瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长与对角线AC，BD长度的关系，并证明你的结论．
19.(本小题8分)
我国快递行业迅速发展，经调查，某快递公司今年2月份投递快递总件数为20万件，4月份投递快递总件数33.8万件，假设该公司每月投递快递总件数的增长率相同．
(1)求该公司投递快递总件数的月增长率；
(2)若该公司每月投递快递总件数的增长率保持不变，那么5月份投递快递总件数是否达到45万件？
20.(本小题8分)
关于x的一元二次方程x2−(k+3)x+2k+2=0．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一个根小于1，求k的取值范围．
21.(本小题8分)
为促进消费，助力经济发展，某商场决定“让利酬宾”，于“五一”期间举办了抽奖促销活动.活动规定：凡在商场消费一定金额的顾客，均可获得一次抽奖机会.抽奖方案如下：从装有大小质地完全相同的1个红球及编号为①②③的3个黄球的袋中，随机摸出1个球，若摸得红球，则中奖，可获得奖品；若摸得黄球，则不中奖.同时，还允许未中奖的顾客将其摸得的球放回袋中，并再往袋中加入1个红球或黄球(它们的大小质地与袋中的4个球完全相同)，然后从中随机摸出1个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出1个球，若摸得的两球的颜色相同，则该顾客可获得精美礼品一份.现已知某顾客获得抽奖机会．
(1)求该顾客首次摸球中奖的概率；
(2)假如该顾客首次摸球未中奖，为了有更大机会获得精美礼品，他应往袋中加入哪种颜色的球？说明你的理由．
22.(本小题12分)
【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为12V的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L(灯丝的阻值RL=2Ω)亮度的实验(如图)，已知串联电路中，电流与电阻R、RL之间关系为I=UR+RL，通过实验得出如下数据：
(1)a= ______ ，b= ______ ；
(2)【探究】根据以上实验，构建出函数y=12x+2(x≥0)，结合表格信息，探究函数y=12x+2(x≥0)的图象与性质．
①在平面直角坐标系中画出对应函数y=12x+2(x≥0)的图象；
②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是______ ．
(3)【拓展】结合(2)中函数图象分析，当x≥0时，12x+2≥−32x+6的解集为______ ．
23.(本小题12分)
综合与实践
问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为△ABC和△DFE，其中∠ACB=∠DEF=90°，∠A=∠D，将△ABC和△DFE按图2所示方式摆放，其中点B与点F重合(标记为点B).当∠ABE=∠A时，延长DE交AC于点G，试判断四边形BCGE的形状，并说明理由．

数学思考：(1)请你解答老师提出的问题；
深入探究：(2)老师将图2中的△DBE绕点B逆时针方向旋转，使点E落在△ABC内部，并让同学们提出新的问题．
①“善思小组”提出问题：如图3，当∠ABE=∠BAC时，过点A作AM⊥BE交BE的延长线于点M，BM与AC交于点N.试猜想线段AM和BE的数量关系，并加以证明.请你解答此问题；
②“智慧小组”提出问题：如图4，当∠CBE=∠BAC时，过点A作AH⊥DE于点H，若BC=9，AC=12，求AH的长.请你思考此问题，直接写出结果．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵x−yy=34，
∴x−y=34y，
∴x=74y，
∴xy=74．
故选：C．
根据比例的性质得x−y=34y，即x=74y，所以得xy=74．
本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是关键．
2.【答案】A
【解析】解：A、对角线垂直的矩形是正方形，所以A选项为假命题；
B、对角线垂直平分的四边形是菱形，所以B选项为真命题；
C、矩形的对角线平分且相等，所以C选项为真命题；
D、顺次连结菱形各边中点所得的四边形是矩形，所以D选项为真命题．
故选：A．
根据矩形的性质和正方形的判定方法对A进行判断；根据菱形的判定方法对B进行判断；根据矩形的性质对C进行判断；根据三角形中位线的性质和矩形的判定方法对D进行判断．
本题考查了命题与定理：写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
3.【答案】B
【解析】解：∵k=−40时位于第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；kx1
【解析】解：∵k2+1>0，
∴反比例函数图象在第一、三象限，在每个象限y随x的最大而减小，
∵函数y=k2+1x的图象上有三点(x1,−21)，(x2,1)，(x3,2)，
∴点(x1,−21)在第三象限，点(x2,1)，(x3,2)在第一象限，
∴x1x3>x1．
根据反比例函数的性质得到反比例函数图象分布在第一、三象限，然后根据反比例函数的性质即可判断．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
13.【答案】16
【解析】解：∵摸到红球的频率稳定在25%，
∴摸到红球的概率为25%，
而n个小球中红球只有4个，
∴推算n大约是4÷25%=16．
故答案为：16．
由于摸到红球的频率稳定在25%，由此可以确定摸到红球的概率为25%，而n个小球中红球只有4个，由此即可求出n．
此题主要考查了利用频率估计概率，其中解题时首先通过实验得到事件的频率，然后利用频率估计概率即可解决问题．
14.【答案】3或83
【解析】解：依题意可得：BD= AB2+AD2= (3 2)2+(3 2)2=6，
设BF=x，则有DF=6−x．
①当△ABF∽△FDE时，
由DFBA=DEBF，
即6−x3 2=3 22x，
解得，x1=x2=3；
②当△ABF∽△EDF时，
由DFBF=DEBA，即6−xx=3 223 2，
解得x=4，
综上所述，BF的值为3或4．
故答案为：3或4．
根据勾股定理和相似三角形的性质得出比例式解答即可．
此题考查相似三角形的性质，关键是根据勾股定理和相似三角形的性质解答．
15.【答案】 973
【解析】解：过A作AH⊥BC于H，延长AD，BC于E，如图所示：
则∠AHC=∠AHB=90°，
∵AB=AC=5，BC=6，
∴BH=HC=12BC=3，
∴AH= AC2−CH2=4，
∵∠ADB=∠CBD+∠CEH，∠ADB=2∠CBD，
∴∠CBD=∠CED，
∴DB=DE，
∵∠BCD=90°，
∴DC⊥BE，
∴CE=BC=6，
∴EH=CE+CH=9，
∵DC⊥BE，AH⊥BC，
∴CD//AH，
∴△ECD∽△EHA，
∴CDAH=CEHE，
即CD4=69，
∴CD=83，
∴DE= CE2+CD2= 62+(83)2=2 973，
∵CD//AH，
∴DEAD=CECH，
即2 973AD=63，
解得AD= 973．
故答案为： 973．
过A作AH⊥BC于H，延长AD，BC于E，根据等腰三角形的性质得出BH=HC=12BC=3，根据勾股定理求出AH= AC2−CH2=4，证明∠CBD=∠CED，得到DB=DE，根据等腰三角形的性质得出CE=BC=6，证明CD//AH，得到CDAH=CEHE，求出CD=83，根据勾股定理求出DE= CE2+CD2= 62+(83)2=2 973，根据CD//AH，得到DEAD=CECH，即2 973AD=63，求出结果即可．
本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
16.【答案】解：(1)12x2−4x−3=0，
x2−8x−6=0，
Δ=(−8)2−4×1×(−6)=88>0，
x=−(−8)± 882×1=4± 22，
∴x1=4+ 22，x2=4− 22．
(2)如图所示．

【解析】(1)直接利用公式法解一元二次方程即可．
(2)根据三视图的定义画图即可．
本题考查作图−三视图、解一元二次方程−公式法，熟练掌握三视图的定义、一元二次方程的解法是解答本题的关键．
17.【答案】解：(1)出太阳光线BE，过点C作BE的平行线，与DE的交点即为小颖的头顶所在，如图，

(2)∵上午上学时候高1米的木棒的影子为2米，小颖身高为1.5米．
∴小颖的影长CF为3米，
∵GF⊥AC，DC⊥AC，
∴GF/​/CD，
∴△EGF∽△EDC，
∴GFCD=EFEC，
∴1.5CD=55+3，
解得CD=2.4．
答：路灯高为2.4米．
【解析】(1)作出太阳光线BE，过点C作BE的平行线，与DE的交点即为小颖的头顶所在；
(2)利用△EGF∽△EDC可得路灯CD的长度．
本题考查了中心投影和平行投影的运用，注意平行投影的光线是平行的；用到的知识点为：在相同时间段，垂直于地面的物高与影长是成比例的；两三角形相似，对应边成比例．
18.【答案】三角形中位线定理 两组对边分别平行的四边形是平行四边形
【解析】解：(1)证明：如图2，连接AC，分别交EH，FG于点P，Q，过点D作DM⊥AC于点M，交HG于点N．
∵H，G分别为AD，CD的中点，
∴HG/​/AC，HG=12AC，(三角形中位线定理)，
∴DNMN=DGGC，
∵DG=GC，
∴DN=NM=12DM，
∵四边形EFGH是瓦里尼翁平行四边形，
∴HE//GF，即HP//GQ．
∵HG//AC，即HG//PQ，
∴四边形HPQG是平行四边形，(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)，
∴S▱HPQG=HG⋅MN=12HG⋅DM，
∵S△ADC=12AC⋅DM=HG⋅DM，
∴S▱HPQG=12S△ADC，
同理可得，S▱EFQP=12S△ABC，
∴S▱HEFG=12S四边形ABCD，
故答案为：三角形中位线定理，两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
(2)如图，画四边形ABCD，且AC⊥BD于O，点E，H，G，F分别是边AB，BC，CD，DA的中点，顺次连接EF，FG，GH，HE，则四边形EFGH为所求；
理由如下：∵点E，H，G，F分别是边AB，BC，CD，DA的中点，
∴EF/​/BD，HG/​/BD，EH/​/AC，FG/​/AC，
∴EF/​/HG，EH/​/FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵AC⊥BD，EF//BD，
∴AC⊥EF，
∵FG/​/AC，
∴EF⊥FG，
∴平行四边形EFGH是矩形；
(3)瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长等于AC+BD，理由如下：
∵四边形EFGH是瓦里尼翁平行四边形，
∴点E，H，G，F分别是边AB，BC，CD，DA的中点，
∴EF=12BD，GH=12BD，EH=12AC，FG=12AC，
∴瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长=EF+GF+GH+EH=12BD+12BD+12AC+12AC=AC+BD．
(1)由三角形中位线定理和平行四边形的判定可求解；
(2)画四边形ABCD，且AC⊥BD于O，点E，H，G，F分别是边AB，BC，CD，DA的中点，顺次连接EF，FG，GH，HE，则四边形EFGH为所求；
(3)由三角形中位线定理可得EF=12BD，GH=12BD，EH=12AC，FG=12AC，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，矩形的判定等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
19.【答案】解：(1)设该公司投递快递总件数的月增长率为x，
依题意得：20(1+x)2=33.8，
解得：x1=0.3=30%，x2=−2.3(不符合题意，舍去)．
答：该公司投递快递总件数的月增长率为30%．
(2)33.8×(1+30%)=43.94(万件)，
∵43.94