2024届四川省绵阳市南山中学实验学校高考补习年级二诊模拟数学试题（四）含答案

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1. 已知集合，，，（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
分析】先化简，再求出，进而求出即可.
【详解】解：因为，，
所以，所以.
故选：C
2. 已知双曲线的离心率为，则渐近线方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据条件得出，即可求出结果.
【详解】由双曲线方程，知渐近线方程为，
又因为，，所以，得到，
所以双曲线渐近线方程为，
故选：C.
3. “”是“为第一象限角”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】判断，即判断，根据象限中恒成立即可判断出所在象限，最后根据充分条件和必要条件定义即可得出答案.
【详解】，若为第一象限角或第三象限角，则，即；
若为第二象限角或第四象限角，则，即.
故“”是“为第一象限角”的必要不充分条件.
故选：B.
4. 已知，且，若恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先把转化为，利用基本不等式即可求的最小值，然后根据恒成立，求得小于的最小值，解不等式即可.
【详解】因为，
所以，当且仅当等号成立
若恒成立，
则，
解得：，
故选：D
【点睛】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，属于中档题.
5. 在中，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据，利用平面向量的线性运算求解.
【详解】因为，所以，
所以,
因为，所以为的中点，
则，
所以，
故选：C
6. 下列命题中，真命题的是（ ）
A. 若回归方程，则变量与正相关
B. 线性回归分析中相关指数用来刻画回归的效果，若值越小，则模型的拟合效果越好
C. 若样本数据的方差为2，则数据的标准差为4
D. 一个人连续射击三次，若事件“至少击中两次”的概率为0.7，则事件“至多击中一次”的概率为0.3
【答案】D
【解析】
【分析】利用正负相关的意义判断A；利用相关指数的意义判断B；求出标准差判断C；利用对立事件求出概率判断D.
【详解】对于A，回归方程，由，得变量与负相关，A错误；
对于B，值越接近于1，模型的拟合效果越好，越接近于0，模型的拟合效果越差，B错误；
对于C，数据的方差为，标准差为，C错误；
对于D，“至多击中一次”的事件是“至少击中两次”的事件的对立事件，则事件“至多击中一次”的概率为0.3，D正确.
故选：D
7. 已知函数，若，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】函数 是关于直线x=1对称的，在 和 是单调性是相反的，
利用以上特点，不难判断.
【详解】由题可知 ，当 时是减函数，当 时是增函数；
由于 ，直线x=1是的对称轴；
， ，
由 可知， ，
由对称性可知 ，
；
故选：C.
8. 在各项均为正数的数列中,,,为的前项和,若,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由,化简可得,得或,因为各项均为正数,故符合题意,不符题意舍去,所以数列为首项为,公比为的等比数列,根据等比数列前项和公式即可求得答案.
【详解】 ,得，
或，
又各项均为正数,故符合题意,不符题意舍去.
,,所以数列为首项为,公比为的等比数列
则，解得，
故选:A.
【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式,等比数列的前项和公式的应用.解题关键是掌握等比数列前项和公式,考查了计算能力,属于中档题
9. 在直角坐标平面内，点到直线的距离为3，点到直线的距离为2，则满足条件的直线的条数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】将问题转化为求以点为圆心，以3为半径的圆和以点为圆心，以2为半径的圆的公切线的条数求解.，
【详解】到点距离为3的直线可看作以A为圆心3为半径的圆的切线，
同理到点距离为2的直线可看作以B为圆心2为半径的圆的切线，
故所求直线为两圆的公切线，
又，
故两圆外切，
所以公切线有3条，
故选：C
10. 在某病毒疫苗的研发过程中，需要利用基因编辑小鼠进行动物实验．现随机抽取100只基因编辑小鼠对该病毒疫苗进行实验，得到如下2×2列联表（部分数据缺失）：
计算可知，根据小概率值α＝________的独立性检验，分析 “给基因编辑小鼠注射该种疫苗能起到预防该病毒感染的效果”（ ）
附：，n＝a＋b＋c＋d.
A 0.001B. 0.05
C. 0.01D. 0.005
【答案】B
【解析】
【分析】计算卡方，再根据独立性检验的概念判断即可.
【详解】完善2×2列联表如下：
零假设为H0：“给基因编辑小鼠注射该种疫苗不能起到预防该病毒感染的效果”．
因为χ2＝，
所以根据小概率值的独立性检验，推断H0不成立，
即认为“给基因编辑小鼠注射该种疫苗能起到预防该病毒感染的效果”．
故选：B.
11. 已知函数，，函数在上有且仅有一个极大值但没有极小值，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先由求出，再由题意知时，函数取得最大值，从而求出，得到答案.
【详解】∵，∴．又，∴，所以，
因为，且函数在上有且仅有一个极大值但没有极小值，
所以当时，函数取到最大值（也是极大值），此时，．
解得，．
所以当时，,此时，
令，则，
所以函数图象在轴右侧的第一个最小值点的横坐标为，因，
故符合题设,
故选：B.
12. 已知函数的极值点为，函数的零点为，函数的最大值为，则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据在上单调递增，且，可知导函数零点在区间内，即的极值点；根据单调递增且可知；通过判断，结合单调性可得；利用导数可求得，即，从而可得三者的大小关系.
【详解】在上单调递增
且， 且
函数在上单调递增
且，
又
且单调递增
由可得：，即
本题正确选项：
【点睛】本题考查函数极值点、零点、最值的判断和求解问题，涉及到零点存在定理的应用，易错点是判断大小关系时，未结合单调性判断出，造成求解困难.
二、填空题
13. 若复数为实数，则实数_________.
【答案】2
【解析】
【分析】根据复数的除法运算化简，即可根据复数的分类求解.
【详解】，
由于为实数，则，得，
故答案为：
14. 已知函数，则不等式的解集是______.
【答案】
【解析】
【分析】分、两种情况解不等式，综合可得出原不等式的解集.
【详解】当时，由得，解得，此时，；
当时，由得，即，解得，此时，.
综上所述，不等式的解集是.
故答案为：.
15. 在圆内随机地取一点，则该点坐标满足的概率为________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据条件得到或，结合画出符合要求可行域，根据圆的性质及直线，的位置关系确定可行域与圆面积的比例，即可求得概率.
【详解】要满足，则①或②，
在平面直角坐标系中分别作出不等式组①、②和圆，
则满足要求的可行域如下图阴影部分所示：

由图知：在圆内随机取在阴影部分，
而直线过圆心，且直线与直线相互垂直，
所以图中阴影部分的面积为圆面积的，
故点满足的概率为，
故答案为：.
16. 抛物线有一条重要性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.过抛物线：上的点（不为原点）作的切线，过坐标原点作，垂足为，直线（为抛物线的焦点）与直线交于点，点，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】设点，切线的方程为，可求得切线的斜率，由 可求得的方程，与直线联立可求得点的坐标，消参可求得点的轨迹方程，结合图形可求得的范围.
【详解】因为点为抛物线：上的点（不为原点），
所以可设点，且，
当切线的斜率不存在时，不合题意；
当切线的斜率存在时，可设为，
联立，消去可得，
化简可得，
令，可得，
化简可得，即，
又，所以的斜率，
所以的方程，
因为点，，
所以的斜率为，
则的方程为，
联立，解得，
即，
由两式相除可得，即，
由，可得，
再代入，可得，
化简可得，可得，
可知点轨迹为半径为的圆，圆心为，
结合图形可知，
又，，
则.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题难点在于如何求出点的轨迹方程，可借助参数得出两直线的方程，联立后用参数表示该交点坐标，借助交点坐标消去参数，即可求得该点的轨迹方程.
三、解答题
17. “双十二”是继“双十一”之后的又一个网购狂欢节，为了刺激“双十二”的消费，某电子商务公司决定对“双十一”的网购者发放电子优惠券．为此，公司从“双十一”的网购消费者中用随机抽样的方法抽取了100人，将其购物金额（单位：万元）按照，，，分组，得到如下频率分布直方图根据调查，该电子商务公司制定了发放电子优惠券的办法如下：
（1）求购物者获得电子优惠券金额的平均数；
（2）从这100名购物金额不少于万元的人中任取2人，求这两人的购物金额在0.8～0.9万元的概率．
【答案】（1）万元
（2）
【解析】
【分析】（1）根据平均数的求法求得平均数.
（2）利用列举法，结合古典概型概率计算公式求得正确答案.
【小问1详解】
购物金额在的频率为，
购物金额在的频率为，
购物金额在的频率为，
所以购物者获得电子优惠券金额的平均数为：
万元.
【小问2详解】
购物金额在的频率为，
购物金额在的频率为，
所以购物金额在的有人，记为，
购物金额在的有人，记为，
从中任取人，基本事件有
，
，
，
，共种，
其中两人都在的有：
，
所以这两人的购物金额在0.8～0.9万元的概率为.
18. 已知数列满足，数列首项为2，且满足.
（1）求和的通项公式
（2）记集合，若集合的元素个数为，求实数的取值范围.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，当时，，求得，再由，结合等差数列的定义，求得，得到的通项公式.
（2）根据题意，转化为，记，化简，得出数列的单调性，结合题意，即可求解.
【小问1详解】
解：由，
当时，，
相减可得，故，
当时，也符合上式，所以，
又由，可得，
所以数列为公差为的等差数列，且首项为，
所以，则.
【小问2详解】
解：由和，
可得，
记，则，
所以，
当时，，当时，，此时单调递减，
而，
由于集合的元素个数为，所以，所以，
即实数的取值范围为.
19. 在中，角的对边分别为，，.
（1）若是边中点，且，求的值；
（2）若，求的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据三角形的余弦定理结合已知条件即可；
（2）利用三角形的正弦定理以及两角和的正弦公式和三角形面积公式即可.
【小问1详解】
如图所示：

因为，
所以，
所以，
所以，
在中，由余弦定理的推论得：
，
在中，由余弦定理的推论得：
，
所以
因为是边的中点，
所以，代入上式整理得：
，
因为，
所以，
解得：或（舍去），
所以，
在中，由余弦定理的推论得：
.
【小问2详解】
由，则，
在中，由正弦定理得：
，
因为，
所以，
所以，
即，
则，
若，
与矛盾，
所以，
所以，
因为且，
所以，所以，
所以，
所以的面积为：
.
20. 已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若存在，使得对任意成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）求导后分类讨论即可
（2）承接第一问用导数求最值
【小问1详解】
由题.
当时，在上单调递减；
当时，由解得.
所以，当时，；当时，；
所以，在上单调递减，在上单调递增；
【小问2详解】
由（1）知：当时，
所以，存在，使成立，即存在，使成立
令，则
所以，在上单调递增，在上单调递减，
所以.
所以的取值范围为
21. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过点且与直线垂直的直线交轴负半轴于，且.
（1）若过、、三点的圆恰好与直线相切，求椭圆的方程；
（2）设.过椭圆右焦点且不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于、两点，点是点关于轴的对称点，在轴上是否存在一个定点，使得、、三点共线？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
【答案】（1）；
（2）存在，.
【解析】
【分析】（1）设出焦点，表示出点，再由垂直关系及切线方程求出即得.
（2）由（1）中信息求出椭圆方程，设出直线的方程并与椭圆方程联立，求出直线的方程，结合韦达定理计算即得.
【小问1详解】
依题意，设，由，得是线段的中点，则，
由直线与垂直，得，则
显然过、、三点的圆的圆心为，半径为，
由过、、三点的圆恰好与直线相切，得，解得，
有，，所以椭圆的方程为.
【小问2详解】
由（1）及，得，，椭圆的方程为，
设直线方程为，，则，
由消去x并整理得，
，，
直线的方程为，
令得
，
所以在轴上存在一个定点，使得、、三点共线.
22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．
（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（2）过点作直线l的平行线交曲线C于M，N两点（M在x轴上方），求的值．
【答案】（1），；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据参数方程与普通方程的关系以及极坐标方程与直角坐标方程的互化关系求解；
（2）利用直线参数方程的几何意义求解.
【小问1详解】
将中的参数t消去，得曲线C的普通方程为．
将代入，
得直线l的直角坐标方程为．
【小问2详解】
易知直线l的参数方程为（m为参数），
代入，得，
设M对应的参数为，N对应的参数为，
则，且，，
所以．
23. 设函数，其中.
（1）当时，求曲线与直线围成的三角形的面积；
（2）若，且不等式的解集是，求的值.
【答案】（1）64 （2）
【解析】
【分析】（1）由题知，进而分别求解相应的交点，计算距离，再计算面积即可；
（2）分和两种情况求解得的解集为，进而结合题意求解即可.
【小问1详解】
解：根据题意，当时，，
所以，，设；
直线与交于点，与直线交于点，
且，
点到直线的距离，
所以，要求图形的面积；
【小问2详解】
解：当时，，，即，解可得，此时有，
当时，，，即，解可得，
又由，则，此时有，
综合可得：不等式的解集为，
因为不等式的解集是
所以，，解可得；被某病毒感染
未被某病毒感染
合计
注射疫苗
10
50
未注射疫苗
30
50
合计
30
100
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
被某病毒感染
未被某病毒感染
合计
注射疫苗
10
40
50
未注射疫苗
20
30
50
合计
30
70
100
购物金额（单位：万元）分组
发放金额（单位：万元）
50
100
200