2023-2024学年吉林省四平市伊通县八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年吉林省四平市伊通县八年级（上）期末数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列计算中，正确的是( )
A. (a3)4=a12B. a3⋅a5=a15C. a2+a2=a4D. a6÷a2=a3
2.一个三角形的两边长分别为3cm和7cm，则此三角形的第三边的长可能是( )
A. 3cmB. 4cmC. 7cmD. 11cm
3.如图甲骨文中，不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
4.六边形的内角和为( )
A. 360°B. 540°C. 720°D. 900°
5.小军家距学校5千米，原来他骑自行车上学，学校为保障学生安全，新购进校车接送学生，若校车速度是他骑车速度的2倍，现在小军乘校车上学可以从家晚10分钟出发，结果与原来到校时间相同．设小军骑车的速度为x千米/小时，则所列方程正确的为( )
A. 5x+16=52xB. 5x−16=52xC. 5x+10=52xD. 5x−10=52x
6.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AC≠AB，AD是斜边BC上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，则图中与∠C(∠C除外)相等的角的个数是
( )
A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个
第II卷（非选择题）
二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。
7.分解因式：a2b−9b=______．
8.12a2b与23ab3c的最简公分母是______．
9.当x为______时，分式3x−62x+1的值为0．
10.扫描隧道显微镜是一种利用量子理论中的隧道效应探测物质表面结构的仪器.扫描隧道显微镜发明后，世界上便诞生了一门新学科，这就是“纳米技术”.已知52个纳米长度为0.000000052m，那么用科学记数法表示0.000000052= ______ ．
11.等腰三角形中有一边长为5一边长为6，则这个等腰三角形的周长为______ ．
12.如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A=36°，∠C′=24°，则∠B=______．
13.如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB，若BE=2，则AE的长为______．
14.如图，直角三角形的两条直角边AC，BC分别经过正九边形的两个顶点，则图中∠1+∠2的结果是______．
三、计算题：本大题共1小题，共5分。
15.解分式方程：2x−1=4x2−1．
四、解答题：本题共9小题，共65分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题5分)
化简：(2x+3y)2−(2x+y)(2x−y)
17.(本小题5分)
计算：5x+3yx2−y2−2xx2−y2．
18.(本小题5分)
如图，AD//BC，BD平分∠ABC.求证：AB=AD．
19.(本小题7分)
如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，AB//DE，AC/​/DF且BE=CF.求证：AB=DE．
20.(本小题7分)
先化简，再求值：x−3x2−1⋅x2+2x+1x−3−(1x−1−1)，其中x=5．
21.(本小题8分)
如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE/​/AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
(1)求∠F的度数；
(2)若CD=2，求DF的长．
22.(本小题8分)
小明3小时清点完一批图书的一半，小强加入清点另一半图书的工作，两人合作1.2小时清点完另一半图书，如果小强单独清点这批图书需要几小时？
23.(本小题10分)
人教版八年级上册数学教材第112页的第7题：已知a+b=5，ab=3，求a2+b2的值.老师讲解了这道题的两种方法：
请你参照上面两种解法中的一种，解答以下问题．
(1)已知a−b=1，a2+b2=9，求ab的值；
(2)已知a+1a=4，求(a−1a)2的值．
24.(本小题10分)
在△ABC中，AB=AC．
(1)如图①，如果∠BAD=30°，AD是△ABC中BC边上的高，并且AD=AE，则∠EDC= ______ °；
(2)如图②，如果∠BAD=40°，AD是△ABC中BC边上的高，并且AD=AE，则∠EDC= ______ °；
(3)由(1)，(2)猜想：∠BAD与∠EDC之间有什么数量关系？请用式子表示：______ ；
(4)如图③，如果AD不是△ABC中BC边上的高，但仍有AD=AE，请判断∠BAD与∠EDC之间是否仍然存在(3)中的数量关系？请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．根据合并同类项法则，同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】
解：A.(a3)4=a3×4=a12，故A正确；
B.a3⋅a5=a3+5=a8，故B错误；
C.a2+a2=2a2，故C错误；
D.a6÷a2=a6−2=a4，故D错误；
故选A．
2.【答案】C
【解析】解：设第三边长为xcm，根据三角形的三边关系可得：
7−3解得：4故选：C．
首先设第三边长为xcm，根据三角形的三边关系可得7−3此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
3.【答案】D
【解析】解：A、是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
根据轴对称图形的概念分别判断得出答案．
本题考查了轴对称图形，轴对称图形的判断方法：把某个图象沿某条直线折叠，如果图形的两部分能够重合，那么这个是轴对称图形．
4.【答案】C
【解析】解：根据多边形的内角和可得：
(6−2)×180°=720°．
故选：C．
利用多边形的内角和=(n−2)⋅180°即可解决问题．
本题考查了对于多边形内角和定理的识记．n边形的内角和为(n−2)⋅180°．
5.【答案】B
【解析】解：设小军骑车的速度为x千米/小时，则小车速度是2x千米/小时，由题意得，
5x−16=52x．
故选：B．
设小军骑车的速度为x千米/小时，则小车速度是2x千米/小时，根据“小军乘小车上学可以从家晚10分钟出发”列出方程解决问题．
此题考查列分式方程解应用题，找出题中蕴含的等量关系是解决问题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：如图，∵AD是斜边BC上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴∠C+∠B=90°，∠BDF+∠B=90°，∠BAD+∠B=90°，
∴∠C=∠BDF=∠BAD，
∵∠DAC+∠C=90°，∠DAC+∠ADE=90°，
∴∠C=∠ADE，
∴图中与∠C(除之C外)相等的角的个数是3，
故选：A．
由“直角三角形的两锐角互余”，结合题目条件，得∠C=∠BDF=∠BAD=∠ADE．
本题考查了直角三角形的性质，直角三角形的两锐角互余．
7.【答案】b(a+3)(a−3)
【解析】解：a2b−9b
=b(a2−9)
=b(a+3)(a−3)．
故答案为：b(a+3)(a−3)．
首先提取公因式b，进而利用平方差公式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练掌握公式法分解因式是解题关键．
8.【答案】6a2b3c
【解析】解：根据最简公分母的定义，
这两个分式的的最简公分母为6a2b3c.
故答案为：6a2b3c.
根据最简公分母的定义解决此题．
本题主要考查最简公分母的定义，熟练掌握最简公分母的定义是解决本题的关键．
9.【答案】2
【解析】【分析】
本题考查的是分式的值为零的条件，即分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．根据分式的值为0的条件进行解答即可．
【解答】
解：∵3x−6=0，
∴x=2，
当x=2时，2x+1≠0．
∴当x=2时，分式的值是0．
故答案为2．
10.【答案】5.2×10−8
【解析】解：0.000000052=5.2×10−8，
故答案为：5.2×10−8．
将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．
11.【答案】16或17
【解析】解：①若6为底边长，5为腰长，
∵5+5=10>6，
∴5，5，6能组成三角形，
∴它的周长是：5+5+6=16；
②若5为底边长，6为腰长，
∵5+6=15>6，
∴5，6，6能组成三角形，
∴它的周长是：5+6+6=17．
∴它的周长是：16或17．
故答案为：16或17．
由等腰三角形的一边长为6，另一边长为5，可以分别从①若6为底边长，5为腰长，②若5为底边长，6为腰长，去分析，然后根据三角形的三边关系判定是否能组成三角形，继而可求得答案．
此题考查了等腰三角形的性质与三角形的三边关系．此题比较简单，解题的关键是注意分类讨论思想的应用．
12.【答案】120°
【解析】解：∵在△ABC中，∠A=36°，∠C=24°，
∴∠B=180°−∠A−∠C=180°−24°−36°=120°，
∵△ABC≌△A′B′C′，
∴∠B=∠B′=120°，
故答案为：120°．
根据三角形内角和定理求出∠B，根据全等三角形的性质得出∠B=∠B′即可．
本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质的应用，正确记忆相关知识点是解题关键．
13.【答案】1
【解析】解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴EC=EB=2，
∴∠ECB=∠B=30°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ECB=∠ACE=30°，
∴∠A=90°，又∠ACE=30°，
∴AE=12EC=1，
故答案为：1．
根据线段的垂直平分线的性质得到EC=EB=2，根据直角三角形的性质计算即可．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
14.【答案】190°
【解析】解：如图，
(9−2)×180°÷9×2
=7×180°÷9×2
=280°，
∠3+∠4=180°−90°=90°，
∠1+∠2=280°−90°=190°．
故答案为：190°．
根据正九边形的特征，由多边形内角和定理：(n−2)⋅180 (n≥3)且n为整数)先求出正九边形的内角和，进一步得到2个内角的和，根据三角形内角和为180°，可求∠3+∠4的度数，根据角的和差关系即可得到图中∠1+∠2的结果．
考查了多边形内角与外角，关键是熟练掌握多边形内角和定理：(n−2)⋅180 (n≥3)且n为整数)．
15.【答案】解：去分母得：2x+2=4，
移项合并得：2x=2，
解得：x=1，
经检验x=1是增根，分式方程无解．
【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
16.【答案】解：原式=4x2+12xy+9y2−(4x2−y2)
=4x2+12xy+9y2−4x2+y2
=12xy+10y2．
【解析】首先根据完全平方公式与平方差公式计算，然后合并同类项即可求得答案．
此题考查了完全平方公式与平方差公式的应用．此题比较简单，注意掌握完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2；平方差公式：(a+b)(a−b)=a2−b2的应用是解题的关键．
17.【答案】解：5x+3yx2−y2−2xx2−y2，
=5x+3y−2x(x+y)(x−y)
=3(x+y)(x+y)(x−y)
=3x−y．
【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x、y的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，掌握分式混合运算的法则是解题的关键．
18.【答案】证明：∵AD/​/BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD．
【解析】根据AD//BC，可求证∠ADB=∠DBC，利用BD平分∠ABC和等量代换可求证∠ABD=∠ADB，然后即可得出结论．
此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质和平行线性质的理解和掌握，此题很简单，属于基础题．
19.【答案】证明：∵AB//DE，AC/​/DF，
∴∠B=∠DEF，∠ACB=∠F．
∵BE=CF，
∴BC=EF．
在△ABC与△DEF中，
∠B=∠DEFBC=EF∠ACB=∠F，
∴△ABC≌△DEF(ASA)，
∴AB=DE．
【解析】证明它们所在的三角形全等即可．根据平行线的性质可得∠B=∠DEF，∠ACB=∠F；由BE=CF可得BC=EF.运用ASA证明△ABC与△DEF全等．
此题考查全等三角形的判定与性质，属基础题．证明线段相等，通常证明它们所在的三角形全等．
20.【答案】解：原式=(x−3)(x+1)2(x−1)(x+1)(x−3)−1−(x−1)x−1
=x+1x−1−2−xx−1
=2x−1x−1．
当x=5时，原式=10−15−1=94
【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
21.【答案】解：(1)∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠ACB=60°．
∵DE//AB，
∴∠B=EDC=60°，∠A=∠CED=60°，
∴∠EDC=∠ECD=∠DEC=60°，
∵EF⊥ED，
∴∠DEF=90°，
∴∠F=30°；
(2)∵∠F+∠FEC=∠ECD=60°，
∴∠F=∠FEC=30°，
∴CE=CF．
∵∠EDC=∠ECD=∠DEC=60°，
∴CE=DC=2．
∴CF=2．
∴DF=DC+CF=2+2=4．
【解析】(1)证明△DCE中的三个角均为60°，然后再求得∠F=30°，则可得出答案；
(2)先求得CF=DE，然后由EC=DC进行求解即可．
本题主要考查的是等边三角形的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
22.【答案】解：设小强单独清点这批图书需要x小时，
根据题意，得1.2(123+1x)=12，
解得：x=4，
经检验x=4是原方程的根．
答：小强单独清点这批图书需要4小时．
【解析】先设小强单独清点这批图书需要的时间是x小时，根据“小明3小时清点完一批图书的一半”和“两人合作1.2小时清点完另一半图书”列出方程，求出x的值，再进行检验，即可得出答案．
本题考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．此题涉及的公式：工作总量=工作效率×工作时间．
23.【答案】解：(1)把a−b=1两边平方，得(a−b)2=1，
化简，得a2+b2−2ab=1，
将a2+b2=9代入得9−2ab=1，解得ab=4；
(2)把a+1a=4两边平方，得(a+1a)2=16，
化简，得a2+1a2+2=16，即a2+1a2=14，
则(a−1a)2=a2+1a2−2=14−2=12．
【解析】(1)把a−b=1两边平方，利用完全平方公式化简后将a2+b2=9代入计算即可求出ab的值；
(2)把已知等式两边平方，利用完全平方公式化简，所求式子化简后代入计算即可求出值．
此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则及完全平方公式是解本题的关键．
24.【答案】15 20 ∠BAD=2∠EDC
【解析】解：(1)∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠DAC=30°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=180°−∠DAC2=75°，
∵∠ADC=90°，
∴∠EDC=∠ADC−∠ADE=15°，
故答案为：15；
(2)∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠DAC=40°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=180°−∠DAC2=70°，
∵∠ADC=90°，
∴∠EDC=∠ADC−∠ADE=20°，
故答案为：20；
(3)由(1)和(2)可得：∠BAD=2∠EDC，
故答案为：∠BAD=2∠EDC；
(4)∠BAD与∠EDC之间仍然存在(3)中的数量关系：∠BAD=2∠EDC，
理由：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵AD=AE，
∴∠AED=∠ADE，
∵∠AED=∠EDC+∠C，∠ADE=∠ADC−∠EDC，
∴∠EDC+∠C=∠ADC−∠EDC．
∴2∠EDC=∠ADC−∠C，
∵∠BAD=∠ADC−∠B，
∴∠BAD=2∠EDC．
(1)利用等腰三角形的三线合一性质可得∠BAD=∠DAC=30°，然后利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得∠ADE=∠AED=75°，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答；
(2)利用(1)的解题思路，进行计算即可解答；
(3)根据(1)和(2)的结论，即可解答；
(4)利用等腰三角形的性质可得∠B=∠C，∠AED=∠ADE，然后利用三角形的外角性质，以及角的和差关系可得∠AED=∠EDC+∠C，∠ADE=∠ADC−∠EDC，从而可得∠EDC+∠C=∠ADC−∠EDC.进而可得2∠EDC=∠ADC−∠C，再根据三角形的外角性质可得∠BAD=∠ADC−∠B，从而可得∠BAD=2∠EDC，即可解答．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．方法一
方法二
∵a+b=5，
∴(a+b)2=25，
∴a2+2ab+b2=25．
∵ab=3，
∴a2+b2=25−2ab=25−6=19．
∵(a+b)2=a2+2ab+b2，
∴a2+b2=(a+b)2−2ab．
∵a+b=5，ab=3，
∴a2+b2=25−6=19．