2022-2023学年山东省德州市禹城市八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年山东省德州市禹城市八年级（上）期末数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.某班开展了以喜迎学校冬季运动会为主题的海报评比活动.下列属于轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列代数式中是分式的为( )
A. xπB. xx2+1C. 4x5D. 3+x2021
3.如图，BC=BE，CD=ED，则△BCD≌△BED，其依据是( )
A. SAS
B. AAS
C. SSS
D. ASA
4.计算(−a2)3÷a4结果是( )
A. −a2B. a2C. −a3D. a3
5.九年级2班学生小茗家和李锐家到学校的直线距离分别是5km和7km，那么他们两家的直线距离不可能是( )
A. 1kmB. 2kmC. 3kmD. 10km
6.若M(3a−b2)=b4−9a2，那么代数式M应是( )
A. −3a+b2B. 3a+b2C. 3a−b2D. −3a−b2
7.如图，已知∠1+∠2+∠3+∠4=280°，那么∠5的度数为( )
A. 80°
B. 90°
C. 100°
D. 110°
8.如图，一块直径为a+b的圆形钢板，从中挖去直径分别为a与b的两个圆，则剩下的钢板的面积为( )
A. 2πab
B. πab2
C. π(a2+b2)2
D. π(a2+b2)4
9.已知关于x的方程3x−1=x+ax(x−1)的增根是x=1，则字母a的值为( )
A. −1B. 1C. −2D. 2
10.如图，小米同学用两把相同的直尺画一个角的平分线：他先将一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小米说：“射线OP就是∠AOB的平分线．”他这样做的依据是( )
A. 先由“ASA”得到全等，再由全等三角形的对应角相等得出
B. 先由“SAS”得到全等，再由全等三角形的对应角相等得出
C. 先由“SSS”得到全等，再由全等三角形的对应角相等得出
D. 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
11.下面是学习分式方程的应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程．
例：有甲、乙两个工程队，甲队修路400m与乙队修路600m所用时间相等，且乙队每天比甲队多20m，求甲队每天修路的长度．
冰冰：400x=600x+20．
庆励：600y−400y=20．
方程中的x和y表示的意义，下列说法错误的是( )
A. x表示甲队每天修路的长度B. x表示乙队每天修路的长度
C. y表示甲队修400m所用的时间D. y表示乙队修600m所用的时间
12.如图，点C在线段BD上，AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D，∠ACE=90°，且AC=5cm，CE=6cm，点P从点A开始以2cm/s的速度沿AC向终点C运动，同时点Q以3cm/s的速度从点E开始，在线段EC上往返运动(即沿E→C→E运动)，当点P到达终点时，P、Q同时停止运动．过P、Q分别作BD的垂线，垂足分别为M、N.设运动的时间为t s，当以P、C、M三点为顶点的三角形与△QCN全等时，t的值为s．( )
A. 1B. 1或2C. 1或115D. 1或115或235
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
13.因式分解：2x2−2= ．
14.李老师在探究等腰三角形“三线合一”性质时，部分板书如图所示，请帮他在横线上填一个适当的结论______．
15.若式子(3x−l)0无意义，则x的值为______ ．
16.将一副直角三角板如图放置，∠A=30°，∠F=45°.若边AB经过点D，则∠EDB=______°.
17.如图，∠AOB=15°，P是OA上一点，P与P′关于OB对称，作P′M⊥OA于点M，OP=4，则MP′=______．
18.对于正数x，规定f(x)=11+x，例如：f(4)=11+4=15，f(12)=11+12=23，则f(2022)+f(2021)+…+f(2)+f(1)+f(12)+…+f(12021)+f(12022)= ______ ．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
19.先化简，再求值：x2−4x+4x2−4÷x−2x2+2x+3，其中x=−1．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题10分)
两个大小不同的等腰直角三角形三角板，如图①所示放置，图②是由它抽象出的几何图形，点B，C，E在同一条直线上，连接DC．
(1)请找出图②中的全等三角形，并给予证明．(说明：结论中不得含有未标识的字母)
(2)证明：DC⊥BE．
21.(本小题10分)
如图，网格中的△ABC和△DEF是轴对称图形．
(1)利用网格线，作出△ABC和△DEF的对称轴l；
(2)如果每个小正方形的边长为1，则△ABC的面积为______ ；
(3)结合所画图形，在直线l上找点P，使PA+PC的值最小，在图中标出点P的位置．
22.(本小题12分)
小华和小芳约定周末到某体育公园打羽毛球，他们两家到体育公园的距离分别是1200米、3000米，小芳骑自行车的平均速度是小华步行平均速度的3倍，若二人同时到达，则小华需提前4分钟出发，求：小华步行的速度和小芳骑自行车的速度．
23.(本小题12分)
课本再现
(1)在十一章《三角形》中，我们学习了三角形的内角和外角，知道了三角形的内角和为180°.如图1，因为∠B+∠A+∠BCA=180°，又因为∠ACD+∠BCA=180°，所以∠B+∠A=∠ACD，这是我们探究的三角形内角和定理的推论，即三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，同学们，你还有别的方法证明该推论吗？利用图1写出证明过程．
知识应用
(2)如图2，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E.求证：∠BAC=∠B+2∠E．
24.(本小题12分)
小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于x的多项式x2−2x+3，由于x2−2x+3=(x−1)2+2，所以当x−1取任意一对互为相反数的数时，多项式x2−2x+3的值是相等的，例如，当x−1=±l，即x=2或0时，x2−2x+3的值均为3；当x−1=±2，即x=3或−1时，x2−2x+3的值均为6．
于是小明给出一个定义：对于关于x的多项式，若当x−t取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于x=1对称．例如x2−2x+3关于x=1对称．
请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问愿：
(I)多项式x2−6x+10关于x=______对称；
(2)若关于x的多项式x2+2bx+3关于x=4对称，求b的值；
(3)整式(x2+8x+16)(x2+4x+4)关于x=______对称．
25.(本小题14分)
如图①，大正方形的面积可以表示为(a+b)2，同时大正方形的面积也可以表示成两个小正方形面积与两个长方形的面积之和，即a2+2ab+b2.同一图形(大正方形)的面积，用两种不同的方法求得的结果应该相等．即
(a+b)2=a2+2ab+b2.把这种“同一图形的面积，用两种不同的方法求出的结果相等，从而构建等式，根据等式解决相关问题”的方法称为“面积法”．
(1)用上述“面积法”，通过如图②中图形的面积关系，直接写出一个等式：______；
(2)如图③，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=3，CB=4，AB=5，CH是斜边AB边上的高，用上述“面积法”求CH的长；
(3)如图④，等腰△ABC中，AB=AC=5，CH=4点O为底边BC上任意一点，OM⊥AB，ON⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为点M、N、H，连接AO，则OM+ON的值是______．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：选项A、B、D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项C能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：C．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】B
【解析】解：A．xπ为单项式，所以A选项不符合题意；
B.xx2+1为分式，所以B选项符合题意；
C.45x为单项式，所以C选项不符合题意；
D.3+x2021为多项式，所以D选项不符合题意；
故选：B．
根据分式和整式的定义对各选项进行判断．
本题考查了分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式．
3.【答案】C
【解析】解：在△BCD和△BED中，
BC=BECD=EDBD=BD，
∴△BCD≌△BED(SSS)，
故选：C．
根据题目中的条件，可以写出△BCD≌△BED的依据，从而可以解答本题．
本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用三角形全等的判定方法解答．
4.【答案】A
【解析】解：(−a2)3÷a4
=−a6÷a4
=−a2．
故选：A．
利用幂的乘方的法则及同底数幂的除法的法则进行运算即可．
本题主要考查同底数幂的除法，幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
5.【答案】A
【解析】解：依题意，设小茗家和李锐家的直线距离为d，
则7−5≤d≤7+5，
即2≤d≤12．
故选：A．
根据三角形三边关系即可求解．
本题考查了三角形三边关系，掌握三角形三边关系是解题的关键，注意此问题三点共线时可以取等于号．
6.【答案】D
【解析】解：M=b4−9a23a−b2=(b2+3a)(b2−3a)3a−b2=−b2−3a，
故选：D．
根据多项式乘多项式的计算方法进行计算即可．
本题考查平方差公式、多项式乘多项式，掌握平方差公式以及多项式乘多项式的计算方法进行计算即可．
7.【答案】A
【解析】解：∵∠1+∠2+∠3+∠4=280°，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，
∴∠5=360°−∠1−∠2−∠3−∠4=80°．
故选：A．
根据多边形外角和为360度进行求解即可．
本题主要考查了多边形外角和，熟知多边形外角和为360度是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：剩余部分是大圆面积减去两个挖去的小圆面积，
即：S=(a+b2)2π−(a2)2π−(b2)2π=(ab2)π，
故选：B．
由图可知剩余部分是大圆面积减去两个挖去的小圆面积，利用圆的面积公式即可求解．
本题考查圆的面积；熟练掌握圆的面积的求法，灵活应用完全平方公式是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：方程两边同时乘以x(x−1)得：3x=x+a，
把x=1代入得：3×1=1+a，
解得：a=2，
故选：D．
把分式方程化为整式方程后，把x=1代入，即可求得结果．
本题考查了分式方程的增根，理解分式方程增根的定义是解决问题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：如图，过点P作PF⊥OB于点F，PE⊥OA于点E．
因为直尺的宽度相等，
所以PE=PF，
因为PF⊥OB，PE⊥OA，
所以OP平分∠AOB．
故选：D．
如图，过点P作PF⊥OB于点F，PE⊥OA于点E，利用角平分线的判定定理解决问题即可．
本题考查角平分线的判定，理解题意，灵活运用所学知识是解题的关键．
11.【答案】B
【解析】解：∵冰冰是根据时间相等列出的分式方程，
∴x表示甲队每天修路的长度；
∵庆励是根据乙队每天比甲队多修20米列出的分式方程，
∴y表示甲队修路400米所需时间或乙队修路600米所需时间，
故选：B．
根据两人的方程思路，可得出：x表示甲队每天修路的长度；y表示甲队修路400米所需时间或乙队修路600米所需时间；即可求解．
本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
12.【答案】C
【解析】解：∵AB⊥BD，ED⊥BD，∠ACE=90°，
∴∠ACB+∠ECD=90°，∠ACB+∠CAB=90°，
∴∠CAB=∠ECD，
∵PM⊥BD，AB⊥BD，
∴PM//AB//QN//ED，∠PMC=∠CNQ=90°，
∴∠CPM=∠CAB，
∴∠CPM=∠QCN，
∴△CPM∽△QCN，
当点P在AC上，点Q在CE上时，
∵以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等，
∴PC=CQ，
∴5−2t=6−3t，
∴t=1，
当点P在AC上，点Q第一次从点C返回时，
∵以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等，
∴PC=CQ，
∴5−2t=3t−6，
∴t=115，
综上所述：t的值为1或115．
故选：C．
证明△CPM∽△QCN，分两种情况讨论，由全等三角形的判定和性质可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是本题的关键．
13.【答案】2(x+1)(x−1)
【解析】首先提公因式2，再利用平方差进行二次分解．
解：原式=2(x2−1)=2(x+1)(x−1)．
故答案为：2(x+1)(x−1)．
此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
14.【答案】BD=CD，AD平分∠BAC
【解析】解：∵AB=AC，AD⊥BC
∴△ABC是等腰三角形，
∴BD=CD，AD平分∠BAC，
故答案为：BD=CD，AD平分∠BAC．
根据等腰三角形”三线合一“的性质进行填空即可．
本题主要考查了等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形“三线合一”的性质．
15.【答案】13
【解析】解：∵(3x−l)0无意义，
∴3x−1=0，
∴x=13，
故答案为：13．
根据题意若(3x−l)0无意义，则3x−1=0，再求x的值．
本题考查了零指数幂的定义，零指数幂：a0=1(a≠0)，此题比较简单，易于掌握．
16.【答案】75
【解析】【分析】
本题主要考查三角形内角和定理．
由三角形内角和定理可求解∠ABC的度数，进而求解∠EDB的度数．
【解答】
解：∵∠ACB=90°，∠A=30°，∠E=∠F=45°
∴∠ABC=90°−30°=60°，
∴∠EDB=180°−∠E−∠ABC=180°−45°−60°=75°，
故答案为75．
17.【答案】2
【解析】解：如图，连接OP′．
∵P与P′关于OB对称，
∴∠AOB=∠P′OB=15°，OP=OP=4，
∴∠AOP′=30°，
∵P′M⊥OA，
∴∠OMP′=90°，
∴P′M=12OP′=2，
故答案为：2．
如图，连接OP′.构造特殊直角三角形解决问题即可．
本题考查轴对称的性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题
18.【答案】202112
【解析】解：寻找规律：
当x=1时，f(1)=12；
当x=2时，f(2)=13，当x=12时，f(12)=23，f(2)+f(12)=1；
当x=3时，f(3)=14，当x=13时，f(13)=34，f(3)+f(13)=1；
⋅⋅⋅⋅⋅⋅，
当x=n时，f(n)=1n+1，当x=1n时，f(1n)=nn+1，f(n)+f(1n)=1．
∴f(n)+f(n−1)+…+f(2)+f(1)+f(12)+…+f(1n−1)+f(1n)=n−1+12=n−12．
∴当x=2022时，f(2022)+f(2021)+…+f(2)+f(1)+f(12)+…+f(12021)+f(12022)
=2022−12
=202112，
故答案为：202112．
根据新定义的运算可得f(n)+f(1n)=1，从而有f(n)+f(n−1)+…+f(2)+f(1)+f(12)+…+f(1n−1)+f(1n)=n−1+12=n−12，于是代入n=2022即可求解．
本题考查列代数式以及代数式求值，理解新定义的运算是解决问题的关键．
19.【答案】解：原式=(x−2)2(x+2)(x−2)⋅x(x+2)x−2+3
=x+3
当x=−1时，
原式=−1+3
=2．
【解析】根据分式的运算法则即可求出答案．
本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
20.【答案】解：(1)△ABE≌△ACD，
证明：∵AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=90°，
∴∠BAC+∠CAE=∠EAD+∠CAE，即∠BAE=∠CAD，
∴△ABE≌△ACD(SAS)；
(2)由△ABE≌△ACD得∠ACD=∠ABE=45°，
又∵∠ACB=45°，
∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°，
∴DC⊥BE．
【解析】根据等腰直角三角形的性质利用SAS判定△ABE≌△ACD；因为全等三角形的对应角相等，所以∠ACD=∠ABE=45°，已知∠ACB=45°，所以可得到∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°，即DC⊥BE．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法以及性质是并准确确定出全等三角形是解题的关键．
21.【答案】3
【解析】解：(1)如图所示，直线l即为所求；
(2)△ABC的面积为2×4−12×1×4−12×2×2−12×1×2=3，
故答案为：3；
(3)如图所示，点P即为所求．
(1)根据网格特点，结合轴对称的性质可得答案；
(2)用矩形的面积减去四周三个三角形的面积即可；
(3)连接CD，与直线l的交点即为所求．
本题主要考查作图—轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称图形的定义与性质．
22.【答案】解：设小华的速度是x米/分钟，则小芳骑自行车的速度是3x米/分钟，根据题意可得：
1200x−4=30003x，
解得：x=50，
经检验得：x=50是原方程的根，故3x=150，
答：小芳平均每分钟骑行200米小华步行的平均速度是每分钟50米．
【解析】直接利用小芳骑自行车的平均速度是小华步行平均速度的3倍，若二人同时到达，则小华需提前3分钟出发，进而得出等式求出答案．
此题主要考查了分式方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．
23.【答案】(1)证明：过点C作CE/​/AB，
∴∠A=∠ACE，∠B=∠DCE，
∴∠ACD=∠A+∠B．

(2)证明：∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，
∴∠ECD=∠ACE，
∵∠ECD=∠E+∠B，∠BAC=∠E+∠ACE，
∴∠BAC=∠E+∠ECD=∠E+∠E+∠B=∠B+2∠E．
【解析】(1)作CE/​/AB，利用平行线的性质得到∠A=∠ACE，∠B=∠DCE，即可证明结论；
(2)利用三角形的外角性质得到∠ECD=∠E+∠B，∠BAC=∠E+∠ACE，据此即可证明结论．
本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，第(2)问利用第(1)问的结论证明是解题的关键．
24.【答案】3 −3
【解析】解：(1)x2−6x+10=(x−3)2+1，
则多项式关于x=3对称．
故答案为：3；
(2)∵x2+2bx+3=(x+b)2+3−b2，
∴关于x的多项式x2+2bx+3关于x=−b对称，
∴−b=4，
∴b=−4；
(3)原式=(x+4)2(x+2)2
=[(x+4)(x+2)]2
=(x2+6x+8)2
=[(x+3)2−1]2，
∴关于x=−3对称．
故答案为：−3．
(1)对多项式进行配方，根据新定义判断即可；
(2)求出x2+2bx+3的对称轴，令对称轴x=4即可；
(3)对多项式进行配方，根据新定义判定即可．
本题考查了配方法的应用，能够对多项式进行配方，根据新定义判断出对称轴是解题的关键．
25.【答案】(x+2)(x+3)=x2+5x+6 4
【解析】解：(1)由“面积法”得：(x+2)(x+3)=x2+5x+6，
故答案为：(x+2)(x+3)=x2+5x+6；
(2)由“面积法”得：CA⋅CB=AB⋅CH，
即：3×4=5CH，
解得：CH=2.4；
(3)由“面积法”得：AC⋅ON+AB⋅OM=AB⋅CH，
即：5⋅ON+5⋅OM=5⋅CH，
∴ON+OM=CH=4，
故答案为：4．
(1)根据“面积法”求解；
(2)根据“直角三角形的面积等于直角边积的一半，也等于斜边与斜边上高的积的一半”求解；
(3)根据：S△AOB+S△AOC=S△AOB，列式求解．
本题考查了等腰三角形的性质及因式分解的应用，面积的不同表示方法是解题的关键．