2024年中考数学二次函数压轴题-平行四边形存在性（试题+解析）

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1．（2023.九襄） 如图1，二次函数y=x2−2x−3的图象交x轴于点A，点B，交y轴于点C，过点A的直线AD与抛物线交于点D（4，5）.
（1）请确定直线AD的解析式；
（2）连接BC，点P是抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线AD于点E，交线段BC于点F.
①如果点P在第四象限的抛物线上运动，当PE=3PF时，求点P的坐标；
②设直线AD与y轴的交点为G，如图2，在点P运动的过程中是否存在以点C，G，E，P为顶点的四边形为平行四边形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
2．（2023·吐鲁番） 如图，直线y=−x+4与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y=ax2+x+c经过B，C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E是线BC上方抛物线上的一动点，当其到直线BC的距离最大时，求点E的坐标；
（3）点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（四川.2023） 如图，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为M(1，−3)，与x轴的交点为A和B.将抛物线y=ax2+bx+c绕点B逆时针方向旋转90°，点M1，A1为点M，A旋转后的对应点，旋转后的抛物线与y轴相交于C，D．
（1）若原抛物线过点(3，5)，求抛物线y=ax2+bx+c的解析式；
（2）若A，A1关于点M成中心对称，求直线AA1的解析式；
（3）在(2)的条件下，若点P是原抛物线上的一动点，点Q是旋转后的图形的对称轴上一点，E为线段AM的中点，是否存在点P，使得以P，Q，E，B为顶点的四边形是平行四边形；若存在请求出点P坐标，若不存在，请说明理由．
4．（2023·长沙）已知抛物线与x轴交于A(-1，0)、C(3，0)，与y轴交于点B（0，-3）.
（1）求抛物线对应的函数解析式；
（2）在x轴上是否存在点P，使△PBC为等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点M为抛物线上一动点，在直线BC上是否存在点Q，使以点O、B、Q、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.
5．（2023·淄博）如图，一条抛物线y=ax2+bx经过△OAB的三个顶点，其中O为坐标原点，点A(3，−3)，点B在第一象限内，对称轴是直线x=94，且△OAB的面积为18
（1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）求点B的坐标；
（3）设C为线段AB的中点，P为直线OB上的一个动点，连接AP，CP，将△ACP沿CP翻折，点A的对应点为A1．问是否存在点P，使得以A1，P，C，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
6．（2023·浑源）如图1，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于点A(−3，0)，B(1，0)，与y轴交于点C．
（1）求抛物线y=x2+bx+c及直线AC的函数解析式．
（2）如图2，P是直线AC下方的抛物线上的一点，过点P作PQ⊥x轴于点Q，交直线AC于点D，当S△CQDS△CPD=12时，求点P的坐标．
（3）如图3，过点O作OM⊥AC于点M，将线段OM所在的直线沿着x轴平移，使得平移后的直线交x轴于点E，交抛物线于点F，是否存在点F，使得四边形OMEF是平行四边形?若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
7．（2023·永川模拟） 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c交x轴于A(1，0)、B两点(点A在点B的左侧)，交y轴于点C(0，5)，连接BC．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图1，将直线BC沿y轴向上平移6个单位长度后与抛物线交于D、E两点，交y轴于点G，若点P是抛物线上位于直线BC下方(不与A、B重合)的一个动点，过点P作PM//y轴交DE于点M，交BC于点H，过点M作MN⊥BC于点N，求PM+NH的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，当点P满足(2)问条件时，将△CBP绕点C逆时针旋转α(0°