2023-2024学年九年级上学期数学期末考试（人教版）提升卷一

这是一份2023-2024学年九年级上学期数学期末考试（人教版）提升卷一，共20页。


1．（本题3分）下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
2．（本题3分）某宾馆有50个房间供游客居住，当每间房每天的价格为120元时，房间会全部住满，当价格每增加10元时，就会有一个房间空闲，已知宾馆每天需对当天居住的每个房间支出30元的相关费用，设当天房价定为元/间，若宾馆每天利润为5000元，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
3．（本题3分）使关于x的二次函数在y轴右侧y随x的增大而减小，且使得关于x的分式方程有整数解的整数a的和为（ ）
A．1B．C．8D．10
4．（本题3分）如图是抛物线的图象，其对称轴为，且该图象与的一个交点在点和之间，并经过点与点，则下列结论错误的是（ ）

A．B．
C．D．对于任意实数，都有
5．（本题3分）在中，，在同一平面内，将绕点A旋转到三角形的位置使得，则（ ）

A．138B．128C．118D．108
6．（本题3分）如图，是由绕点顺时针旋转后得到的图形，若点恰好落在上，且，则的度数是（ ）

A．B．C．D．
7．（本题3分）如图，是⊙的直径，若弧AC所对的圆心角的度数是，则的度数是（ ）

A．B．C．D．
8．（本题3分）如图，是的直径，，，是上的三点，，点是的中点，点是上一动点，若的半径为，则的最小值为（ ）

A．1B．C．D．﹣1
9．（本题3分）下列事件属于随机事件的是（ ）
A．常压下，温度降到以下，自来水会结冰B．随意打开一本书，书的页码是奇数
C．任意一个五边形的外角和等于D．如果，那么
10．（本题3分）如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机停留在某块方砖上，那么小球最终停留在黑色区域的概率是（ ）

A．B．C．D．

11．（本题3分）关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是 ．
12．（本题3分）若、是方程的两个根，则 ．
13．（本题3分）如图，有长为的篱笆，一边利用墙（墙长不限），则围成的花圃的面积最大为 ．

14．（本题3分）二次函数，当时，则的取值范围是 ．
15．（本题3分）如图，在中，，将绕点A按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为 ．

16．（本题3分）以原点为中心，把点逆时针旋转得到点，则点的坐标为 ．
17．（本题3分）的半径为，点到圆心的距离为，点与的位置关系是 ．
18．（本题3分）某学校在八年级开设了数学史、诗词赏析、陶艺三门课程，若小波和小睿两名同学每人随机选择其中一门课程，则小波和小睿选到同一门课程的概率是 ．

19．（本题8分）解下列方程：
(1) (2)


20．（本题8分）已知函数．
(1)求函数图象与x轴的交点坐标．（可以用含m的代数式表示）
(2)若函数的图象为抛物线，当m为何整数时，函数图象与x轴的交点的横坐标都为正整数?



21．（本题10分）超市某商品进价为20元，每天的销量y（件）与售价x（元）的函数关系如图.

(1)求y与x的函数关系式；
(2)要使每天获得元的利润，且能让消费者减少花费，求此时的售价；
(3)该超市能否保证每天获得元的利润？并说明理由.



22．（本题10分）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，的顶点和线段的端点均在小正方形的顶点上．

(1)在图中画出以点A为旋转中心，把绕着点A逆时针旋转，得到的；（点B的对应点为，点C的对应点为）．
(2)在图中画出以为边的四边形，四边形为中心对称图形且一边长为，连接，请直接写出线段的长．




23．（本题10分）如图，在中，，D为上一点，以为直径的交于点F，，垂足为G，求证：是的切线．

24．（本题10分）某校举办了知识竞赛活动，拟将一些吉祥物“宸宸、琮琮、莲莲”作为竞赛奖品．主持人在张完全相同的卡片上分别写上“”后放入一个盒子里．

(1)某获奖者随机从盒子里抽取一张卡片恰好抽到“宸宸”的概率为 ；
(2)某获奖者随机从盒子里抽取一张卡片后放回，再随机抽取一张卡片，请借助列表法或树状图求“两次抽取卡片上字母不同”的概率．




25．（本题10分）已知为的外接圆，．

(1)如图1，延长至点B，使，连接．
①求证：为直角三角形；
②若的半径为4，，求的值；
(2)如图2，若，E为上的一点，且点D，E位于两侧，作关于对称的图形，连接，试猜想，，三者之间的数量关系并给予证明．
评卷人
得分
一、单选题（共30分）
评卷人
得分
二、填空题（共24分）
评卷人
得分
三、解答题（共66分）
参考答案：
1．A
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程，逐一判断即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
【详解】解：、满足一元二次方程的定义，是一元二次方程，符合题意；
、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
、未知数的最高次数是，不是一元二次方程，不符合题意；
、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
故选：．
2．C
【分析】此题考查了由实际问题抽象列出于一元二次方程，设房价定为x元，根据利润=房价的净利润入住的房间数可得．
【详解】解：设房价定为x元，
根据题意，得，
故选：C．
3．A
【分析】本题考查二次函数的性质、分式方程的解；解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
根据二次函数在y轴右侧y随x的增大而减小和分式方程，可以求得a的所有可能性，从而可以求得所有符合条件的a的和，即可得出答案．
【详解】关于x的二次函数在y轴右侧y随x的增大而减小
解得：
由分式方程，得
则使得关于x分式方程
有正整数解的整数a的值为5，3，2，0，
又
的整数值为0，，2
故选：A
4．D
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．根据二次函数的图象可得，再根据对称轴可得，由此即可判断①正确；根据二次函数的对称性可得时的函数值与的函数值相等，从而可得当时，，结合即可判断②正确；根据二次函数的对称性可得时的函数值与的函数值相等，即为，再根据二次函数的增减性即可判断③正确；根据当时，即可判断④错误．
【详解】解：∵抛物线的开口向下，与轴的交点位于轴的正半轴，
，
∵抛物线的对称轴为直线，
，
，
，选项A正确；
∵抛物线的开口向下，其对称轴为直线，
∴当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，
∵抛物线的图象与的一个交点在点和之间，
当时，，
由二次函数的对称性可知，时的函数值与的函数值相等，
∴当时，，即，
，选项B正确；
由二次函数的对称性可知，时的函数值与的函数值相等，即为，
∵该抛物线的图象经过点与点，且，
∴由二次函数的增减性可知，，选项C正确；
当时，，则选项D错误；
故选：D．
5．B
【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，根据旋转性质，得到，继而得到，根据，得到，根据三角形内角和定理计算即可．
【详解】根据旋转性质，得到，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选B．
6．B
【分析】本题考查了旋转的性质，根据旋转后对应边的夹角等于旋转角，得出，即可求解．
【详解】解：∵是由绕点顺时针旋转后得到的图形，
∴，
∵，
．
故选：B．
7．C
【分析】本题考查了弧、弦、圆心角之间的关系、等边对等角、三角形的内角和定理，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理．根据等边对等角，得出，即，再根据三角形的内角和定理，即可得出的度数．
【详解】解：∵所对的圆心角的度数是；
∴；
∵；
∴；
故选：C．
8．C
【分析】本题考查了轴对称－最短路线问题、圆周角定理以及等腰直角三角形的性质作点关于的对称点，连接、、、，根据轴对称确定最短路线问题可得＋的最小值为，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的倍求出，然后可得，再求出，根据对称性及图形得出，从而判断出 是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质可得的长度．
【详解】解：作点关于的对称点，连接、、、，则＋的最小值，
，
，
，
点为的中点，
，
由对称性可得，，
，
是等腰直角三角形，
，即＋的最小值为．
故选C．

9．D
【分析】本题考查了随机事件以及必然事件、不可能事件的定义，根据必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，对每一项进行分析即可，正确把握相关定义是解题的关键．
【详解】解：、通常温度降到以下，自来水会结冰，是必然事件，故不符合题意；
、随意翻到一本书，书的页码是奇数，是随机事件，故符合题意；
、任意一个五边形的外角和等于，是必然事件，故不符合题意；
、如果，那么，是必然事件，故不符合题意；
故选：．
10．C
【分析】本题主要考查了几何概率，用阴影部分的面积除以整个方砖的面积即可得到答案。
【详解】解：∵由图可知，阴影区域的面积等于3块地板的面积，总面积等于9块地板的面积，
∴小球最终停留在阴影区域的概率是．
故选：C．
11．/
【分析】本题主要考查一元二次方程根的情况，根据，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程无实数根，由此即可求解，掌握一元二次方程根于系数的关系，解不等式的方法是解题的关键．
【详解】解：关于的一元二次方程有实数根，
∴，
∴，
解得，，
故答案为：．
12．4
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据求解即可得到答案；
【详解】解：∵、是方程的两个根，
∴，
故答案为：4．
13．48
【分析】本题考查了一元二次方程的实际问题及二次函数的综合运用，设篱笆的宽为x米，长为米，列出面积S与x的函数关系式，利用二次函数的性质求出最值即可．
【详解】解：设篱笆的宽为x米，长为米，
，
∵墙长不限，
当时，，S值最大，此时．
故答案为：48．
14．/
【分析】本题考查了二次函数与不等式，先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性求出最小值和最大值即可．
【详解】解：∵，
∴二次函数的对称轴为直线，
∴时，取得最大值为5，
时取得最小值为，
∴y的取值范围是．
故答案为：．
15．/24度
【分析】由，得，根据外角性质可证，由旋转的性质可知，则，根据三角形内角和为得即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵将绕点A按逆时针方向旋转得到，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理等知识，证明出是解题的关键．
16．
【分析】本题主要考查点的旋转，全等三角形的判定和性质，根据题意作图，图形结合分析即可求解，掌握点的旋转的性质，图形结合分析是解题的关键．
【详解】解：根据题意，作图如下，过点作轴于点，过点作轴于点，

∵，
∴，，
∵点逆时针旋转得点，
∴，，
∵轴，轴，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：．
17．点P在圆外
【分析】此题主要考查了对点与圆的位置关系的判断，根据点与圆心的距离与半径的大小关系；利用时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内判断出即可，解题的关键要记住若半径为，点到圆心的距离为，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内．
【详解】解：∵的半径为，点到圆心的距离为，
∴，
∴点与的位置关系是：点在圆外，
故答案为：点P在圆外．
18．
【分析】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求出事件或的概率．先画树状图数学史、诗词赏析、陶艺三门校本课程分别用、、表示展示所有种可能的结果数，再找出小波和小睿选到同一课程的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：设数学史、诗词赏析、陶艺三门校本课程分别用、、表示，
画树状图为：

由树状图可知，共有种可能的结果数，其中小波和小睿选到同一课程的结果数为，
∴小波和小睿选到同一课程的概率．
故答案为：．
19．(1)，
(2)，．

【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力．
（1）利用因式分解法求解可得；
（2）利用公式法求解可得．
【详解】（1）解：，
则，
则或，
解得，；
（2）解：∵，，，
，
，
，．
20．(1)函数图象与x轴的交点坐标是，
(2)或

【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，一元二次方程的根与系数的关系：
（1）注意分类讨论，当时，令，得含m的代数式表示；，，结合根与系数的关系，得得含m的代数式表示，即可作答．
（2）结合一元二次方程的根与系数的关系，且两个根都是正整数，即可化简计算，作答．
【详解】（1）解：①当，即时，
函数与x轴的交点为．
②当，时，
，
则，
∴，，
∴函数图象与x轴的交点坐标是，．
（2）解：当函数图象为抛物线，与x轴的交点的横坐标都为正整数时，
方程的两个根都是正整数，
∴，，
则是正整数，
∴或，
∴或．
21．(1)
(2)此时的售价为元．
(3)该超市不能保证每天获得元的利润，理由见解析

【分析】本题主要考查了一次函数的应用、一元二次方程的应用、一元二次方程根的判别式等知识点，正确求出y与x的函数关系式是解题的关键．
（1）先确定图中给定点的坐标，再利用待定系数法求解即可；
（2）根据等量关系“总利润=每件的销售利润×日销售量”列出关于x的一元二次方程求解，再结合要让消费者减少花费即可解答；
（3）先利用“总利润=每件的销售利润×日销售量”列出关于x的一元二次方程，再利用根的判别式判定方程根的情况，根据根的情况即可解答．
【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为，
将代入得：
，解得：，
∴y与x的函数关系式为．
（2）解：根据题意得：，
整理得：，
解得：，
又∵要让消费者减少花费，
∴．
答：此时的售价为元．
（3）解：该超市不能保证每天获得元的利润，理由如下：
假设该超市能保证每天获得元的利润，
根据题意得：，
整理得：，
∵，
∴该方程没有实数根，
∴假设不成立，即该超市不能保证每天获得元的利润．
22．(1)见解析
(2)见解析，或

【分析】（1）根据旋转方式找到B、C对应点，的位置，然后顺次连接A、，即可；
（2）根据题意画出平行四边形，且即可，再利用勾股定理求出对应的的长即可得到答案．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；

（2）解：如下图所示，四边形即为所求；
根据网格的特点，可得四边形是平行四边形，且；
∴或．

【点睛】本题主要考查了画旋转图形，画中心对称图形，平行四边形的性质与判定，勾股定理等等，熟知画旋转图形和画中心对称图形的方法是解题的关键．
23．见解析
【分析】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，掌握切线的判定方法是解题的关键．由等腰三角形的性质可证，可证，可得结论．
【详解】如图，连接，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵是半径，
∴是的切线．
24．(1)；
(2)．

【分析】（）直接由概率公式求解即可；
（）画树状图，共有种可能出现的结果，符合题意的结果有种，再由概率公式求解即可；
本题考查了概率，掌握列表法或树状图求概率是解题的关键．
【详解】（1）解：从中随机抽取张，抽得卡片上的图案恰好为“宸宸”的概率是，
故答案为：；
（2）解：画树状图如下：

共有种可能出现的结果，其中“两次抽取卡片上字母不同”的结果有种，
∴．
25．(1)①见解析；②
(2)，，三者之间的数量关系为：．理由见解析

【分析】（1）①利用等边对等角得，，再结合三角形的内角和可得，进而可得结论；
②连接，，利用垂径定理得到且，设，则，利用勾股定理列出方程求得的值，再利用三角形的中位线定理得到；
（2）猜想，，三者之间的数量关系为：．延长交于点，连接，，由已知可得；利用同弧所对的圆周角相等，得到，，由于与关于对称，于是，则得为等腰直角三角形，为直角三角形；利用勾股定理可得：，；利用得到，等量代换可得结论．
【详解】（1）①证明：∵，，
∴．
∴，，
∵，
∴，即：，
∴为直角三角形；
②解：连接，，如图，

∵，，
∴，
∴且，则为的中位线．
∵⊙O的半径为4，
∴．
设，则，
∵，，
∴．
解得：．
∴．
∵为的中位线，
∴．
（2），，三者之间的数量关系为：．理由：
延长交于点F，连接，，如图，

∵，，
∴．
∴，．
∴．
∴．
∵与关于对称，
∴，
∴，
∴．
∴．
∴．
即．
∵，
∴．
在和中，
，
∴．
∴．
∴．
【点睛】本题是一道圆的综合题，主要考查了圆的有关性质，垂径定理，勾股定理，圆周角定理及其推论，等腰直角三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，直角三角形的判定与性质，轴对称的性质，方程的解法．根据图形的特点恰当的添加辅助线是解题的关键．