2024年中考数学二次函数压轴题-平行四边形存在性专题（拓展篇）（试题+解析）

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1．（2021·巴南模拟）如图，抛物线y＝ 12x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C（0，﹣4），顶点为D，其对称轴直线x＝1交x轴于点P．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，线段MN的两端点M，N都在抛物线上（点M在对称轴左侧，点N在对称轴右侧），且MN＝4，求四边形PMDN面积的最大值和此时点N的坐标；
（3）如图2，点Q是直线l：y＝kx+1上一点，当以Q，A，C，B为顶点的四边形是平行四边形时，确定点Q的坐标和k的值．
2．（2021·陇县模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过等腰Rt△OAB的A，B两点，点B在点A的右侧，直角顶点A（0，3）.
（1）求抛物线的表达式.
（2）P是AB上方抛物线上的一点，作PQ⊥AB交OB于点Q，连接AP，是否存在点P，使四边形APQO是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
3．（2021·陇县模拟）如图，抛物线 y=34x2+bx+c 与 y 轴交于点 C ，与 x 轴交于 A ， B 两点，点 A 在点 B 的左侧，点 A 的坐标为 (−4，0) ， AO=4BO .
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点 E 在 x 轴上，点 P 在抛物线上，是否存在以 A ， C ， E ， P 为顶点且以 AC 为一边的平行四边形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.
4．（2022·攀枝花模拟）如图，直线 y=−34x+3 与 x 轴交于点 C ，与 y 轴交于点 B ，经过 B 、 C 两点的抛物线 y=ax2+34x+c 与 x 轴的另一个交点为 A .
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 E 是直线 BC 上方抛物线上的一个动点，过点 E 作 y 轴的平行线交直线 BC 于点 F ，当 ΔBCE 面积最大时，求出点 F 的坐标；
（3）在（2）的结论下，连接AF，点 Q 是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点 P ，使得以 P ， Q ， A ，F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由.
（备用图）
5．（2022·攀枝花模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB＝OC＝3OA.
（1）求抛物线的解析式及对称轴.
（2）在抛物线上任取一点M，过点M作MN//x轴，且四边形ABMN为平行四边形，在线段MN上任取一点P，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，记点Q的纵坐标为yQ.当点M到抛物线对称轴的距离不超过1个单位长度时，求yQ的取值范围.
6．（2021·郑州模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点为A、D（A在D的右侧），与y轴的交点为C，且A（4，0），C（0，﹣3），对称轴是直线x＝1.
（1）求二次函数的解析式；
（2）若M是第四象限抛物线上一动点，且横坐标为m，设四边形OCMA的面积为s.请写出s与m之间的函数关系式，并求出当m为何值时，四边形OCMA的面积最大；
（3）设点B是x轴上的点，P是抛物线上的点，是否存在点P，使得以A，B、C，P四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
7．（2021·郑州模拟）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c(c＞0)的顶点为D，与y轴的交点为C．过点C的直线CA与抛物线交于另一点A(点A在对称轴左侧)，点B在AC的延长线上，连结OA，OB，DA和DB．
（1）如图1，当AC∥x轴时，
①已知点A的坐标是(﹣2，1)，求抛物线的解析式；
②若四边形AOBD是平行四边形，求证：b2＝4c．
（2）如图2，若b＝﹣2， BCAC ＝ 35 ，是否存在这样的点A，使四边形AOBD是平行四边形？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由．
8．（2021·郑州模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+4 交y轴于点A，交x轴于点 B(−6，0) 和点 C(2，0) ，点Q在第一象限的抛物线上，连接 AB 、 AQ 、 BQ ， BQ 与y轴交于点N．
（1）求抛物线表达式；
（2）当 △ABQ 的面积等于7时，设点Q的横坐标为m，求m的值；
（3）在（2）的条件下，点M在x轴上，点E在平面内，若 △BME≌△AOM ，且四边形 ANEM 是平行四边形．
①直接写出点E的坐标；
②设射线 AM 与 BN 相交于点P，交 BE 于点H，将 △BPH 绕点B旋转一周，旋转后的三角形记为 △BPIH1 ，直接写出BP1+2OH1 的最小值．
9．（2021·惠州模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 l1 ：y＝－ x2 ＋4与x轴负半轴交于点A，以点A为顶点作抛物线 l2 ：y＝－ 15x2 ＋bx＋c，交 l1 于点 B．
（1）求 b，c 的值；
（2）过 l1 上A，B 之间一点C作x轴的垂线交 l2 于点D．当线段CD取最大值时，求点C的坐标和CD的长；
（3）在（2）的条件下，是否存在 l1 上一点P与 l2 上一点Q，使得以点C，D，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出P，Q的横坐标；若不存在，说明理由．
10．（2021·惠州模拟）综合与探究在平面直角坐标系中，二次函数 y=ax2+bx+2 的图象与x轴交于 A(−3，0) ， B(1，0) 两点，与y轴交于点C．
P
（1）求抛物线与直线 AC 的函数解析式；
（2）若点P是直线 AC 上方抛物线上的一动点，过点P作 PF⊥x 轴于点F，交直线 AC 于点D，求线段 PD 的最大值．
（3）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
11．（2023·东区模拟）综合与探究
如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与直线l交于B，C两点，其中点A的坐标为(−2，0)，点C的坐标为(−1，−4)．
（1）求二次函数的表达式和点B的坐标．
（2）若P为直线l上一点，Q为抛物线上一点，当四边形OBPQ为平行四边形时，求点P的坐标．
（3）如图2，若抛物线与y轴交于点D，连接AD，BD，抛物线上是否存在点M，使∠MAB=∠ADB？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
12．（2023·东区模拟）综合与探究：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c的顶点为点D，与x轴交于点A和点B，其中B的坐标为(1，0).直线l与抛物线交于B，C两点，其中点C的坐标为(−2，−3).
（1）求抛物线和直线l的解析式；
（2）直线l与抛物线的对称轴交于点E，P为线段BC上一动点（点P不与点B，C重合），过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为t.当t为何值时，四边形PEDF是平行四边形？
（3）在（2）的条件下，设△BCF的面积为S，当t为何值时，S最大？最大值是多少？
13．（泸州.2023模拟）如图，直线y=kx+2与x轴交于点A(3，0)，与y轴交于点B，抛物线y=−43x2+bx+2经过点A，B．
（1）求k的值和抛物线的解析式．
（2）M(m，0)为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．若以O，B，N，P为顶点的四边形是平行四边形，求m的值．
14．（2023·东明模拟）如图，已知抛物线y=−x2+4x+k与x轴的一个交点为B(5，0)，与y轴交于点A，
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是抛物线上位于直线AB上方的动点，分别过点P作x轴的平行线交抛物线于点Q，作y轴的平行线交直线AB于点D，以PQ、PD为边作矩形PQED，求矩形PQED周长的最大值，并求出此时点P的坐标；
（3）若点N是抛物线对称轴上的一点，在抛物线上是否存在一点M，使得以A、N、B、M为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标．
15．（2023·东明模拟）如图，在平面直角坐标系中，△AOC绕原点O逆时针旋转90°得到△DOB，其中OA=1，OC=3．
（1）若二次函数经过A、B、C三点，求该二次函数的解析式；
（2）在（1）条件下，在二次函数的对称轴l上是否存在一点P，使得PA+PC最小？若P点存在，求出P点坐标；若P点不存在，请说明理由．
（3）在（1）条件下，若E为x轴上一个动点，F为抛物线上的一个动点，使得B、C、E、F构成平行四边形时，求E点坐标．
16．（2023·东明模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx−4(a≠0)与x轴交于点A(−1，0)，B(4，0)，与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式：
（2）直线l为该抛物线的对称轴，点D与点C关于直线l对称，点F为直线AD下方抛物线上一动点，连接FA，FD，求△FAD面积的最大值：
（3）在（2）的条件下，将抛物线y=ax2+bx−4(a≠0)沿射线AD平移42个单位，得到新的抛物线y1，点E为点F的对应点，点P为y1的对称轴上任意一点，在y1上确定一点Q，使得以点D，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标．
17．（2023·秦皇岛模拟）如图，已知抛物线的图像经过点C(0，3)，与x轴交于A，B两点，顶点坐标D(1，4)，连接BC交对称轴于点E.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是抛物线上的一个动点，位于直线BC的上方（点P与B，C不重合），过P作y轴的平行线交BC于F点；
①设点P的横坐标为m，当四边形DEFP是平行四边形时，求m的值；
②在①的条件下，抛物线上是否存在点Q，使得△QBC的面积与△PBC的面积相等，若存在，请求出点Q坐标；若不存在，请说明理由.