河北武邑中学2023——2024学年上学期高二年级第2次月考数学试卷及参考答案

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一、单项选择题： A D B A C D A B
2.【详解】因为，所以，
又，所以. 故选：D
4【详解】因为直线始终平分圆的周长，
所以直线过圆的圆心，则，
因为表示直线上的点到点的距离，
则的最小值为点到直线的距离，
即，所以的最小值为，故选A
5.【详解】由等差数列的前项和，依题意有，
所以,
，故选C
7.【详解】由，得，
所以
因为，所以，解得，故选A.
8.【详解】如图， 因为，不妨设渐近线方程为，即，
所以，所以.
设,则，所以，所以.
因为,所以，所以，所以，
所以，因为，所以，
所以，解得，所以双曲线的方程为 故选：B
二 多项选择题
9. BCD 10. B D 11. A B D 12. A C D
12. 【详解】由题意可知，，则①，
当时，；当时，②，
①②得，，
解得，当时也成立也成立. A正确；
，B错误；
，当时，即，且，
故当或9时，的前项和取最小值，
最小值为，C和D正确. 故选：A C D
三、填空题： 13. 8 14. 70 15. 16.
14.【详解】设每个月的收入为等差数列，公差为，则，
∴，，
解得：，.故答案为：70
【详解】直线ax＋y＋3a－2＝0可化为(x＋3)a＋y－2＝0,过定点M(－3,2),
设双曲线的右焦点为,易知，注意到
，等号当且仅当点M、P、共线时取到，
所以的最小值是
16. 【详解】设椭圆的左焦点为,连接，,
由几何关系可知，则，即，
由椭圆的定义可知，即且，
整理得，解得，
. 故答案为：.
四、解答题
解：（1）圆C的方程可以化为，
由题意知圆心的坐标为，半径， -------------- 1分
① 当过点的直线斜率不存在时，方程为，
由圆心到直线的距离知，直线与圆相切， ------- 2分
② 当过点的直线存在斜率时，设方程为，即．
由题意知,解得， ----------- 4分
直线的方程为． ----------- 5分
故过点的圆的切线方程为或． ----------- 6分
（2）圆心到直线的距离为， ----------- 7分 ------------------ 9分
解得． ------------------ 10分
18.解：（1）因为 ①，
当时， ②，-------------- 2分
①②得，，
即， -------------- 4分
即，
所以，且， -------------- 6分
所以是以为公差的等差数列． -------------- 7分
（2）由（1）可得，，，-------------- 8分
又，，成等比数列，得， 即，------ 9分
解得， 所以， -------------- 10分
因为，而时
则当或时，． -------------- 12分
19.解1：（1）因为， -------------- 1分
所以点M的轨迹是以为焦点，以4为实轴长的双曲线. -------------- 2分
设双曲线的方程为
， -------------- 3分
动点M的轨迹C的方程为：. -------------- 4分
（2）由于当l与y轴垂直时，弦长等于2a=4不符合条件， -------------- 5分
所以直线l的方程可以设为，
将之代入双曲线的方程，并整理得： -------------- 6分
当时，上方程的恒成立，------- 7分
设,则有：，
--------- 9分
解得：m=0或， -------------- 10分
经验证后知都符合条件， -------------- 11分
直线l的方程分别为： -------------- 12分
解2：（2）当直线l与x轴垂直时，l的方程为x=3, 与双曲线的方程联立解得，
这时，, 所以x=3符合条件. --------- 5分
当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为,
与双曲线的方程联立消去y得：，---------- 6分
在的前提下，恒有，---- 7分
设,则有：
------ 9分
由，而无解， ------- 10分
经验证后知都符合条件，综上所述，直线l的方程为或x=3. ------ 12分
20.【详解】（1）平面，四边形为矩形，不妨以点为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系， -------------- 1分
设，
则、、、、，
则，， ----------------- 3分
，则，解得，
故； ------------------ 5分
（2）设平面的法向量为，则，，
由，取，可得， ------------------ 7分
设平面的法向量为，，，
由，取，可得， ------------------ 9分
， ------------------ 10分
所以，， ------------------ 11分
因此，二面角的正弦值为. ------------------ 12分
21.解（1）由条件得：，
所以椭圆C的方程为. -------------- 2分
（2）显见直线MN与x轴不垂直，其方程可设为
将之代入椭圆C的方程，并整理得： -------------- 3分
因为直线过椭圆内一点H，所以其恒成立，
设，弦MN的中点，则有
， -------------- 4分
-------------- 5分
当时，点P恰为点H，这时直线MN的方程符合条件；-------------- 6分
当时，是以MN为底边的等腰三角形等价于
由得：，
解得：，这时直线MN的方程为：；
综上所述，直线MN的方程为或. -------------- 8分
（3）证明：椭圆C的左、右焦点分别为，
① 当直线l平行于y轴时，因为直线l与椭圆C相切，所以直线l的方程为x＝±2，
此时，点F1、F2到直线l的距离之积为； --------------9分
② 当直线l不平行与y轴时，设直线l的方程为y＝kx+m，代入消去y整理得，
由条件知 --------------10分
因为点到直线l的距离分别为：
所以；
综合 ① ② 知，点F1、F2到直线l的距离之积为定值1． --------------12分
22.（1）由抛物线的定义知：，
所以抛物线C的方程为：. --------------2分
设，则，
所以，
注意到，，
直线l的方程为，即.--------------4分
（2）易知，显然直线的斜率不可能为零，
设直线：，，
由可得，，所以，，
， --------------6分
因为，所以，
即，
亦即，
将代入得，
，，
所以，且，解得或 ．--------------8分
设点到直线的距离为，所以，
，
所以的面积，---------11分
而或，所以，
当时，的面积． ---------12分
注：在（1）问中直线l的方程也可按下面方法去求：
显见直线l与x轴不垂直，其方程可以设为：，
与抛物线方程联立消去x得：，
设，则，
直线l的方程为：，即.--------------4分