吉林省通化市梅河口市2023-2024学年八年级上学期期末数学试题（含解析）

这是一份吉林省通化市梅河口市2023-2024学年八年级上学期期末数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了5 毫米黑色墨水签字等内容，欢迎下载使用。

时间：100分钟 满分：120分
考试注意事项：
1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考
生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、
姓名是否一致．
2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用 0.5 毫米黑色墨水签字
笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．
3．作图可先使用 2B 铅笔画出，确定后必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔描黑．
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
2．下列不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．以下列长度的各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．2cm，3cm，6cmB．3cm，4cm，8cm
C．5cm，6cm，10cmD．5cm，6cm，11cm
4．下列计算正确的是（ ）
A．3a3•2a2＝6a6B．2x2•3x2＝6x4
C．3x2•4x2＝12x2D．5y3•3y5＝8y8
5．如图，△ACB ≌△A′CB′，∠A′CB=30°，∠ACB′=110°，则∠ACA′的度数是 （ ）
A．B．C．D．
6．若是完全平方式，则m的值等于（ ）
A．2B．4或﹣4C．2或﹣2D．8或﹣8
7．已知a、b、c是的三条边，且满足，则是( )
A．锐角三角形B．钝角三角形
C．等腰三角形D．等边三角形
8．如图，是等边三角形，D是线段上一点（不与点B，C重合），连接，点E，F分别在线段，的延长线上，且，点D从B运动到C的过程中，周长的变化规律是（ ）

A．先变小后变大B．先变大后变小C．一直变小D．不变
9．一副直角三角尺如图摆放，点在的延长线上，，，，，则∠的度数是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，AB=12，AD平分∠BAC，点PQ分别是AB、AD边上的动点，则BQ+QP的最小值是（ ）
A．4B．5C．6D．7
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．若分式的值为0，则 ．
12．如图，∠ABD=76°，∠C=38°，BC=30cm，则BD的长为 ．
13．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需要加条件 ．
14．已知：2x+3y+3＝0，计算：4x•8y的值＝ ．
15．如图，，点、、……在射线ON上，点、、……在射线OM上，，，……均为等边三角形，从左数起第1个等边三角形的边长记，第2个等边三角形的边长记，以此类推，若，则 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（1）计算：（﹣2a2b）2•（3ab2﹣5a2b）÷（﹣ab）3；
（2）因式分解：n2（m﹣2）+4（2﹣m）．
17．先化简，再求值：，其中．
18．在正方形网格中，网格线的交点叫做格点，三个顶点均在格点上的三角形叫做格点三角形．
（1）在图1中计算格点三角形的面积是__________；（每个小正方形的边长为1）
（2）是格点三角形．
①在图2中画出一个与全等且有一条公共边的格点三角形；
②在图3中画出一个与全等且有一个公共点A的格点三角形．
19．如图，在中，是高，角平分线相交于点，，，求和的度数．
20．如图，，，．，与交于点．

（1）求证：；
（2）求的度数．
21．如图，中，，点D，E在边上，，点F在的延长线上， ．
（1）求证：；
（2）若，求的度数 ．
22．“阅读陪伴成长，书香润泽人生．”某校为了开展学生阅读活动，计划从书店购进若干本A、B两类图书（每本A类图书的价格相同，每本B类图书的价格也相同），且每本A类图书的价格比每本B类图书的价格多5元，用1200元购进的A类图书与用900元购进的B类图书册数相同．
（1）求每本A类图书和每本B类图书的价格各为多少元？
（2）根据学校实际情况，需从书店一次性购买A、B两类图书共300册，购买时得知：一次性购买A、B两类图书超过100册时，A类图书九折优惠（B类图书按原价销售），若该校此次用于购买A、B两类图书的总费用不超过5100元，那么最多可以购买多少本A类图书？
23．如图，是等边三角形，点在上，点在的延长线上，且．

(1)若点是的中点，如图1，则线段与的数量关系是__________；
(2)若点不是的中点，如图2，试判断与的数量关系，并证明你的结论；(提示：过点作，交于点)
(3)若点在线段的延长线上，（2）中的结论是否仍成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．
参考答案与解析
1．B
【分析】本题考查幂的乘方．根据题意利用公式“”即可计算出本题答案．
【详解】解：，
故选：B．
2．C
【分析】本题考查识别轴对称图形．沿着一条直线折叠能完全重合的图形即为轴对称图形，根据定义即可选出本题答案．
【详解】解：∵沿着对称轴折叠能完全重合的图形即为轴对称图形，
∴A和B和D选项均符合轴对称图形定义，故不选，C选项不是轴对称图形，故选，
故选：C．
3．C
【分析】根据三角形三边关系解答．
【详解】A、∵2+3<6，∴以此三条线段不能组成三角形；
B、3+4<8，∴以此三条线段不能组成三角形；
C、∵5+6>10，∴以此三条线段能组成三角形；
D、∵5+6=11，∴以此三条线段不能组成三角形；
故选：C．
【点睛】此题考查三角形的三边关系：三角形两边的和大于第三边．
4．B
【分析】根据单项式乘以单项式公式解答．
【详解】A、3a3•2a2＝6a5，故该项不符合题意；
B、2x2•3x2＝6x4，故该项符合题意；
C、3x2•4x2＝12x4，故该项不符合题意；
D、5y3•3y5＝15y8，故该项不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题考查整式的乘法－单项式乘以单项式，熟记计算法则是解题的关键．
5．D
【分析】根据全等三角形对应角相等，∠ACB=∠A′CB′，所以∠ACA′=∠BCB′，再根据角的和差关系代入数据计算即可．
【详解】∵△ACB≌△A′CB′，
∴∠ACB=∠A′CB′，
∴∠ACB-∠A′CB=∠A′CB′-∠A′CB，
即∠ACA′=∠BCB′，
∵∠A′CB=30°，∠ACB′=110°，
∴∠ACA′=（110°-30°）=40°．
故选D．
【点睛】考查全等三角形对应角相等的性质，对应角都减去∠A′CB得到两角相等是解决本题的关键．
6．D
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值．
【详解】解：，
，
解得或．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
7．C
【分析】已知等式左边分解因式后，利用两因式相乘积为0则两因式中至少有一个为0，得到a=b，即可确定出三角形形状．
【详解】已知等式变形得：（a+b）（a－b）－c（a－b）=0，
即（a－b）（a+b－c）=0，
∵a+b－c≠0，
∴a－b=0，即a=b，
则△ABC为等腰三角形．
故选C．
【点睛】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
8．A
【分析】先根据ASA证明，根据全等三角形的性质可得，由此可得的周长，即可求解．本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质，证明是解题的关键．
【详解】，
．
∵是等边三角形，
，
且，
．
，
．
在和中
，
，
，
的周长
，
∵点D从B运动到C的过程中的值先变小再变大，因此周长先变小再变大．
故选：A
9．A
【分析】由，利用“两直线平行，内错角相等”可得出的度数，结合及，即可求出的度数，此题得解．
【详解】根据题意，得：，．
，
，
．
故选．
【点睛】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
10．C
【分析】如图，作点P关于直线AD的对称点P′，连接QP′，由△AQP≌△AQP′，得PQ=QP′，欲求PQ+BQ的最小值，只要求出BQ+QP′的最小值，即当BP′⊥AC时，BQ+QP′的值最小，此时Q与D重合，P′与C重合，最小值为BC的长．
【详解】解：如图，作点P关于直线AD的对称点P′，连接QP′，
△AQP和△AQP′中，
，∴△AQP≌△AQP′，
∴PQ=QP′
∴欲求PQ+BQ的最小值，只要求出BQ+QP′的最小值，
∴当BP′⊥AC时，BQ+QP′的值最小，此时Q与D重合，P′与C重合，最小值为BC的长．
在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AB=12，∠BAC=30°，
∴BC=AB=6，
∴PQ+BQ的最小值是6，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理、轴对称中的最短路线问题、垂线段最短等知识，找出点P、Q的位置是解题的关键．
11．
【分析】本题考查分式的值为0的条件．根据分式的分子为0，分母不为0时，分式的值为0，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，且，
解得：；
故答案为：．
12．30cm．
【详解】解：∵∠ABD=76°，∠C=38°，
∴∠D=∠ABD﹣∠C=76°﹣38°=38°，
∴∠C=∠D，
∴BD=BC=30cm．
故答案为30cm．
13．AB＝AC
【分析】根据斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等即可解答．
【详解】解：还需添加条件AB＝AC，
∵AD⊥BC于D，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）．
故答案为：AB＝AC．
【点睛】本题主要考查了直角三角形全等的判定，掌握斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等是解答本题的关键．
14．
【分析】根据幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法的计算公式即可得结果．
【详解】解：∵2x+3y+3＝0，
∴2x+3y＝﹣3，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法，解决本题的关键是掌握幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法．
15．
【分析】根据等边三角形的性质和平行线的性质可得出 …，然后由和等腰三角形的判定得出，，，，…，由此找到规律即可解答．
【详解】解：、、……均为等边三角形，
，，，，
∥∥，
，
，
，，，
即，
，
，
由此类推：
，
，
…
，
故答案为：．
【点睛】本题考查等边三角形的性质、三角形外角的性质、等腰三角形的判定、数字规律类探索等，总结出等边三角形边长的变化规律是解题的关键．
16．（1）﹣12a2b+20a3；（2）（m﹣2）（n+2）（n﹣2）
【分析】（1）先算积的乘方，再利用多项式与单项式的乘除法法则计算即可求出值；
（2）原式变形后提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【详解】解：（1）原式＝4a4b2•（3ab2﹣5a2b）÷（﹣a3b3）
＝（12a5b4﹣20a6b3）÷（﹣a3b3）
＝﹣12a2b+20a3；
（2）原式＝n2（m﹣2）﹣4（m﹣2）
＝（m﹣2）（n+2）（n﹣2）．
【点睛】此题考查了整式的混合运算，以及提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．
17．，
【分析】本题考查分式的化简求值．根据题意先给括号内两个分式进行通分，再将的分子与分母因式分解，再进行计算并将代入化简式子中即可得到本题答案．
【详解】解：原式，
，
，
当时，
原式．
18．（1）6；（2）①见解析；②见解析
【分析】（1）用割补法求解即可；
（2）根据“SSS”画图即可；
（3）根据“SSS”画图即可；
【详解】解：（1）5×3-×3×3-×2×2-×5×1=6，
故答案为：6；
（2）①如图，即为所求，
②如图，即为所求，
【点睛】本题考查了“格点三角形的定义”以及全等三角形的判定方法，熟练掌握“SSS”是解答本题的关键．
19．，
【分析】本题考查角平分线性质，内角和定理，高的定义．根据题意利用高线垂直即内角和定理求出度数，再利用角平分线性质求出和，继而利用内角和定理即可得到本题答案．
【详解】解：是的高，
，
，
，
，，
，
分别平分，
，，
，
，
∴，．
20．（1）见解析（2）90°
【分析】（1）根据题意证明△ACE≌△BCD即可求解；
（2）根据三角形的内角和及全等三角形的性质即可得到的度数．
【详解】（1）∵，，
∴∠ACB=∠ECD=90°
∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE
即∠ACE=∠BCD
又．
∴△ACE≌△BCD
∴
（2）∵△ACE≌△BCD
∴∠A=∠B
设AE与BC交于O点,
∴∠AOC=∠BOF
∴∠A+∠AOC+∠ACO=∠B+∠BOF+∠BFO=180°
∴∠BFO=∠ACO=90°
故=180°-∠BFO=90°．

【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理．
21．（1）见解析；（2）81°
【分析】（1）通过等边对等角得到，再利用等式的性质得到边相等，用SAS证明ABD≌ACE即可；
（2）由ABD≌ACE，推出，再利用等腰三角形内角和的特点即可解答．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，，
∴（）；
（2）证明∵，
∴，
∵，
∴，
∴ ．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，三角形内角和定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形．
22．（1）每本A类图书的价格是20元，每本B类图书的价格是15元；（2）最多可以购买200本A类图书
【分析】（1）设每本A类图书的价格是x元，则每本B类图书的价格是（x﹣5）元．依据“用1200元购进的A类图书与用900元购进的B类图书册数相同”列出方程并解答；
（2）设该校购买A类图书y本，则根据题中的已知条件“该校此次用于购买A、B两类图书的总费用不超过5100元”列出不等式，并解答．
【详解】解：（1）设每本A类图书的价格是x元，则每本B类图书的价格是（x﹣5）元，根据题意可得：
，
解得：x＝20，
经检验x＝20是方程的解，所以x﹣5＝20﹣5＝15，
答：每本A类图书的价格是20元，每本B类图书的价格是15元；
（2）设该校购买A类图书y本，则B类图书（300﹣y），
根据题意可得：20×90%y+15×（300﹣y）≤5100，
解得：y≤200，
答：最多可以购买200本A类图书．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用．利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，这时要根据题目所要解决的问题，选择其中的一个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数．
23．(1)，理由见解析
(2)，理由见解析
(3)成立，理由见解析
【分析】本题考查全等三角形判定与性质，平行线性质，等腰三角形性质，等边三角形性质与判定．
（1）求出，推出，根据等腰三角形性质求出，即可得出答案；
（2）过作，交于，证明，推出，证是等边三角形，推出，即可得出答案；
（3）过点作，交的延长线于点，证明，得到，即可得到．
【详解】（1）解：，理由如下：
是等边三角形，
．
∵点为中点，
，
，
，
，
，
，
又，
．
故答案为：；
（2）解：，理由如下：
如图，过点作，交于点，
，
则，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
又，
；
（3）解：结论仍成立，理由如下：
如图，过点作，交的延长线于点，
，
则，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
又，
．