2024届北京市顺义区杨镇第一中学高三上学期12月阶段测试数学试题含答案

这是一份2024届北京市顺义区杨镇第一中学高三上学期12月阶段测试数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用补集的定义可得正确的选项．
【详解】由补集定义可知：或，即，
故选：D．
2．若复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用复数的除法化简可得出复数.
【详解】由已知可得.
故选：C.
3．设平面向量，若，则等于（ ）
A．1B．C．4D．
【答案】D
【分析】根据向量平行的坐标运算求解.
【详解】因为，，
所以，所以.
故选：D
4．二项式的展开式中的常数项为（ ）
A．1792B．－1792C．1120D．－1120
【答案】C
【分析】根据二项式定理展开式求解即可.
【详解】因为，
令，得，
所以二项式展开式中的常数项为．
故选：C.
5．若双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据公式，即可求解.
【详解】由题意可知，，则，
所以双曲线的渐近线方程为，即.
故选：A
6．埃及胡夫金字塔是世界古代建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，其侧面与底面所成角的余弦值为，则侧面三角形的底角的正切值为（ ）．

A．2B．3C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，由侧面与底面所成角的余弦值可得，即可得到结果.
【详解】
如图所示，设正四棱锥的底面边长，则，点为底面的中心，取中点为，连接，则，则侧面与底面所成角的平面角即为，因为侧面与底面所成角的余弦值为，即，则，在中，.
故选：D
7．在中，若，则的面积是（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【分析】利用余弦定理得，联立解出值，求出,再利用三角形面积公式即可求出答案.
【详解】由余弦定理得，代入，得
，联立化简得，
解得或（舍去），故，
，则,
故.
故选：D.
8．在中，．P为边上的动点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】以为坐标原点建立合理直角坐标系，求出直线所在直线方程为，设，得到，利用二次函数的性质即可求出其值域.
【详解】以为坐标原点，，所在直线分别为轴，轴，建立直角坐标系，
则，直线所在直线方程为，
设，，则，，
，
当时，，当时，，
故其取值范围为，
故选：B.
9．设，均为锐角，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】由于，均为锐角，所以，.先讨论充分性，当时，，结合函数在上单调递增，即可判断；再讨论必要性，当时，由于，结合函数在上单调递增，即可得出，进而求解.
【详解】因为，均为锐角，所以，.
当时，，
由函数在上单调递增，所以，
故“”是“”的充分条件.
当时，由，，则，所以，
因为函数在上单调递增，所以，即，
故“”是“”的必要条件.
综上所述，“”是“”的充分必要条件.
故选：C.
10．已知动直线与圆交于，两点，且．若与圆相交所得的弦长为，则的最大值与最小值之差为（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】D
【分析】根据题意当动直线经过圆的圆心时，可得到弦长的最大值为该圆的直径，再设线段的中点为，从而得到动直线在圆上做切线运动，当动直线与轴垂直且点的坐标为时，即可得到弦长的最小值，进而即可求解．
【详解】由题意可知圆的圆心在圆上，
则当动直线经过圆心，即点或与圆心重合时，如图1，
此时弦长取得最大值，且最大值为；
设线段的中点为，
在中，由，且，则，
则动直线在圆上做切线运动，
所以当动直线与轴垂直，且点的坐标为时，如图2，
此时弦长取得最小值，且最小值为，
所以的最大值与最小值之差为2．
故选：D．
【点睛】方法点睛：圆的弦长的常用求法：
①几何法：求圆的半径，弦心距，则弦长为；
②代数法：运用根与系数的关系及弦长公式．
二、填空题
11．函数的定义域是 ．
【答案】
【分析】根据对数型函数的定义域，结合二次根式的性质进行求解即可.
【详解】由题意可知：，
所以该函数的定义域为，
故答案为：
12．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2=−3，S5=−10，则a5= ，Sn的最小值为 ．
【答案】 0. -10.
【分析】首先确定公差,然后由通项公式可得的值，进一步研究数列中正项､负项的变化规律,得到和的最小值.
【详解】等差数列中,,得,公差,,
由等差数列的性质得时,,时,大于0,所以的最小值为或,即为.
【点睛】本题考查等差数列的通项公式､求和公式､等差数列的性质,难度不大,注重重要知识､基础知识､基本运算能力的考查.
13．设为抛物线的焦点，点A在上，点，则的坐标为 ；若，则 .
【答案】
【分析】由抛物线方程可得其焦点从标，再利用两点距离公式与焦半径公式求得，从而得解.
【详解】因为为抛物线的焦点，则，
又，则，设，
则，所以，则，即，
所以.
故答案为：；.
14．如图，为了测量湖两侧的，两点之间的距离，某观测小组的三位同学分别在点，距离点30km处的点，以及距离点10km处的点进行观测.甲同学在点测得，乙同学在点测得，丙同学在点测得，则，两点间的距离为 km.
【答案】
【分析】由已知数据，在中用正弦定理求出，中用余弦定理求出即可.
【详解】， ， ，，，
中，由正弦定理，有，则，
中，由余弦定理，
有，
得，即，两点间的距离为.
故答案为：.
15．已知函数给出下列四个结论：
①当时，的最小值为0；
②当时，不存在最小值；
③零点个数为，则函数的值域为；
④当时，对任意，，．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①②③
【分析】①根据指数函数、二次函数性质求值域判断；②由上值域为，讨论、确定在上值域，根据不存在最小值，列不等式组求参数范围；③讨论、、，分析各分段上零点的个数判断；④用特殊值，得到即可判断.
【详解】①当时，，在上的值域为，在上值域为.
所以的最小值为0，故①正确；
②在上的值域为，
当时，在上值域为；
当时，在上值域为；
要使不存在最小值，则或，
解得或，故②正确；
③至多一个零点，至多有两个零点，
当时，若，则由，
可得或，故恒有两个零点；
时，若，则存在一个零点；
若，不存在零点，
所以时，零点个数可能为2或3个；
若，则，此时，即上无零点，
而，故有一个零点，即；
若，则，此时上，无零点，
时，也无解，故无零点，即；
综上，的值域为，故③正确；
④当时，，则，
所以，故④错误.
故答案为：①②③.
【点睛】关键点点睛：对于③，注意结合指数函数、二次函数性质，应用分类讨论分析各分段零点的可能情况.
三、解答题
16．已知函数，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在.
条件①：函数在区间上是增函数；
条件②：；
条件③：.
(1)求的值；
(2)求在区间上的最大值和最小值.
【答案】(1)选择见解析；答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）根据题意先把函数进行化简，然后根据所选的条件，利用三角函数辅助角公式，三角函数单调递增区间而分别计算并判断是否使函数存在，从而求解；
（2）根据（1）中选的不同条件下得出函数的解析式，然后求出在区间上的最大值和最小值.
【详解】（1）由题意，
，
当选条件①时，由，可得
当，时，
即，时，单调递增，又因为在上单调递增，
所以得，解得，，
当时，，与已知条件矛盾，故条件①不能使得存在.
当选条件②时，，即，
因为，所以，所以，
所以，可得，即.
当选条件③时，，又，
所以当时，取最小值，即，又，
所以，得.
（2）当选条件②，③时，，则，
因为，所以，
当，即时，取最小值，最小值为，
当，即时，取最大值，最大值为1.
17．某学校食堂为了解师生对某种新推出的菜品的满意度，从品尝过该菜品的学生和老师中分别随机调查了20人，得到师生对该菜品的满意度评分如下：
教师：60 63 65 67 69 75 77 77 79 79 82 83 86 87 89 92 93 96 96 96
学生：47 49 52 54 55 57 63 65 66 66 74 74 75 77 80 82 83 84 95 96
根据师生对该菜品的满意度评分，将满意度从低到高分为三个等级：
假设教师和学生对该菜品的评价结果相互独立，根据所给数据，用事件发生的频率估计相应事件发生的概率．
（1）设数据中教师和学生评分的平均值分别为和，方差分别为和，试比较和，和的大小（结论不要求证明）；
（2）从全校教师中随机抽取3人，设X为3人中对该菜品非常满意的人数，求随机变量X的分布列及数学期望；
（3）求教师的满意度等级高于学生的满意度等级的概率．
【答案】（1）>，，，