2022-2023学年河南省商丘市永城市八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年河南省商丘市永城市八年级（上）期末数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.钢架雪车是2022年北京冬奥会的比赛项目之一．下面这些钢架雪车运动标志是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.如图，小朋用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，则他支起的这个点应是三角形的( )
A. 三条中线的交点
B. 三条高的交点
C. 三条角平分线的交点
D. 任意一点
3.已知18a2bm÷6anb2=3b2，则m，n的值分别为( )
A. m=4，n=2B. m=4，n=1C. m=1，n=2D. m=2，n=2
4.将一个n边形变成(n+2)边形，外角和将( )
A. 增加360°B. 减少360°C. 增加180°D. 不变
5.将一副直角三角尺如图放置，已知AE/​/BC，则∠AFD的度数是( )
A. 45°
B. 50°
C. 60°
D. 75°
6.下列运算正确的是( )
A. a2⋅a3=a6B. (12a3b)2=a6C. −30=1D. (−1)−2=1
7.如图①，从一个大正方形的一角剪去一个小正方形，然后将剩余部分沿虚线剪开，拼成一个长方形如图②，根据图形的面积能够说明的公式是( )
A. a2−b2=(a+b)(a−b)B. (a+b)2=a2+2ab+b2
C. (a−b)2=a2−2ab+b2D. (a+b)(a−b)=(a−b)2
8.如图所示的四个三角形中，全等的三角形是( )
A. ①③B. ①②C. ②④D. ①③④
9.铍(Be)是一种轻金属，它的耐腐蚀性非常好，而且强度很高，用铍制造出来的发条弹簧，可以承受200亿次以上的冲击.已知铍的原子半径为0.089nm(1nm=0.000000001m)，则0.089nm用科学记数法表示为( )
A. 0.89×10−10mB. 8.9×10−10mC. 8.9×10−11mD. 0.089×10−9m
10.青少年的身体素质越来越受到人们的重视，踢毽球是一种很好的健身方式.某体育用品商店出售健球，有批发和零售两种售卖方式.小明打算为班级购买毽球，如果给每个人买一个毽球，就只能按零售价付款，共需80元；如果小明多购买5个毽球，就可以享受批发价，总价是72元.已知按零售价购买40个毽球，与按批发价购买50个毽球付款相同，则小明班级共有多少名学生？设班级共有x名学生，根据题意列方程得( )
A. 50×80x=40×72x+5B. 40×80x=50×72x+5
C. 50×80x=40×72x−5D. 40×80x=50×72x−5
第II卷（非选择题）
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.分式32a2b与a−bab2c的最简公分母是 ．
12.已知a+b=5，ab=3，则a2+b2的值是______．
13.用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得到△COD≌△C′O′D′的依据是______ ．
14.如图，五边形ABCDE是正五边形，且l1/​/l2.若∠1=57°，则∠2= ______ ．
15.如图，在△ABC中，AB=4，AC=7，BC=8，直线DE垂直平分BC，垂足为点E，交AC于点D，则△ABD的周长为______ ．
16.如图，AB/​/CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD=8，则点P到BC的距离是______．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
计算：
(1)(y−2)(y+2)−(y−1)(y+5)；
(2)5×34+4×34+9×32．
18.(本小题8分)
如图所示，在△ABC中，AE是角平分线，AD是高，∠BAC=80°，∠EAD=10°，求∠B的度数．
19.(本小题8分)
如图，BD/​/AC，BD=BC，点E在BC上，且BE=AC.求证：∠D=∠ABC．
20.(本小题8分)
先化简：1−a−1a+2÷a2−1a2+4a+4，然后选一个a的值代入计算原式的值．
21.(本小题8分)
如图，AC、DB相交于点O，AB=DC，∠ABO=∠DCO．
求证：
(1)AO=DO；
(2)∠OBC=∠OCB．
22.(本小题9分)
《郑州市非机动车管理办法》2021年5月1日起正式实施，其中规定：电动自行车驾驶人和乘坐人员应该戴安全头盔.某商店用1600元购进一批电动车头盔，销售发现供不应求，于是，又用5400元再购进一批头盔，第二批头盔的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵10元．
(1)第一批头盔进货单价多少元？
(2)若两次购进头盔按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于1000元，那么销售单价至少为多少元？
23.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，已知点A(−3,2)，B(−4,−3)，C(−1,−1)．
(1)在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1．
(2)在y轴上画出点P，使PB+PC的值最小(保留作图痕迹)．
(3)判断△ABC的形状，并说明理由．
24.(本小题11分)
【问题情境】在课堂上，学习兴趣小组对一道数学问题进行了深入探究，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点D是AB的中点，连接CD．
【探索发现】(1)如图①，BC与BD的数量关系是______ ；
【猜想验证】(2)如图②，若P是线段CB上一动点(点P不与点B，C重合)，连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连接PF，BF，请猜想BF，BP，BD三者之间的数量关系，并证明你的结论；
【拓展延伸】(3)若P是线段CB的延长线上一动点，按照(2)中的作法，请在图③中补全图形，并探究BF，BP，BD三者之间的数量关系(直接写出结论即可)．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】
解：选项A、B、C均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，
所以不是轴对称图形，
选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形．
故选：D．
2.【答案】A
【解析】解：根据题意，他支起的这个点是这张质地均匀的三角形卡片三条中线的交点，即重心．
故选：A．
根据三角形的重心解决这个题．
本题考查了三角形的重心，掌握三角形重心的应用是解题关键．
3.【答案】A
【解析】解：∵18a2bm÷6anb2=3a2−nbm−2=3b2，
∴2−n=0，m−2=2，
∴m=4，n=2，
故选：A．
先根据单项式与单项式的除法法则化简，再根据相同字母的指数相等列式求解即可．
本题考查了单项式与单项式的除法运算，解答本题的关键在于掌握单项式与单项式的除法运算法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
4.【答案】D
【解析】解：∵多边形的外角和是360°，
∴将一个n边形变成(n+2)边形，外角和将不变，
故选：D．
根据多边形的外角和是360°求解判断即可．
此题考查了多边形的外角和，熟记多边形的外角和是360°是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：∵∠C=30°，AE/​/BC，
∴∠EAC=∠C=30°，
∵∠DAE=45°
∴∠FAD=45°−30°=15°，
在△ADF中根据三角形内角和定理得到：∠AFD=180°−90°−15°=75°．
故选：D．
本题主要根据直角三角尺各角的度数、平行线的性质，求出∠FAD，再根据三角形内角和定理即可求出∠AFD．
本题主要考查两直线平行，内错角相等，以及三角形的内角和定理．
6.【答案】D
【解析】解：A.a2⋅a3=a5，本选项错误，不符合题意，
B.(12a3b)2=14a6b2，本选项错误，不符合题意；
C.−30=−1，本选项错误，不符合题意；
D.(−1)−2=1，正确，本选项符合题意；
故选：D．
根据同底数幂的乘法、积的乘方运算法则，零指数幂、负整数指数幂的意义逐项分析即可．
本题考查了整式的有关运算，熟练掌握同底数幂的乘法、积的乘方运算法则，零指数幂、负整数指数幂的意义是解答本题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：将边长为a的正方形剪去一个边长为b的正方形，剩下的图形的面积是a2−b2，右图的面积为(a−b)(a+b)，故得到的公式是a2−b2=(a+b)(a−b)．
故选：A．
分别表示出两种情况下的面积，而面积是相等的，故可得到结果．
本题考查了平方差公式几何意义的理解，将整式运算与几何图形结合，注意各个量的变化．
8.【答案】B
【解析】解：根据SAS可知①和②中的两个三角形全等．
故选：B．
根据全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL依次对各选项分析判断即可．
本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法(即SSS、SAS、ASA、AAS和HL)是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：0.089×0.000000001m=8.9×10−11m.
故选：C．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
10.【答案】B
【解析】解：设班级共有x名学生，依据题意列方程得，40×80x=72x+5×50．
故选：B．
根据“按零售价购买40个毽球与按批发价购买50个毽球付款相同”建立等量关系，分别找到零售价与批发价即可列出方程．
本题主要考查由实际问题抽象出分式方程，读懂题意，找到等量关系是解题的关键．
11.【答案】2a2b2c
【解析】【分析】
本题主要考查了最简公分母的定义：取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．按照公分母的定义进行解答．
【解答】
解：由最简公分母定义可得，分式32a2b与a−bab2c的最简公分母是2a2b2c.
故答案为2a2b2c.
12.【答案】19
【解析】解：∵a+b=5，
∴a2+2ab+b2=25，
将ab=3，代入得：a2+b2+6=25，
∴a2+b2=19．
先将a+b=5的两边同时平方，然后将ab=3代入求解即可．
本题主要考查的是完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
13.【答案】SSS
【解析】解：由作法得OD=OC=OD′=OC′，CD=C′D′，
所以△COD≌△C′O′D′(SSS)．
故答案为SSS．
利用基本作图得到OD=OC=OD′=OC′，CD=C′D′，然后根据全等三角形的判定方法求解．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线).也考查了三角形全等的判定．
14.【答案】129°
【解析】解：如图，过点B作BF/​/l2交DE于点F，
∵l1/​/l2，
∴BF/​/l1，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠ABC=(5−2)×180°5=108°，
∵BF/​/l2，∠1=57°，∠2+∠CBF=180°，
∴∠ABF=∠1=57°，
∴∠CBF=∠ABC−∠ABF=108°−57°=51°，
∴∠2=180°−51°=129°，
故答案为：129°．
过点B作BF/​/l2交DE于点F，根据多边形的内角和及平行线的性质求解即可．
此题考查了多边形的内角及平行线的性质，熟记多边形内角和公式及平行线的性质是解题的关键．
15.【答案】11
【解析】解：∵DE垂直平分BC，
∴DB=DC．
∴△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+AD+DC
=AB+AD+BD=AB+AD+DC=AB+AC=4+7=11．
故答案为：11．
根据据垂直平分线的性质得DB=DC，进而可把△ABD周长转化为AB+AC求解．
本题考查线段垂直平分线的性质，中垂线上一点到线段两端点距离相等．将所求周长转化为AB+AC的和即可．
16.【答案】4
【解析】解：如图所示，过点P作PE⊥BC于E，
∵AB/​/CD，PA⊥AB，
∴PD⊥CD，
∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，
∴PA=PE，PD=PE，
∴PE=PA=PD，
∵PA+PD=AD=8，
∴PA=PD=4，
∴PE=4，即点P到BC的距离是4．
故答案为：4．
过点P作PE⊥BC于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，可得PA=PE，PD=PE，那么PE=PA=PD，依据AD=8，进而求出PE=4．
本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并作辅助线是解题的关键．
17.【答案】解：(1)(y−2)(y+2)−(y−1)(y+5)
=y2−4−(y2+5y−y−5)
=1−4y；
(2)5×34+4×34+9×32
=5×34+4×34+34
=(5+4+1)×34
=10×81
=810．
【解析】(1)先根据平方差公式和多项式与多项式的乘法法则计算，再去括号合并同类项即可．
(2)逆用乘法分配律计算即可．
本题考查了平方差公式，多项式与多项式的乘法法则，整式的加减，以及乘法的分配律，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
18.【答案】解：∵AD是高，
∴∠ADC=90°，
∵AE是角平分线，∠BAC=80°，
∴∠CAE=12∠BAC=40°，
∵∠EAD=10°，
∴∠CAD=30°，
∴∠C=60°，
∴∠B=180°−∠BAC−∠C=40°．
【解析】根据垂直的定义得到∠ADC=90°，根据角平分线的定义得到∠CAE=12∠BAC=40°，根据三角形的内角和即可得到结论．
本题考查了三角形内角和定理和垂直定义、角平分线定义等知识点，能根据三角形内角和定理求出各个角的度数是解此题的关键．
19.【答案】证明：∵BD/​/AC，
∴∠ACB=∠EBD，
在△ABC和△EDB中，
CB=BD∠ACB=∠EBDAC=EB，
∴△ABC≌△EDB(SAS)，
∴∠ABC=∠D．
【解析】先根据平行线的性质得到∠ACB=∠EBD，然后根据“SAS”可判断△ABC≌△EDB，从而根据全等三角形的性质得到结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
20.【答案】解：原式=1−a−1a+2×a2+4a+4a2−1
=1−a−1a+2×(a+2)2(a−1)(a+1)
=1−a+2a+1
=a+1a+1−a+2a+1
=a+1−a−2a+1
=−1a+1，
a≠−2，1，−1，
当a=2时，
原式=−12+1=−13．
【解析】先根据分式的运算法则把所给代数式化简，再选一个使所给代数式有意义的数代入计算即可．
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解答本题的关键．
21.【答案】证明：(1)在△ABO和△DCO中，
∠AOB=∠DOC∠ABO=∠DCOAB=DC，
∴△ABO≌△DCO(AAS)，
∴AO=DO；
(2)由(1)知，△ABO≌△DCO，
∴OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB．
【解析】(1)由已知条件，结合对顶角相等可以利用AAS判定△ABO≌△DCO；
(2)根据全等三角形的性质得到OB=OC，再由等边对等角得结论．
此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握常见的判定三角形全等的方法是解答本题的关键．
22.【答案】解：(1)设第一批头盔进货单价为x元，则第二批头盔进货单价为(x+10)元，
根据题意，得5400 x+10=3×1600x，
解得：x=80．
经检验，x=80是原方程的解，且符合题意，
答：第一批头盔进货单价为80元；
(2)第一批头盔进货数量为1600÷80=20(个)，第二批头盔进货数量为60个．
设销售单价为y元，
根据题意，得(20+60)y−(1600+5400)≥1000，
∴y≥100．
答：销售单价至少为100元．
【解析】(1)设第一批头盔进货单价为x元，由题意列出方程，即可求解；
(2)设销售单价为y元，由“获利不少于1000元”列出不等式，即可求解．
本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，找到正确的等量关系或不等关系是解题的关键．
23.【答案】解：(1)如图1，△A1B1C1即为所求；
；
(2)如图2，点P即为所求；
；
(3)△ABC为等腰直角三角形；理由如下：
∵AC2=BC2=32+22=13，AB2=52+12=26，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是等腰直角三角形．
【解析】(1)根据轴对称的性质即可在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
(2)连接BC1交y轴于点P，即可使PB+PC最小；
(3)根据勾股定理及其逆定理判断即可．
本题考查了作图−轴对称变换，勾股定理及其逆定理，以及最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
24.【答案】BC=BD
【解析】解：(1)∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠CBA=60°，BC=12AB，
∵点D是AB的中点，
∴BC=BD，
故答案为：BC=BD；
(2)BF+BP=BD，理由如下：
∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠CBA=60°，BC=12AB，
∵点D是AB的中点，
∴BC=BD，
∴△DBC是等边三角形，
∴∠CDB=60°，DC=DB，
∵线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，
∴∠PDF=60°，DP=DF，
∴∠CDB−∠PDB=∠PDF−∠PDB，
∴∠CDP=∠BDF，
在△DCP和△DBF中，
DC=DB∠CDP=∠BDFDP=DF，
∴△DCP≌△DBF(SAS)，
∴CP=BF，
∵CP+BP=BC，
∴BF+BP=BC，
∵BC=BD，
∴BF+BP=BD；
(3)如图③，BF=BD+BP，理由如下：
∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠CBA=60°，BC=12AB，
∵点D是AB的中点，
∴BC=BD，
∴△DBC是等边三角形，
∴∠CDB=60°，DC=DB，
∵线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，
∴∠PDF=60°，DP=DF，
∴∠CDB+∠PDB=∠PDF+∠PDB，
∴∠CDP=∠BDF，
在△DCP和△DBF中，
DC=DB∠CDP=∠BDFDP=DF，
∴△DCP≌△DBF(SAS)，
∴CP=BF，
∵CP=BC+BP，
∴BF=BC+BP，
∵BC=BD，
∴BF=BD+BP．
(1)利用含30°的直角三角形的性质得出BC=12AB，即可得出结论；
(2)同(1)的方法得出BC=BD进而得出△BCD是等边三角形，进而判断出△DCP≌△DBF得出CP=BF即可得出结论；
(3)同(2)的方法得出结论．
此题是三角形综合题，主要考查了含30°的直角三角形的性质，等边三角形的判定，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，解本题的关键是判断出△DCP≌△DBF，是一道中等难度的中考常考题．