2024年中考数学二次函数压轴题-平行四边形存在性（提高篇）（试题+解析）

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1．（2023·交城）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为Q(2，−1)，且与y轴交C(0，3)，与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），点P是抛物线上的一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD⊥直线AC于点D．
（1）求该抛物线的解析式及A，B两点的坐标；
（2）求点P在运动的过程中，线段PD的最大值；
（3）若点P与点Q重合，点E在x轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A，P，E，F为顶点的平行四边形？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2023·金华）如图，已知抛物线y=ax2+bx−4经过A(−8，0)，B(2，0)两点，直线x=−4交x轴于点C，交抛物线于点D．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线上，点E在直线x=−4上，若以A，O，E，P为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标；
（3）若B，D，C三点到同一条直线的距离分别是d1，d2，d3，问是否存在直线l，使d1=d2=d32？若存在，请直接写出d3的值；若不存在，请说明理由．
3．（2023·南宁）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝-x2+bx+c交x轴于A，B两点（A在B左侧），交y轴于点C，且OC＝OB＝3，对称轴l交抛线于点D，交x轴于点G.
（1）求抛物线的表达式及顶点坐标；
（2）如图2，过点C作CH⊥DG于H，在射线HG上有一动点M（不与H重合），连接MC，将MC绕M点顺时针旋转90°得线段MN，连接DN，在点M的运动过程中，DNHM是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由；
（3）如图3，将抛物线y＝-x2+bx+c向右平移后交直线l于点E，交原抛物线于点Q且点Q在第一象限，过点Q作QP⊥x轴于点P，设点Q的横坐标为m，问：在原抛物线y＝-x2+bx+c上是否存在点F，使得以P，Q，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.
4．（2023·开州）如图，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于点A(−1，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C，连接BC.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线BC上方的抛物线上的一点，连接PB，PC，求△PBC的面积的最大值以及此时点P的坐标；
（3）将抛物线y=ax2+bx+3向右平移1个单位得到新抛物线，点M是新抛物线的对称轴上的一点，N是新抛物线一动点，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点M的坐标.
5．（2023·仁寿）如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A（1，0）和B（3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线的对称轴交x轴于点E，点F是位于x轴上方对称轴上一点，FC∥x轴，与对称轴右侧的抛物线交于点C，且四边形OECF是平行四边形，求点C的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点P，使△OCP是等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
6．（2023·舟山）如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(2，0)，B(-2，4)，(-4，0)，直线AB与抛物线的对称轴交于点E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点M在直线AB上方的抛物线上运动，当ΔABM的面积最大时，求点M的坐标；
（3）若点F为平面内的一点，且以点B，E，C，F为顶点的四边形是平行四边形，请写出符合条件的点F的坐标．
7．（2023·舟山）如图，已知抛物线y=ax2+bx−1(a≠0)与x轴交于点，A(−2，0)，B(2，0)，与y轴交与点D．过点C(0，1)的直线AC与抛物线交与A，F两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为直线AF下方抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线交AC于点Q，过点Р作x轴的平行线交y轴于点E，求PQ+PE的最大值及相应点Р的坐标；
（3）在（2）的条件下，将抛物线y=ax2+bx−1(a≠0)先向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到新抛物线y1，点M为y1对称轴上一点，点N为y1上一点，若以点D，P，M，N为顶点的四边形为平行四边形，写出所有符合条件的点M的坐标，并任选其中一个点M的坐标写出求解过程．
8．（2023·文登）如图所示，在坐标系xOy中，抛物线y＝﹣34x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线y＝x+8经过A，C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在AC上方的抛物线上有一动点P．
①如图1，当点P运动到某位置时，以AP，AO为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上，求出此时点P的坐标；
②如图2，过点O，P的直线y＝kx（k＜0）交AC于点E，若PE：OE＝5：6，求k的值．
9．（2023·岳麓）如图，抛物线y=ax2+bx+6经过A(−2，0)、B(4，0)两点，与y轴交于点C，点D是抛物线上一动点，设点D的横坐标为m(1